Биостат - помощь / Учебники / Ивантер Коросов Введение в количественную биологию

Далее вычисляем хи-квадрат: χ² = 0.71 и число степеней свободы (при двух классах и одном ограничении, объеме выборки) df = k–1 = 2–1 = 1. По табл. 9П находим критическое значение

χ² = 3.84. Поскольку полученная величина (0.71) меньше таб-

(0.05,1)

личной (3.84), различия сравниваемых распределений статистически недостоверны. Иначе говоря, фактические частоты хорошо согласуются с теоретически ожидаемыми. По данным первой строки таблицы видно, что полученное значение χ2 соответствует уровню значимости, большей α = 0.30 (напомним, что порогом, как было установлено выше, является α = 0.05). Значит, совпадение между фактическими результатами и ожидаемыми достаточно велико. Полученные данные не отвергают принятую гипотезу о том, что в нашем случае имеется отношение 3:1.

Здесь следует еще раз обратить внимание читателей на то обстоятельство, что сохранение нулевой гипотезы нельзя считать доказательством справедливости нулевой гипотезы. Результатами представленных вычислений теория о расщеплении по фенотипам в отношении 3:1 (0.75:0.25) не доказана, хотя и не опровергнута. Статистика доказывает только факт отличий, но не их отсутствие. Чтобы доказать теорию, нужно предположить антитеорию (для нашего примера соотношение 1:1) и опровергнуть ее с помощью статистических приемов.

В выборке рыжих полевок, отловленных в первый день учета численности, присутствуют 64 самца и 12 самок. Требуется определить, подтверждают ли эти данные факт преобладания самцов во всей популяции (как генеральной совокупности) или налицо просто случайное отличие значений в данной выборке. Теоретическое соотношение полов в популяции животных составляет 1:1 (или 38:38 экз.). Нарушается ли оно? Иными словами, выдвигается нулевая гипотеза, что данная выборка взята из генеральной совокупности, в которой соотношение полов 1:1.

(χ² = 3.84) явно свидетельствует о существенном отклонении

(0.05,1)

фактического соотношения полов от гипотезы – 1:1. Вероятность правильности нулевой гипотезы (т. е. что в данном случае действительно имеет место численное равенство полов) оказалась много меньше 0.01. Соответственно, доверительная вероятность, т. е. вероятность несоответствия между числом самцов и самок очень велика и составляет более 0.99. Итак, есть все основания говорить о статистически достоверном преобладании самцов среди особей, отловленных в первый день. Из какой же генеральной совокупности они отбираются, если достоверно не из той, где ♀♀:♂♂= 1:1? Видимо, речь идет о группе особей, активно осваивающих территорию. Понятно, что наиболее активными оказались самцы, практически не привязанные, как самки, к гнезду с выводком.

Принципы исследования полиномиальных распределений

остаются прежними, возрастает число классов и степеней свободы. Метод хи-квадрат позволяет сравнивать между собой не только теоретический и фактический ряды данных, но пару (и более) эмпирических выборок. Для ее решения эмпирические частоты каждого ряда сопоставляются со средними теоретическими частотами, рассчитанными на основе нулевой гипотезы «все выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности», т. е. «все распределения одинаковы», или «доли вариант с данным значением в разных распределениях одинаковы». Этим методом можно сравнивать между собой признаки, имеющие любые типы распределения.

Фактические данные наблюдений группируются в таблицу (a), далее рассчитываются средние теоретические частости (p), затем теоретические частоты (A) и критерий χ².

Рассмотрим алгоритм на примере изучения фенетической структуры популяций красной полевки с разным уровнем численности зверьков. Получены частоты встречаемости пяти комплексов фенов от 1 до 5 (признаки: число перфораций черепа в разных областях). Например, первым комплексом фенов обладали 146 особей из первой популяции и 208 из второй (табл. 6.10). Выдвинуто предположение, что различия в частотах фенов случайны. В соответствии с этим допущением частости фенов каждого из пяти типов в двух сравниваемых популяциях должны быть равны.

Сначала определяем усредненные (теоретические) частости

122 Задача «Доказать отличие двух выборок»

(pi) для всех фенетических комплексов, поделив суммы особей в группах (Σi) на объединенный объем выборок (N = 600): pi = Σi/N. Так, для второй группы фенов: p2 = 190/600 = 0.317.

Таблица 6.10

Далее находим частоты всех фенов с поправкой на разные объемы выборок. Общая формула для вычисления усредненных частот, как и раньше, имеет вид:

Аji = nj·pi,

где Аji – теоретическая частота для i-го значения j-й выборки, pi – теоретические (усредненные) частости,

nj – объем выборки.

Усредненные (теоретические) частоты представлены в таблице 6.10 справа внизу от реальных значений частот. Например, ожидаемая частота второй группы во второй выборке составит A2,2 = 0.317·312 = 98.8, для пятой группы – A2,5 = 0.008·312 = 2.6.

Критерий хи-квадрат вычисляется по обычной формуле. При этом отыскиваются разности только между эмпирическими и теоретическими частотами для каждой выборки отдельно. Например, для первого класса первой выборки имеем:

(146 −170)2

= 3.39.

