Биостат - помощь / Учебники / Ивантер Коросов Введение в количественную биологию

140 Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

j =1 S

Стабилизировать поведение данной случайной величины позволяют поправки, применение которых дает критерий Бартлетта:

где k – число градаций (сравниваемых выборок), nj – объем j-й градации (j = 1, 2,…, k),

S² – дисперсия для всей совокупности данных (общая средняя сумма квадратов),

Sj² – дисперсии для каждой j-й градации (средняя сумма квадратов по каждой градации),

k

å=å – операция суммирования по всем k градациям.

j =1

Рассмотрим пример использования критерия Бартлетта для изучения изменчивости длины тела дафний (данные Н. М. Калинкиной). Животных в течение месяца содержали в пяти разных концентрациях лигнина, основного компонента сточных вод предприятий целлюлозно-бумажной промышленности. К концу опыта размеры рачков (M, мм) в высоких концентрациях стали выше, чем в контроле. Возникает вопрос, не сказалась ли жизнь в загрязненной

среде на изменчивости (S, мм) размеров тела дафний? Предварительные расчеты приведены в табл.7.5.

B= [å(n j -1)] × ln S 2 - å(n j -1) × ln S 2j =

=43 × ln 0.02185 - (-173.711) = –164.416 + 173.711 = 9.29816,

Полученная величина (8.88) не превышает табличное значе-

ние критерия χ² = 9.49 (табл. 9П), следовательно, отличия дис-

(0.05,4)

персий друг от друга недостоверны. Пока не удалось доказать влияние токсиканта на изменчивость длины тела дафний.

142 Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

Сравнение нескольких выборок по величине двух признаков (двухфакторный дисперсионный анализ)

Двухфакторный дисперсионный анализ исследует влияние на результативный признак двух факторов как порознь, так и совместно. Учет эффекта влияния каждого фактора по отдельности теоретически ничем не отличается от описанных выше схем. И там и тут оценивается изменчивость средних по градациям на фоне случайной изменчивости вариант внутри градаций, с помощью критерия Фишера устанавливается достоверность отличий межгрупповых дисперсий от внутригрупповых.

Важным преимуществом двухфакторного дисперсионного анализа перед однофакторным служит то, что с его помощью в рамках факториальной изменчивости удается определить варьирование по сочетанию градаций Ссочет., позволяющее получить новый и весьма ценный в биологическом отношении показатель – оценку влияния сочетанного действия (взаимодействия) факторов.

Логико-теоретические основы

Модель двухфакторного дисперсионного анализа становится сложнее и выражает отклонение варианты (xi) от общей средней (M) за счет действия двух контролируемых факторов порознь (xфактA., xфактB.) и совместно (xсочетAB.), а также за счет действия случайных причин (xслуч.):

xi = M ± xфактA. ± xфактB. ± xсочетAB. ± xслуч..

Правило разложения вариаций предстает как:

Собщ. = СA + СB + СAB + Сслуч.,

Сфакт. = Собщ. – Сслуч. = СA + СB + СAB,

где Собщ. = Σ(xi – M) ²,

СA. = Σ(MAj – M)²,j – число градаций фактора А, СB = Σ(MBk – M)²,k – число градаций фактора В,

Сслуч. = Σ(xi – M xi)²,

СAB = Собщ. – (СA + СB + Сслуч.).

Сочетанное действие (взаимодействие) факторов означает, что каждый из них помимо прямого воздействия на объект исследо-

вания сказывается и на характере влияния на объект и другого фактора, усиливает или ослабляет его. К примеру, неурожай кормов усугубляет негативное действие зимнего холода на численность популяций мелких млекопитающих.

Выделяют три основных вида взаимодействия факторов:

–аддитивное, когда взаимодействия факторов нет, их эффекты просто складываются,

–антагонизм, когда один фактор ослабляет действие другого,

инаоборот,

–синергизм, когда наблюдается усиление действия обоих факторов.

Эти эффекты часто встречаются в практике токсикологических исследований. Рассмотрим гипотетические примеры действия на подопытных животных двух веществ, взятых в разных концентрациях. По осям OX и OY диаграммы отложены концентрации этих веществ в диапазоне от 0 до CL50, которые за время опыта вызывают гибель 50% особей (рис. 7.2). Первая иллюстрация показы-

вает точки на осях, в которых концентрации вещества [A] = 0 и [B] = CL50 = ВCL50, а наблюдаемая гибель составляет 50% особей, то же наблюдается для вещества [A] = CL50 = ACL50 и [B] = 0.

