Биостат - помощь / Учебники / Ивантер Коросов Введение в количественную биологию

Используя его, рассчитаем значения компонент, новых признаков, для конкретных особей, помня, что вместо исходных значений берутся нормированные. Таблица 9.10 содержит нормированные значения (норм.X = (X– M)/S); в частности, для первого самца (40 г) получаем норм.W = (40–68.47)/20.31 = – 1.40). Параметры M, S взяты из таблицы 9.7. Значения первой компоненты составят:

для первого самца

ГК11 = 0.644 × (-1.44) + 0.603 × (-1.52) + 0.470 × (0.44) = –2.026,

для последней самки

ГК117 = 1.00 × (2.14) + 0.789 × (2.02) - 0.492 × (-0.1) = 2.74.

Таблица 9.10

Для первой компоненты «корреляционные» (табл. 9.6) и факторные нагрузки (табл. 9.9) очень близки и отражают рассмотренное

явление – противопоставление общих размеров тела (большие положительные корреляции) длине хвоста (большие отрицательные корреляции). График первой главной компоненты (рис. 9.6) также похож на график первой корреляционной компоненты (рис. 9.5) и характеризует «общие размеры тела» (объединяя два признака – W и Lt). В то же время достаточно высокий вклад переменной «длина хвоста» (– 0.47) заставляет включить и этот признак в название компоненты, обозначая направление изменчивости «рост размеров при уменьшении хвоста».

Вторая главная компонента отличается от своего корреляционного аналога. Нагрузка для переменной «длина хвоста» остается высокой (0.863), но для первых двух признаков значения факторных нагрузок существенно ниже корреляционных (0.191 и 0.467 против 0.976 и 0.923). Эти небольшие коэффициенты свидетельствуют о том, что половой диморфизм сказывается и на общих размерах тела, но в меньшей степени, чем размер хвоста. Причины несовпадения коэффициентов корреляции и факторных нагрузок состоят в том, что первичные коэффициенты корреляции отражают, вообще говоря, действия всего множества факторов сопряженного варьирования исходных признаков, «смесь». Сильные факторы определяют уровень коррелированности в большей мере, слабые – в меньшей. Факторные же нагрузки вычленяют эффект действия своего фактора «в чистом виде». Изменчивость второй главной компоненты менее определена, чем второй корреляционной компоненты. Однако вместе с первой они хорошо дифференцируют особей разного пола на две изолированные группы: в осях двух главных компонент самки «расположены» справа внизу, самцы – слева вверху.

Информативность и значимость компонент

Следует отметить, что участие двух компонент в дифференциации объектов неодинаково. Первая компонента имеет наибольшую дисперсию (2.1) и на 70% исчерпала информацию об изменчивости признаков (табл. 9.9), тогда как на долю второй приходится всего 24%. Получается, что роль этой компоненты ниже, чем роль любого из исходных признаков (на каждый из них приходится по 33%), и вторая компонента (как и третья) не должна бы участвовать в дальнейшем рассмотрении. В компонентном анализе обычно ис-

242 Задача «Классифицировать объекты»

пользуется содержательный критерий значимости: компоненты с дисперсией менее 1 не рассматриваются.

Это справедливо для небольших объемов выборок (десятки объектов), но для обширных выборок может оказаться неверным. Для этого предлагается формальный критерий оценки значимости компонент, проверяющий нулевую гипотезу о равенстве дисперсий

k компонент:

S2i = S2i+1 = … = S2k.

Если дисперсии компонент равны, значит, они не используют общей информации о коррелированности исходных признаков, не являются общими факторами, не сказываются на признаках, т. е. не-

значимы. Критерий имеет χ²-распределение с df = k × (k +1) -1 сте-

Полученное значение (20.18) больше табличного (14.07), следовательно, дисперсии трех компонент отличаются достоверно.

Проверяя гипотезу о равенстве второй и третьей компонент, получим: i = 1, k = 2, df = 2, n = 17, χ²= 5.99, S 22 = 0.71, S 23 = 0.19,

На сей раз полученное значение (4.9) меньше табличного (5.99), дисперсии второй и третьей компонент отличаются недостоверно.

