Биостат - помощь / Учебники / Ивантер Коросов Введение в количественную биологию

170 Задача «Найти зависимость между двумя признаками»

Говоря о технической стороне, важно отметить, что расcчитать ошибку коэффициента регрессии можно и по одной единственной выборке (используя промежуточные величины, показанные выше):

на для случая множественной регрессии, когда оценивается зависимость результативного признака от нескольких факториальных. С помощью этой процедуры удается отделить существенные факторы влияния от малозначимых.

Наряду с первым коэффициентом линейной регрессии можно проверить значимость и второго коэффициента, b. Идеология метода не меняется, но рассматривается другая гипотеза Но: b = 0, т. е. проходит ли линия регрессии через начало осей координат, через нуль.

Здесь возможны те же варианты: либо линия регрессии проходит через нуль, и тогда выборочные коэффициенты регрессии случайно варьируют около этого значения (рис. 8.7, А), либо линия регрессии не проходит через точку пересечения осей координат, и выборочные коэффициенты регрессии действительно отличны от нуля (рис. 8.7, Б).

Задача «Найти зависимость между двумя признаками» 171

Рис. 8.7. Варианты хода линии регрессии

Проверяется эта гипотеза с помощью критерия Стьюдента, меняется только метод расчета ошибки второго коэффициента регрессии:

172 Задача «Найти зависимость между двумя признаками»

n

Состат. = å( yi −Yi )2 – сумма квадратов отклонений расчет-

ных (Yi) от реальных значений признака y (остаточная сумма квадратов из таблицы дисперсионного анализа).

Если свободный член, коэффициент b, значимо от нуля не отличается, т. е. линия регрессии проходит через начало осей координат, следует пересчитать первый коэффициент регрессии a. Формула расчета коэффициента регрессии при этом упрощается:

a = Σ(x·y)/ Σx².

Регрессионная модель примет вид: Y = ax.

Ошибки коэффициентов регрессии позволяют рассчитать для каждого из них доверительные интервалы, ограничивающие область возможного варьирования с принятым уровнем значимости (значение T(α, n– 2) берется по таблице Стьюдента): a ±T·ma, b ±T·mb.

Варьирование коэффициентов a и b означает, что выборочная линия регрессии может иметь иной угол наклона, нежели генеральная, проходить в окрестностях несколько выше или несколько ниже центра, образуя целый «букет» из возможных случайно наклоненных выборочных линий регрессии (рис. 8.6). В силу нормального распределения признаков их множество укладывается в область сложной конфигурации с «перетяжкой» в окрестностях центра распределения. Этот феномен достаточно просто объяснить, имея в виду форму двумерного нормального распределения частот (рис. 8.1).

Точнее всего выборочные линии регрессии «угадывают» положение центра распределения (точки, соответствующей средним My, Mx), поскольку в этой области концентрация вариант наиболее велика, значит, и средняя оценивается с наименьшей ошибкой. Обычно линия регрессии пересекает этот центр. Напротив, по краям двумерного распределения частоты уменьшаются, варианты разрежены. Поэтому на периферии эллипса рассеяния ошибки определения среднего уровня результативного признака увеличены и выборочные линии регрессии могут далеко отклоняться от генеральной линии регрессии. По этой причине доверительный интервал, или доверительная зона линии регрессии, имеет не простую, не линейную конфигурацию (рис. 8.8).

Задача «Найти зависимость между двумя признаками» 173

эллипс рассеяния выборочные линии регрессии

границы доверительного интервала (доверительной зоны)

для генеральной линии регрессии

Рис. 8.8. Доверительный интервал линии регрессии

Теория двумерного нормального распределения предлагает методы расчета значений изменяющихся ошибок репрезентативности линии регрессии (mY), а также доверительного интервала (в котором с той или иной вероятностью находится генеральная линия регрессии); он задается границами:

x от своей средней Mx; рассчитывается по рабочей формуле:

Cx = Σx² – (Σx)²/n.

174 Задача «Найти зависимость между двумя признаками»

Как следует из формул, чем дальше значение xi находится от средней арифметической Mx, тем больше числитель подкоренного выражения, т. е. тем больше для этого значения получится ошибка линии регрессии mY и тем шире будет доверительный интервал линии регрессии, т. е. интервал для предсказанного среднего значения признака Yi для очередного наблюдаемого значения xi.

Кроме этого, в рамках регрессионного анализа можно рассчитать интервал прогноза новых наблюдений:

где SY – расчетное стандартное отклонение для предсказанных значений признака y.

Если доверительный интервал линии регрессии (Yi ± T·mY)

характеризует область ожидания генеральной линии регрессии (для средних), то интервал прогноза (Yi ± T·SY) характеризует область, в которой с заданной вероятностью ожидается появление новых значений признака y (вариант) в случае продолжения наблюдений. Вероятность (уровень значимости), с которой в данном интервале ожидается появление варианты или среднего прогноза, задается соответствующей табличной величиной критерия Стьюдента T(α, n-2).

Техника расчета линейной регрессии

Судить о том, на какую величину в среднем изменяется один признак (Y) при изменении другого (x) на единицу измерения, позволяет уравнение линейной регрессии: Y = ax + b.

Термин «линейная» относится к методу оценки коэффициентов регрессии (a, b), это метод наименьших квадратов, дающий уравнение линии, удаленной от всех точек двумерного распределения на наименьшее расстояние.