Аддитивное действие – простое сложение влияний. Прямая, соединяющая точки [A] = CL50 = ACL50, [B] = CL50 = ВCL50, есть множество опытов, в которых токсиканты ведут себя по отношению друг к другу как одно и то же вещество, поскольку эффекты от их доз просто суммируются. Так, половинные по эффекту дозы ACL50/2 и BCL50/2 в сумме дают одну «полноценную» совместную CL50. Однако важно отметить, что пропорциональность эффектов разных веществ вовсе не означает пропорциональности их концентраций.

144 Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

Антагонизм – подавление вредного действия одного вещества другим. Любая точка на выгнутой кривой свидетельствует о том, что для достижения эффекта CL50 требуется взять дозы, которые в сумме должны бы превышать эффект CL50. Например, эффект CL50 в точке 1 достигается суммой 0.7·ACL50 + 0.7·BCL50. Чисто арифметически (аддитивно) эффект должен был составить 1.4·CL50, т. е. 70% гибели тест-объектов.

Синергизм – усиление действия. Точки на вогнутой кривой соответствуют ситуации, когда для достижения эффекта CL50 можно взять дозы, суммы которых аддитивно меньше CL50. Так, эффект CL50 обнаруживается в точке для суммы 0.4·ACL50 + 0.4·BCL50. Аддитивный эффект должен был составить 0.8·CL50, т. е. 40% гибели организмов, но синергизм обеспечивает гибель 50% особей.

Сочетанное действие факторов нельзя смешивать с корреляцией факторов. Взаимодействие осуществляется «внутри» объекта исследования и связано со спецификой реакции биосистемы, а корреляция реализуется «снаружи» и связана как с природой фактора, так и со способом организации наблюдений. Чтобы выявить эффект именно взаимодействия, совместного воздействия, изучаемые факторы должны быть, по возможности, независимы друг от друга.

Кроме этого, имеется ряд условий правильного применения данного метода. Так, дисперсионному комплексу необходима полнота, т. е. второй фактор (В) должен быть представлен в каждой градации первого фактора (А) одинаковым числом градаций.

Ниже рассмотрены алгоритмы, относящиеся лишь к равномерным комплексам, характеризующимся равной численностью групп (в градациях содержатся одинаковое число вариант). Что же касается неравномерных многофакторных комплексов, то их анализ принципиально возможен, но имеет свои особенности, существенно усложняющие технику вычислений.

Если исходные данные представлены по градациям неравномерно, вполне допустимо искусственное превращение их в равномерные комплексы. Для этого нужно составить выборки одинаковой величины, используя часть имеющихся данных. Следует помнить, что такой отбор должен быть не субъективным, но случайным. При организации случайного отбора вариант лучше всего прибегнуть к жеребьевке. Например, убирать из выборки те варианты, номера которых совпадают со значениями случайных чисел (табл. 3П). От-

бросив часть вариант, мы лишаемся и части информации о варьировании признаков; избежать неправильных выводов, вызванных методикой формирования выборок, помогает многократный пересчет по схеме дисперсионного анализа с использованием результатов нескольких жеребьевок. Ограниченные рамки настоящего краткого руководства не позволяют остановиться на этом вопросе более подробно, поэтому мы отсылаем заинтересованного читателя к специальным пособиям, где техника дисперсионного анализа неравномерных многофакторных комплексов изложена с исчерпывающей полнотой.

Условием эффективности многофакторного анализа является также выбор схемы организации факторов в градации. Выше был рассмотрен дисперсионный анализ массива данных с повторностями в каждой градации, для которого разложение суммы квадратов соответствует выражению Собщ. = СA + СB + СAB + Сслуч. (табл. 7.6).

Таблица 7.6 Двухфакторный дисперсионный комплекс: c градаций фактора А

(столбцы) и r градаций фактора В (ряды) с n повторениями в каждой градации (l = 1, 2,…, r; j = 1, 2,…, c; i = 1, 2,…, n)

Однако простейшей структурой дисперсионного анализа служит таблица, поля и графы которой характеризуют градации действия двух факторов, а в каждой ячейке содержится лишь одно значение результативного признака (табл. 7.7).

