Биостат - помощь / Учебники / Ивантер Коросов Введение в количественную биологию

причинам, как ошибки репрезентативности. Чтобы в этом убедиться, по всему объему данных вычисляются ошибки репрезентативности и затем различия между выборочными параметрами сравниваются с ошибками репрезентативности этих параметров; обычно это частное от деления «отличия»/«ошибка». Такое математическое выражение носит название статистического критерия. Если «отличия» немногим больше «ошибки» (небольшая величина критерия), то считается, что параметры действительно не отличаются друг от друга. Если же разность между параметрами много больше величины ошибки репрезентативности (высокое значение критерия), то признают, что это не случайность, но результат действия фактора.

Для разных статистических параметров разработаны соответствующие методы их сравнения с ошибками репрезентативности (критерии). Общим остается принцип формулирования статистического вывода: если величина критерия превышает некое «критическое» значение, то нулевая гипотеза отвергается, и тем самым признается – выборки взяты из разных генеральных совокупностей. Это значит, что некий фактор влияет на изменение признака, что удалось установить реальное (закономерное) биологическое явление. Если же величина критерия ниже критической, отличие между выборками признается несущественным, недоказанным.

При всем кажущемся многообразии вариантов проявления различного рода закономерностей, можно выделить всего 4 класса статистических задач вида «доказать отличия»:

1.Доказать чужеродность варианты в выборке

(или «классифицировать объекты»).

2.Доказать отличие двух выборок.

3.Доказать отличие нескольких выборок

(или «доказать влияние фактора на признак»).

4. Найти зависимость между признаками

(или «доказать сопряженность варьирования признаков»). По своей статистической сути все многообразные методы ко-

личественной биологии не выйдут за рамки представленного списка задач, хотя в зависимости от конкретной постановки биологического вопроса, типа данных, метода их сбора, способа представления и пр. конкретные алгоритмы могут существенно отличаться. Приемы решения частных задач рассмотрены далее.

5

ЗАДАЧА «ДОКАЗАТЬ ЧУЖЕРОДНОСТЬ ВАРИАНТЫ»

В биологии часто встречается ситуация, когда одна из полученных вариант сильно отличается от остальных. Эти отклонения могли возникнуть в результате неточности измерений, ошибок внимания, методических погрешностей и т. д. Можно ли такие резко выделяющиеся значения использовать при дальнейших расчетах?

С помощью этой редко возникающей задачи о принадлежности данной варианты к данной выборке мы сделаем необходимый переход от практики статистического оценивания к практике проверки статистических гипотез.

Любая статистическая задача – суть вопрос о принадлежности разных вариант к единой генеральной совокупности, о том, что сравниваемые выборочные варианты испытывают на себе действие одних и тех же доминирующих и случайных факторов. В терминах математической статистики поставленный вопрос звучит так: относится ли данная варианта вместе с другими вариантами изучаемой выборки к одной и той же генеральной совокупности или – к разным? Его можно сформулировать и по-другому: сформировано ли данное значение варианты под действием тех же доминирующих и случайных факторов, что и все остальные варианты данной выборки, или это были иные факторы? Здесь возможны два ответа:

1.Факторы те же, т. е. все варианты взяты из одной и той же генеральной совокупности.

2.Факторы иные, т. е. особенная варианта и выборка порознь взяты из разных генеральных совокупностей.

Ответ на этот вопрос можно получить с использованием рассмотренных выше свойств нормального распределения. Так, если все варианты были взяты из одной генеральной совокупности, значит, поведение их должно быть однородным, они должны отличаться только в силу случайных причин и (с вероятностью P = 0.95) находиться в диапазоне M±2·S (см. с. 50). Иными словами, по случайным причинам варианты достаточно большой выборки отклоняются влево или вправо от средней арифметической не более чем на 2·S:

x– M < 2·S или (x– M)/S < 2.

82 Задача «Доказать чужеродность варианты»

Общепринятой безразмерной характеристикой отклонения отдельной варианты от средней арифметической служит нормированное отклонение, оно показывает, на сколько стандартных отклонений отклоняется та или иная варианта от среднего уровня варьи-

рующего признака, и выражается формулой:

t = x - M S

где t – критерий выпада (исключения);

x – выделяющееся значение признака;

М – средняя величина для группы вариант;

tтабл. – стандартные значения критерия выпадов, определяемые свойствами нормального распределения, их можно найти по табл. 5П для трех уровней вероятности (для больших выборок обычно пользуются значением tтабл. = 2 при P = 0.95, или α = 0.05)

~ – значок можно прочитать как «не больше».

Используя этот показатель, можно утверждать, что для вариант, принадлежащих к данной достаточно большой выборке, нормированное отклонение меньше двух (с вероятностью P = 0.95):

t < 2.

Если же на отдельную варианту действовал какой-либо новый фактор, который вызвал дополнительное, т. е. не случайное, отклонение от средней, то такая варианта окажется за пределами указанного диапазона M±2S, а ее нормированное отклонение будет равно или больше двух: t ³ 2.