Способ вычисления уравнения регрессии показан в таблице 8.3 на примере зависимости между живым весом коров и их приплода (кг). По таблице рассчитываются квадраты вариант и их произведения, а также суммы вариант, квадратов и произведений. Вычисления ведутся по точным рабочим формулам.

Проведем последовательные расчеты. Сначала определим вспомогательные величины:

Cxy = Σ(x·y)– (Σx)·(Σy)/n = 103144–3150 ·224/ 7 = 2344, Cобщ. = Cy = Σy²–(Σy)²/n = 7330–224²/ 7 = 162,

Cx = Σx²–(Σx)²/n = 1453158–3150²/ 7 = 35658,

Cостат. = 7.92,

Cмод. = 162–7.92 = 154.08;

b = My– a·Mx = 32–0.0657 ·450 = 2.419.

Получено уравнение линейной регрессии Y = 0.0657x + 2.419, которое позволяет рассчитать теоретические значения Yi (табл. 8.3) и провести дисперсионный анализ (табл. 8.4).

176 Задача «Найти зависимость между двумя признаками»

Расчетное значение F (97.3) превышает табличное (6.0), следовательно, модель адекватна реальности. Судя по коэффициенту детерминации, «сила влияния» веса коров на вес плода велика:

Tb = b/ mb = 2.419/ 3.0359 = 0.7968.

Для уровня значимости α=0.05 и числа степеней свободы df = n–2 = 5 находим табличное значение критерия Стьюдента T(0.05,5) = 2.57.

Задача «Найти зависимость между двумя признаками» 177

Полученная величина (9.84) значительно превышает табличную (2.57), что говорит о высокой статистической значимости первого коэффициента регрессии (a), о достоверности его отличия от нуля. Масса тела теленка действительно возрастает вслед за ростом массы тела коровы.

Рассчитаем доверительный интервал, в котором с той или иной вероятностью заключено теоретическое значение веса новорожденных. Примем уровень значимости α = 0.05, тогда для числа степеней свободы df = п– 1 = 6 критерий Стьюдента (нормированное отклонение) составит 2.45. Далее находим границы. Так, для значения x = 352 кг прогноз равен Y = 25.56, отклонение составит:

= 2.45·0.81 = 1.98.

Отсюда находим границу доверительного интервала (табл. 8.3):

границы 25.56 ±1.98 кг, или от 23.58 до 27.58 кг. Именно в этом весовом диапазоне с вероятностью P = 0.95 должен находиться средний вес новорожденных телят, рожденных от коров весом 352 кг.

Интервал прогноза рассчитывается аналогично. Так, для тех

= 3.66.

Отсюда находим границы интервала прогноза: верхнюю: Yi + T·SY = 25.56 + 3.66 = 29.22

и нижнюю: Yi – T·SY = 25.56 – 3.66 = 21.89.

Для найденного значения 25.56 кг зона прогноза имеет границы 25.56 ±3.66 кг, или от 21.89 до 29.22 кг. В таком диапазоне с вероятностью P = 0.95 должен находиться вес очередного новорожденного от коровы массой 352 кг. Доверительные интервалы и интервалы прогноза, рассчитанные для других значений, отображены на диаграмме (табл. 8.3, рис. 8.9). В пределах доверительной зоны с

Итак, расчетное уравнение регрессии приняло вид: (Y = a·x+b): Y = 0.0657·x+2.1347. Однако анализ показал, что критерий Стьюдента для второго коэффициента (свободного члена уравнения) (2.13) оказался ниже табличного значения (2.57), т. е. коэффициент b значимо от нуля не отличается (на данном объеме собранных материалов). Это позволяет пересчитать коэффициент регрессии: a = Σ(x·y)/Σx² = 0.071.

Отсюда уравнение регрессии (Y = a·x) будет иметь вид:

Y = 0.071·x.

Подставляя в него любые значения х, мы получим соответствующие теоретические (т. е. средние) значения Y и таким образом сможем построить на графике линию регрессии. Например, при массе тела коровы x = 376 кг масса теленка должна составить Y = 0.071·376 = 26.7 кг, а при х = 555 Y = 39.4. Соединив на графике точки с этими координатами, получаем линию регрессии, весьма наглядно иллюстрирующую характер изучаемой связи (рис. 8.10).

В заключение оценим адекватность полученной модели исходным данным с помощью дисперсионного анализа. Для этого следовало бы вновь найти оценку остаточной суммы квадратов отклонений реальных значений от новых прогнозных, Σ(y– Y)², затем оценить регрессионную сумму квадратов, найти дисперсии и рассчитать критерий Фишера (кстати, число степеней свободы для остаточной дисперсии берется как df = n–1 = 6, раз в расчетах участвует только один коэффициент (a)). Для этой цели воспользуемся программой, встроенной в пакет Excel. Она вызывается командой меню

Сервис\ Анализ данных\ Регрессия.

Дисперсионный анализ (табл. 8.5) показал, что расчетное значение (F = 102.9) выше табличного (6.0), т. е. регрессионная дисперсия существенно превышает остаточную, иначе говоря, исходные данные и модельные расчеты хорошо согласуются друг с другом, модель адекватна реальности. Коэффициент детерминации указывает, что «сила влияния» веса коров на вес плода очень велика:

R 2 = 153.08 = 0.945 . 162