Вывод очевиден: первая (значимая) компонента выделяется среди прочих (незначимых) компонент по информационной насыщенности. Специфика исходных трех переменных воплотилась в единственный расчетный признак – первую главную компоненту.

Этапы компонентного анализа

Метод главных компонент достаточно сложен, но это самая эффективная процедура разведочного анализа любой многомерной совокупности данных, имеющая примерно семь крупных шагов:

1)организация массива данных с метками объектов и именами переменных,

2)изучение направлений изменчивости исходных признаков,

3)выполнение расчетов в среде специальных пакетов (StatGraphics),

4)изучение факторных нагрузок,

5)изучение ординации объектов в осях значимых главных компонент,

6)присвоение названий значимым компонентам,

7)вывод об основных направлениях (факторах) изменчивости данных,

8)отсев или отбор признаков и повторение расчетов; итерации позволяют глубже понять структуру связей между признаками.

Поэтапно проанализируем данные по динамике снеготаяния на прибайкальской равнине в зоне действия Байкальского целлю- лозно-бумажного комбината, который имеет большие объемы пылегазовых выбросов.

1)Глубину снега (h, см) измеряли в 9 точках Прибайкальской равнины вдоль побережья оз. Байкал 4 раза за сезон с 21 апреля по 18 мая 1986 г. (табл. 9.11).

2)Данные показывают, что с запада на восток уровень снега

всреднем постепенно повышается, достигая в некоторых точках

(85 км) глубины h21.4.86 = 110 см. При этом для начала весны (21.4.86) отмечается плавное повышение уровня снега с запада на

244 Задача «Классифицировать объекты»

восток, а к концу (18.5.86) становятся заметны резкие перепады между отдельными точками.

Таблица 9.11

3)Порядок расчетов в StatGraphics рассмотрен на с. 251.

4)В результате расчетов получены коэффициенты линейных индексов (факторные нагрузки) (табл. 9.12), позволяющие рассчитать значения главных компонент по формулам вида:

(3.7 из 4), т. е. забирает на себя бó льшую часть информации (93.5%); остатки почти целиком приходятся на вторую компоненту (4.8%).

Очевидно, что при данном количестве наблюдений вторая компонента незначима, тем не менее мы ее рассмотрим подробнее.

В первой компоненте факторные нагрузки («веса») разных признаков почти равны (по 0.5), это значит, что чем больше будут значения всех промеров, тем больше будет и значение компоненты.

Во второй главной компоненте достаточно большие факторные нагрузки имеют только первая (21.04.86) и последняя (18.05.86) даты (– 0.55 и 0.69 соответственно), причем с разными знаками. Вторая компонента как бы противопоставляет зимние и весенние глубины. Максимальные значения этой компоненты будут наблюдаться для точек, в которых зимой был наименьший уровень снега, а весной – наибольший, т. е. там, где уровень снега почти не менялся. Минимальные значения должны наблюдаться для тех точек, где зимой снега было много, а весной – мало, т. е. где снег быстро сошел.

5) Отследим значения главных компонент для отдельных точек. Значения первой компоненты велики для самых восточных точек (1.5), где максимальны все промеры снега, и минимальны для западных (– 3.2), где снега почти нет. Значения второй компоненты высоки для многих пунктов промера (где снег сходил более или менее равномерно), а минимальны только для точки 33 км: здесь наблюдается резкий перепад глубин между отдельными промерами.

246Задача «Классифицировать объекты»

6)Ход первой компоненты подобен средней арифметической по всем промерам (рис. 9.7), ее можно назвать «запасы снега». Высокие значения второй компоненты выявляют зоны медленного схода снега, а низкие – быстрого, поэтому ее можно назвать «устойчивость снегового покрова весной».

7)Рассматривая явление в новых терминах, можно сказать, что в общем запасы снега на Прибайкальской равнине плавно увеличиваются с запада на восток. Для окрестностей БЦБК характерна средняя мощность, но низкая устойчивость снегового покрова. Как показали специальные исследования, причина этого явления – загрязнение поверхности пылевыми частицами, которые способствуют его нагреванию под лучами солнца и быстрому таянию.

Варианты представления результатов

Для представления результатов компонентного анализа часто используются три разных способа выражения величины факторных нагрузок.