Нормированное отклонение есть простейший статистический критерий, который помогает определять так называемые «выскакивающие» варианты и решать вопрос о возможности их отбрасывания как артефактов (исключать из дальнейшей обработки). Смысл критерия «исключения» состоит в том, чтобы определить, находится ли данная варианта в интервале, характерном для большинства членов выборки, или же вне его. Если значение критерия больше табличного, то это означает, что данное значение не относится к анализируемой совокупности, а есть проявление каких-то особых закономерностей, ошибок и пр. и должно быть поэтому исключено из рассмотрения (отброшено). При этом иногда рекомендуют значения параметров (M, S) рассчитывать без учета «подозрительной» варианты. После такой «чистки» параметры выборки должны быть рас-

считаны заново. К оценке чужеродности вариант, как и к другим методам статистики, нельзя подходить формально; цель биометрического исследования всегда состоит в том, чтобы понять специфику явления. В частности, «отскакивающая» варианта может быть следствием того, что признак имеет иное, не-нормальное распределение.

Рассмотрим работу критерия на примере. При измерении длины черепа взрослых самцов обыкновенной землеройкибурозубки получены выборки с такими параметрами: М = 18.8, S = 0.3 мм. Общее число животных n = 85. Вызывают сомнения два слишком больших значения 19.2 и 21.0. Определим для них критерии выпада:

Согласно таблице 5П, критическое значение нормированного отклонения для уровня значимости α = 0.05 и n = 85 равно t = 2.0. Поскольку первое полученное значение (1.3) меньше табличного (2), первый из сомнительных результатов исключать не следует, а второй должен быть отброшен – критерий выпада (7.3) превышает табличное значение (2).

Понятие «нормированное отклонение» позволяет точнее определить важнейшее понятие статистического критерия. Статистический критерий – безразмерная случайная величина, которая имеет известный закон распределения и используется для проверки статистических гипотез.

Нормированное отклонение есть статистический критерий. Во-первых, это безразмерная величина, поскольку единицы измерения числителя (xi– M) и знаменателя (S) взаимно уничтожаются. Во-вторых, оно имеет вполне определенное распределение (в случае непрерывных признаков – нормальное) со своими параметрами: средняя равна нулю Mt = tM = (M–M)/S = 0, а стандартное отклонение равно единице St = tS = (S– M)/S = (S–0)/ S = S/S = 1. Последний тезис стоит рассмотреть более предметно, поскольку он имеет большое практическое значение.

Рассмотрим на примере конкретных данных, почему нормированное отклонение имеет такие параметры. Значения длины хвоста (Lc, мм) для выборки из n = 9 гадюк дают среднюю M = 73.1, стандартное отклонение S = 11.7 мм.

x = 93 t = (93– 73.1)/11.7 = 1.69. Нетрудно подсчитать, что для полученного ряда нового расчетного признака t средняя по всему ряду составит Mt = –2 ·10-16 ≈ 0, стандартное отклонение St = 1.

Здесь важно подчеркнуть, что нормированное отклонение – универсальная величина. Какой бы признак (имеющий нормальное распределение) мы ни брали, его значения можно выразить в виде расстояния от центра в единицах стандартного отклонения, т. е. на сколько S данное значение x отклонилось от M. При этом, как следует из свойств нормального распределения, крайние значения в 95% случаев не будут принимать значения меньше – 2 и больше 2 (рис. 5.1).

95%

Рис. 5.1. Переход от реального признака x к нормированному отклонению t

С помощью нормированного отклонения можно, например, сравнивать объекты разного качества (организмы разных видов, разных пород и сортов, разных возрастов) – по разным свойствам (признакам).

Так, промеры длины хвоста (Lc, мм) и длины тела (Lt, см) у выборки гадюк разного пола позволяют увидеть, что самец № 5 при средних размерах тела (xLt = 0.03) обладает относительно небольшим хвостом (tLc = – 0.69), а самец № 6 при такой же длине имеет существенно более длинный хвост (tLc = 1.01).

Нормированное отклонение можно использовать и для сравнительной оценки разных индивидов по одному и тому же признаку. Например, если сопоставляемые по относительному весу сердца молодая и взрослая землеройки-бурозубки демонстрируют одинаковые показатели (10.5 мг%), то это, тем не менее, не означает их сходства по изучаемому признаку. Используя известную информацию (у молодых средний индекс сердца равен M = 10.0 при стандартном отклонении S = 1.3, у взрослых – M = 11.8, S = 1.1), рассчитаем нормированное отклонение для молодого зверька

Налицо существенное различие: взрослый зверек имеет относительно низкий показатель сердечного индекса, а молодой близок по этому признаку к видовой норме.

Наибольшее развитие такой подход получает в процедурах обработки многомерных данных, при исследовании объектов, охарактеризованных по многим признакам, методом корреляций, главных компонент, при их кластеризации и т. п. Во многих случаях обработка многомерного массива начинается с нормирования данных, с помощью формулы нормированного отклонения.