170

В завершение значения χ², полученные для разных выборок, складываются. В нашем случае χ² = 10.9+9.87 = 20.8.

Расчет числа степеней свободы производится по формуле df = (k–1) ·(r–1) , где k – число значений (классов) вариант, в данном случае 5 классов фенов, r – число сравниваемых выборок, в нашем примере их две. Отсюда df = (5–1)(2– 1) = 4. Табличное значение

χ² = 16.92. То, что фактическая величина (20.8) больше таблич-

(0.05,4)

ной, позволяет отвергнуть нулевую гипотезу и сделать вывод о том, что частота (распределение) фенов в сравниваемых популяциях достоверно отличается, причем в основном за счет встречаемости первых двух групп фенов. Отмеченные различия обусловлены увеличением фенетического (генетического) разнообразия первой популяции, отличавшейся более высокой численностью.

Критерий λ Колмогорова – Смирнова

Этот критерий, обозначаемый греческой буквой λ (ламбда), можно применять как для оценки расхождения между фактическими

итеоретическими распределениями, так и для определения достоверности различий между любыми двумя распределениями частот одного и того же признака, причем даже при неодинаковом числе классов и частот у этих распределений. По своему назначению и возможностям он напоминает описанный выше критерий хи-квадрат, но более прост в применении. Нулевая гипотеза о случайности расхождения между сопоставляемыми распределениями отвергается и различия считаются достоверными, если эмпирическая величина критерия λ превосходит свое критическое значение для принятого порога доверительной вероятности, и наоборот, различия могут считаться случайными (нулевая гипотеза сохраняется), если эмпирический критерий не достигает требуемого значения квантили.

Для сравнения распределений при одинаковом числе классов

иодинаковой общей численности групп критерий λ вычисляется по формуле:

λ = max åa1 - åa2 ,

n

а при сравнении выборок разного объема:

где max|| – максимальная разность (без учета ее знака) между накопленными частотами в сравниваемых распределениях,

a1 и a2 – частоты первого и второго рядов (это могут быть как две выборки, так и эмпирическое и теоретическое распределения);

п – общее число (сумма) всех вариант совокупности; п1 и п2 – объемы сравниваемых выборок.

Критерий λ не требует специальной таблицы для оценки значимости отличий, так как для любого числа классов предельные значения критерия λ, соответствующие трем порогам доверительной вероятности (0.95, 0.99 и 0.999), одинаковы и равны соответственно 1.36, 1.63 и 1.95.

Применение критерия λ можно показать на таком примере. Сравнивается плодовитость зимовавших (a1) и прибылых (a2) рыжих полевок, у которых частота встреч выводков разной величины (число эмбрионов на самку, x) отличалась.

Таблица 6.11

Требуется оценить достоверность расхождения между этими распределениями. Ход вычислений показан в таблице 6.11. Сначала получают накопленные частоты путем суммирования частот от первого класса до конца вариационного ряда (Σa), затем рассчиты-

вают относительные накопленные частоты (Σa/n). После этой процедуры отыскивают максимальную разность (max) относительных частот в каком-либо классе.

В нашем случае максимальная разность между отношениями накопленных частот к объемам выборок составила:

max = |0.39–0.45| = 0.058 (5 -й класс),

откуда по формуле для сравнения распределений разного объема находим величину критерия:

λ = 0.058 × 210 × 332 = 0.67.

542

Поскольку найденная величина λ = 0.67 оказалась ниже критического значения даже для первого порога вероятности (λ(0.05) = 1.36), то нулевая гипотеза не отвергается и, следовательно, расхождения между сопоставляемыми распределениями носят случайный характер. Таким образом, существование возрастных отличий в плодовитости полевок в данном случае остается недоказанным (полученными данными не подтверждается).

Отношения между статистиками t, T, F и χ²

Рассмотренные выше разнообразные критерии используют четыре статистики, поведение которых в своей основе базируется на законе нормального распределения, модифицированном для разных целей. Как указывалось ранее, нормальное соответствие относительной частоты (p) значений случайной величины (t) задается

уравнением: p = (1/ 2π ) × exp(-t 2 / 2) . Значение случайной величины хи-квадрат представляет собой сумму нескольких нормально распределенных случайных величин, возведенных в квадрат:

df

χ 2 = åti2 (df – число степеней свободы). По таблицам 4П и 9П не-

i=1

трудно убедиться, что для df = 1 χ²= t² и границы критических областей для α=0.05 составляют χ² =t² = 1.96² = 3.84.

Распределение T Стьюдента использует распределение нормальное и хи-квадрат: T = t / χ 2 / df . Распределение F Фишера использует два распределения хи-квадрат с разным числом степеней свободы: F = (χ12 / df1 ) /(χ22 / df 2 ) .