146 Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

Таблица 7.7 Дисперсионный комплекс для трех градаций без повторений

Комплексы без повторений в градациях упрощают не только алгоритм обработки, но, к сожалению, и результаты. Сумма квадратов разлагается только на следующие компоненты:

Собщ. = СA + СB + Состат.,

эффект сочетанного действия становится не отличим от случайного варьирования (Состат. = СAB + Сслуч.).

Техника расчетов

Рассмотрим конкретный пример – испытания стимулятора многоплодия при разной полноценности рационов. Полноценность рациона (первый фактор) представлена двумя градациями: A1– рацион с недостатком минеральных веществ, А2 – рацион, полностью сбалансированный по всем питательным веществам, включая и минеральные. Стимулятор (второй фактор) был испытан в трех дозах: В1 – одинарная, В2 – двойная, В3 – тройная. Результативный признак – плодовитость самок, измерявшаяся числом детенышей в помете. Для каждого сочетания градаций рациона и стимулятора были подобраны три одновозрастные самки.

Комбинативная таблица двухфакторного равномерного дисперсионного комплекса с трехкратной повторностью (ni = 3) включает две градации по фактору А и три градации по фактору В (табл. 7.8). Варианты размещаются по градациям, определяется объем градации, вычисляются суммы вариант, частные средние, затем вспомогательные величины (Н1, Н2, Н3, НА, НВ) и суммы квадратов отклонений (дисперсий) по рабочим формулам. В завершение всего заполняют таблицу дисперсионного анализа (табл. 7.9), находят показатель достоверности влияния Фишера и, сопоставляя его с табличным для соответствующих степеней свободы и принятого уровня значимости, делают статистический вывод.

148 Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

Собщ. = H1– H2 = 608–450 = 158

Сслуч. = H1– H3 = 608–588 = 20

Cфакт. = СA+B+AB = H3– H2 = 588–450 = 138

СA = HA– H2 = 468–450 = 18

СB = HB– H2 = 486–450 = 36

СAB = Cфакт.– СA– СB = 138–18–36 = 84

В нашем примере все факториальные влияния оказались достоверными с доверительной вероятностью Р>0.95. Это позволяет сделать определенные выводы относительно действия стимулятора на плодовитость самок. Влияние каждого фактора в отдельности (качества рациона и дозы стимулятора) и их суммарного эффекта достаточно существенно, но особенно результативно действие стимулятора в сочетании с полноценным рационом (величина η²АВ выше, чем η²А и η²В). Более того, при недостатке в корме минеральных веществ двукратные и трехкратные дозы стимулятора могут даже снизить плодовитость животных.

Таблица двухфакторного дисперсионного анализа имеет ту же структуру, что и таблица для однофакторного анализа, только факториальная дисперсия разложена на три компоненты (для факторов А, В и их взаимодействия). Для каждой из них требуется вычислить число степеней свободы с учетом числа градаций фактора А (c, количество столбцов) и числа градаций фактора В (r, количество

рядов), значения дисперсий, а также критерий Фишера. Поскольку каждому из расчетных значений критерия соответствует свое число степеней свободы, табличные значения окажутся разными.

Дисперсионный анализ в среде Excel

Алгоритм двухфакторного дисперсионного анализа, естественно, требует более сложных вычислительных операций, чем однофакторный, но все они заложены в программе Excel «Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями» (только для равномерных комплексов!), который вызывается командой меню Сервис/ Анализ данных …. Исходные данные следует расположить на листе Excel по схеме 1 (табл. 7.6).

Впункте макроса «Число строк для выборки» следует поставить объем выборки в одной градации, n; для нашего примера n = 3. Результаты расчетов (рис. 7.3) помимо общей статистической обработки для каждой градации содержат дисперсионную таблицу, почти идентичную приведенной выше (табл. 7.9). Отличие касается отсутствия строки для учета общей факториальной суммы квадратов (Cфакт.) и дисперсии (S²факт.), а также добавления новых столбцов – табличного значения уровня значимости для рассчитанного критерия F Фишера; табличное значение критерия также приведено для уровня значимости α = 0.05.

Всреде пакета Excel есть возможность провести и «Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений», который вызывает-