При первом из них, показанном выше (табл. 9.9, 9.13 ), в качестве векторов факторных нагрузок выступают так называемые собственные векторы (техника и теория их расчетов приведена во многих пособиях, например: Коросов, 1996).

Таблица 9.13

Факторные нагрузки

Для собственных векторов выполняется важное условие: произведение вектора на самого себя дает единицу. Так,

На основании этих факторных нагрузок рассчитываются те значения главных компонент, дисперсии которых, S2, представлены в нижней строке таблицы с результатами (табл. 9.10, 9.13). Кстати сказать, сумма дисперсий всех компонент равна числу изучаемых признаков, m (2.09+0.71+0.19 = 3). В такой форме результаты анализа выдает пакет StatGraphics.

Несмотря на прозрачный математический смысл, интерпретировать такие факторные нагрузки неудобно из-за какой-то непонятной «абсолютности» собственных векторов.

Второй способ позволяет более эффективно сопоставлять нагрузки, относящиеся к каждой компоненте по отдельности. Для этого все нагрузки делят на модуль максимального значения.

Так, для первого вектора maxa = 0.644; нормированная нагрузка для признака W составит: 0.644/0.644 = 1.000, а для признака Lt – 0.603/0.644 = 0. 936 и т. д. (табл. 9.14).

Таблица 9.14

Факторные нагрузки

В результате факторные нагрузки обретают значения от – 1 до +1, их становится легче сравнивать друг с другом в контексте одной компоненты. При этом, правда, свойства векторов нагрузок меняются и их произведение на себя уже не дает значения 1. В то же время новая относительная величина позволяет применить простой критерий оценки достоверности отличия нагрузки от нуля, для этого она

должна быть по модулю больше 0.7: |a|>0.7. Получается, что большие коэффициенты нагрузки как бы приравниваются к единице (полный учет признака), а остальные – к нулю (признак не участвует в компоненте). Такой прием во многом облегчает первый шаг в интерпретации главных компонент. Провести рассмотренные преобразования можно в среде Excel.

Третий способ презентации результатов МГК позволяет сравнивать факторные нагрузки одного признака в разных главных компонентах. В качестве основания для нормирования такого рода служит стандартное отклонение конкретной компоненты S, на величину которой умножаются факторные нагрузки (табл. 9.15). Например, нагрузка признака Lt теперь составит для второй компоненты: 0.467·0.843 = 0.394, для третьей компоненты: –0.655 ·0.435 = –0.286.

Таблица 9.15

Факторные нагрузки

Такое преобразование позволяет оценить относительную роль признака в той или иной компоненте: несмотря на относительно высокое значение исходной нагрузки признака Lt в третьей компоненте (-0.655) по сравнению со второй (0.467) (табл. 9.13), его рассмотрение в контексте общего варьирования говорит от обратном: фактическое влияние признака на изменчивость третьей компоненты (–0.28 ) меньше, чем влияние на вторую компоненту (0.394) (табл. 9.15).

Более того, новое преобразование позволяет точно вычислить, какую долю своей изменчивости каждый признак сообщает

каждой компоненте (иначе, какую долю изменчивости признака учитывает та или иная компонента). Поскольку факторные нагрузки можно рассматривать как аналоги коэффициентов корреляции, то их квадраты могут играть роль коэффициентов детерминации, выражающих как раз долю варьирования за счет действия фактора в общем варьировании признака. Как известно, общая дисперсия отдельного нормированного признака равна единице (см. табл. 9.10), поэтому квадраты факторных нагрузок будут представлять собой искомые доли (табл. 9.16). Так, из общей дисперсии признака Lt компоненты «забрали» такие доли: первая – 0.764, вторая – 0.155, третья – 0.082; при этом 0.764 + 0.155 + 0.082 = 1, или 76 + 16 + 8 = 100%. Как видно, в наибольшей степени длина тела учтена в первой компоненте.

Таблица 9.16

Произведения преобразованных векторов факторных нагрузок на самих себя не равны единице, но – величине дисперсии (что вытекает из процедуры получения векторов):

Значения главных компонент, рассчитанные с помощью преобразованных факторных нагрузок, будут отличаться от тех, что высчитаны по первой схеме. Если их дисперсии вычислить непосредственно, то они будут равны единице, а не той величине, что указа-