126 Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

7

ЗАДАЧА «ДОКАЗАТЬ ОТЛИЧИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЫБОРОК» («ДОКАЗАТЬ ВЛИЯНИЕ ФАКТОРА»)

При изучении и анализе сложных и многообразных причин- но-следственных отношений между объектами и явлениями биологу приходится учитывать целый комплекс внешних и внутренних факторов, от которых в конечном итоге зависят уровень и ход наблюдаемых процессов, те или иные биологические свойства живых организмов, их динамика и разнообразие. При этом зачастую важно оценивать не только роль одного из многочисленных внешних факторов, но и их взаимодействие при констелляционном влиянии на популяцию или организм.

Идейная база для изучения действия факторов содержится уже в методе сравнения двух выборок. Биологическим содержанием операции сравнения двух выборок, в конце концов, выступает поиск факторов, ответственных за смещение средних арифметических или усиление изменчивости признаков. Развивая это направление биометрического исследования, можно не ограничиваться только двумя «дозами» фактора, но изучить серию ситуаций, в которых фактор проявлял разную силу действия на результативный признак – от самого слабого, до самого сильного. При этом каждому уровню фактора будет соответствовать отдельная выборка и общая задача получит формулировку «сравнить несколько выборок». В терминах факториальной биометрии вопрос о влиянии фактора на признак звучит так: сказывается ли отличие условий получения разных выборок на качестве (значениях) вариант? В терминах статистики вопрос звучит несколько иначе: из одной ли генеральной совокупности отобраны все выборки, оценивают ли выборочные средние арифметические одну и ту же генеральную среднюю? Вариантов ответа может быть только два:

1.Все выборки отобраны из одной генеральной совокупности, условия возникновения вариант одни и те же.

2.Выборки отобраны из разных генеральных совокупностей, условия возникновения вариант выборок различаются.

В постановке вопроса можно уловить противоречие. Выше было сказано, что по условию задачи выборки формировались в разных условиях, и тут же предполагается, что условия были одинаковые. На самом деле противоречия нет, поскольку речь идет об определении чувствительности признака к действию фактора. Условия формирования выборок могут отличаться, но они могут никак и не сказаться на величине изучаемого признака, не отразиться на значениях вариант. Смысл статистического сравнения в том и состоит, чтобы оценить эффективность действия фактора на признак, доказать реальность реакции вариант выборок на разные условия их формирования. Круг методов сравнения нескольких выборок довольно широк, их выбор зависит от конкретной задачи (табл. 7.1).

Таблица 7.1

128 Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

Сравнение нескольких выборок по величине одного признака (однофакторный дисперсионный анализ)

Дисперсионный анализ позволяет оценить достоверность отличия нескольких выборочных средних одновременно, т. е. изучить влияние одного контролируемого фактора на результативный признак путем оценки его относительной роли в общей изменчивости этого признака, вызванной влиянием всех факторов.

Логико-теоретические основы

Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы охарактеризовать силу и достоверность влияния фактора на признак, причем только на величину (средний уровень) признака, но не на его изменчивость. Дисперсионный анализ есть метод сравнения нескольких средних арифметических. В этом смысле он подобен методу сравнения двух средних арифметических с помощью критерия Стьюдента:

обобщенный показатель случайного варьирования

T = (M1– M2)/ md, или T = dM/ md,

где M1 , M2 – две выборочные средние,

dM – обобщенный показатель отличия выборочных средних, md – обобщенная ошибка репрезентативности md = m12 + m22 .

Критерий сравнивает две средние арифметические двух выборок, полученных при разных условиях, при действии двух доз некоего фактора. В числителе этой формулы стоит оценка действия возможного доминирующего фактора, а в знаменателе стоит оценка действия случайных факторов варьирования выборочных значений. Если изучаемый фактор сказывается на значении вариант, то оценка его действия (dM) превысит оценку действия случайных факторов (md), хотя бы в 2 раза (критическое значение критерия Стьюдента для репрезентативных выборок T(0.05,30) ≈ 2). В этом случае говорят о достоверном отличии средних арифметических, о достоверном влиянии на варианты различных условий их формирования.

В дисперсионном анализе использован такой же показатель достоверности влияния фактора, но адаптированный к случаю сравнения нескольких выборок (критерий Фишера):

F = S²факт./ S²случ..

В качестве обобщенной меры отличия нескольких выборочных средних выступает дисперсия, рассеяние выборочных средних (Mj) вокруг общей средней (Mобщ.):

k

Sфакт2 . = å(Mj - M общ. )2 / df факт. ,

где dfфакт. = k–1,

j = 1, 2, … k,

k – число сравниваемых средних.

В качестве обобщенной меры случайного варьирования служит дисперсия вариант (xi) вокруг средней в каждой градации (Mj):

сравнения нескольких средних арифметических, подобен критерию Стьюдента, служащему для сравнения двух средних:

за счет случайных причин Применяя дисперсионный анализ, это обстоятельство важно

всегда иметь в виду: несмотря на то что критерий Фишера использует дисперсии, тем не менее сравниваются друг с другом выборочные средние арифметические!

Техника расчетов

Воснове однофакторного дисперсионного анализа (дословно

–разложение дисперсий) лежит модель варианты (xi), которая выражает ее отклонение от общей средней (M) за счет действия кон-