6

ЗАДАЧА «ДОКАЗАТЬ ОТЛИЧИЕ ДВУХ ВЫБОРОК»

Сравнение двух выборок не может быть самоцелью биологического исследования, поскольку современную биологию интересуют не просто факты, но их подоплека, не столько конкретное биологическое явление, сколько причина его возникновения. В этом ключе сравнение двух выборок выступает в роли метода поиска отличий в причинах, обеспечивших существование двух групп объектов (вариант) разного качества; в конце концов, это поиск влияния фактора, поиск закономерности. В свете рассмотренного ранее фрейма формирования выборок источник отличий между выборками следует усматривать в различии методик сбора данных, различиях объектов исследования по статусу или состоянию или в различиях условий существования объектов. Переводя эти случаи в форму статистического вопроса, можно спросить, сравниваемые выборки взяты из одной или разных генеральных совокупностей? Поскольку выборки могут быть охарактеризованы несколькими обобщающими параметрами, то и сравниваться они будут с помощью разных статистических методов. Сравнение двух выборок есть развитие задачи сравнения варианты с выборкой, это своеобразный поиск «чужеродности» всех вариант одной выборки по отношению к другой.

Ранее было показано, что специфику выборки можно охарактеризовать с разных сторон, используя разные способы описания выборок; это порождает целое подсемейство методов оценки различия выборок (табл. 6.1).

Сравнение двух выборок по величине признака

Биологический смысл процедуры сравнения двух выборок по уровню развития признака (по средним арифметическим) состоит в том, чтобы определить, действовал ли в одной из выборок новый систематический фактор по сравнению с другой выборкой, поскольку, как было показано выше, средняя арифметическая характеризует действие систематических факторов, дающих равный вклад в каждую варианту выборки.

Если условия формирования выборок были одинаковы, варианты в обеих выборках будут отличаться друг от друга только по случайным причинам, и средние для этих выборок будут характеризовать одну и ту же главную причину. Если же какой-либо фактор действовал на разные выборки по-разному, статистический критерий покажет достоверное отличие средних арифметических. Дело в том, что дополнительный систематический фактор во время набора выборки сообщает каждой варианте некую прибавку (∆x) к обычному значению. Понятно, что для выборки, испытавшей такое действие, мы получим среднюю арифметическую, смещенную именно на эту дополнительную величину (M1 = M2 + ∆x).

Например, если измерять размеры тела двух групп разновозрастных животных, все особи старшей группы (росшие дольше молодых), будут немного крупнее последних и индивидуально, и в среднем. Пример из области токсикологии: добавление токсиканта вредно влияет на всех подопытных животных и может снизить, например, плодовитость – как индивидуально, так и в среднем. В общем дополнительными существенными причинами могут выступить разный статус и состояние объектов, разные условия их существования, отличие методов формирования выборок и т. п. Дело биолога понять, какие из причин существенны в данном случае.

Вместе с этим на величине выборочных средних арифметических будут сказываться и случайные факторы. Поскольку действие этих факторов на каждую варианту различен, и нет двух одинаковых вариант, то нет и двух одинаковых наборов вариант, двух идентичных выборок. В полной мере случайные факторы проявляются только в бесконечной генеральной совокупности, а в ограниченных выборках их действие проявляется неполно, по-разному.

По этой причине выборочные средние арифметические всегда будут, во-первых, отличаться друг от друга, во-вторых, – от генеральной средней. Ограниченные объемы выборок недостаточны для того, чтобы полностью воспроизвести условия формирования генеральной средней; между генеральной и выборочными средними всегда будет отличие, ошибка «воспроизводимости», ошибка репрезентативности.

Сравнение средних арифметических по критерию T Стьюдента

Задача сравнения выборочных средних – это вопрос о том, действовал ли в одной из выборок новый систематический фактор по сравнению с другой выборкой? В терминах статистики отличия между средними могут иметь два противоположных источника:

1.Обе выборки взяты из одной генеральной совокупности, но средние отличаются в силу ошибки репрезентативности.

2.Выборки взяты из разных генеральных совокупностей, отличие средних вызвано в основном действием разных доминирующих факторов (а также и случайно).

Статистическая задача состоит в том, чтобы сделать обоснованный выбор. Исходно предполагается (Но): «достоверных отличий между средними нет».

Отличить закономерное от случайного можно только на основе знания законов поведения случайной величины. Для исключения чужеродных («выскакивающих») вариант мы применяли закон нормального распределения: в диапазоне четырех стандартных отклонений, M±1.96·S, отклонение вариант от средней происходит по случайным причинам; за границами этого диапазона лежат чужеродные для данной выборки значения. Поскольку выборочные средние имеют нормальное распределение (см. раздел Ошибка репрезентативности выборочных параметров, с. 53), критерий отличия двух выборочных средних также базируется на свойствах

нормального распределения: в границах Mобщ.±1.96·m (или приблизительно Mобщ.±2·m) выборочные средние арифметические отличаются от общей (генеральной) средней по случайным причинам. Критерий отличия средних формируется по типу критерия «исключения», если одну из выборочных средних (М1) принять в качестве генеральной средней, другую взять как «подозрительную» варианту (М2), а роль характеристики варьирования играет обобщенная

ошибка репрезентативности (md):

Обобщенная ошибка получена объединением двух ошибок, рассчитанных по сравниваемым выборкам (для случая, когда выборочные дисперсии отличаются несильно):