Биостат - помощь / Учебники / Ивантер Коросов Введение в количественную биологию

альному закону (дискретные признаки) (подробнее законы распределения рассмотрены ниже). Зачастую отклонение поведения случайных величин от этих законов связано с непродуманным способом получения выборок, с методическими ошибками и неточностями (хотя многие биологические признаки исходно имеют иные типы распределения). Для приведения распределения к более «чистому» виду нужно выявить, учесть, изучить факторы, влияющие на изменчивость вариант, и самые сильные из них по возможности ликвидировать. Тогда выборка будет точнее соответствовать объекту исследования. Унификацию выборки можно проводить, например, путем формирования из одной выборки двух и более выборок (с вариантами отчетливо разного статуса). Так, в морфологических исследованиях считается очевидно необходимым разделение животных по видам. Но не менее важно отдельно характеризовать самок и самцов, разновозрастных животных и даже представителей разных генераций с разными сроками рождения. Ликвидируя сильные причины варьирования, мы будем формировать выборки со все более «правильными» («нормальными») распределениями. Теоретически мыслима ситуация, когда учтены все факторы варьирования и многократные повторные измерения объекта исследования дают одно и то же единственное значение. Если в физике такая ситуация возможна («чистый эксперимент»), то в биологии, с ее необозримым числом факторов (внешних и внутренних по отношению к объекту исследования), практически не удается получить абсолютную повторяемость вариант. В лучшем случае множество несущественных причин обеспечит «хорошее» нормальное распределение.

Фактор

Фактор – это условия проведения наблюдений, среда существования объекта, возможная причина, определяющая текущее состояние объекта. Часто выделяют факторы эндогенные, внутренние (статус, способ существования объекта) и экзогенные, внешние (среда, условия существования объекта). Иными словами, граница между признаком (статусом) и фактором (эндогенным) достаточно условна. Разграничение этих понятий важно только с точки зрения организации вычислительной статистической процедуры. Фактор всегда есть активное, действующее начало, признак – его результат,

последствие. В кибернетической схеме, методической основе построения моделей, фактор есть вход, переменная x, признак – выход, переменная y: y = f (x).

В биологической системе, содержащей много компонентов, где выход одного процесса является входом для следующего, понятия фактора и признака теряют свою определенность, поэтому их называют переменными, или же потоками. Тем не менее нам важно сохранить в нашем учебнике биометрии эти термины, поскольку они явным образом ориентируют на поиск причинной обусловленности явлений и вполне адекватно соответствуют биоэкологической терминологии.

Сметодической точки зрения есть факторы контролируемые

инеконтролируемые. В первом случае степень проявления фактора точно устанавливается, а затем организуется получение выборок при разных заданных уровнях. Таковы условия проведения лабораторных экспериментов, когда имеется возможность сразу получать «чистые» выборки, не загрязненные эффектами действия посторонних факторов. Во втором случае, таковы натурные наблюдения, значения факторов неподвластны исследователю. Некоторые факторы он в состоянии регистрировать, другие – нет. Эта ситуация наиболее обычна для экологии, и важно понимать, как здесь может помочь статистика. Оказывается, что существуют методы, которые (при достаточно большом числе наблюдений в разных условиях) позволяют из всего многообразия эффектов действия факторов выделять интересующие исследователя (особенно эффективны дисперсионный и компонентный анализы). Самым важным при этом оказывается обязательная регистрация максимально возможного числа факторов (как внешних, так и внутренних), тогда появляется возможность исследовать их раздельное действие на объект. Современный путь биометрии – измерение большого числа признаков объектов и факторов их среды с последующим изучением зависимостей между ними методами многомерной статистики. Отсюда следует общая рекомендация при составлении выборки – определение по возможности всех условий ее получения. Например, для морфофизиологи-

ческого исследования нужно знать пол особи, ее год и месяц рождения, фазу динамики численности популяции, когда проводились отловы.

Важно помнить, что цель любого биометрического исследования всегда состоит в том, чтобы доказать достоверность действия какого-либо фактора, определить, влияет ли изменение дозы (силы действия) данного фактора на изменение значений данного признака. Так, сравнение двух выборок уже есть задача сравнения двух доз некоего фактора, представленных соответственно двумя группами вариант. Если групп вариант (доз, градаций фактора) несколько, то мы имеем возможность решить задачу оценки интенсивности этого влияния (дисперсионный анализ), а также задачу оценки характера влияния (регрессионный анализ).

Если фактор однозначно влияет на признак, то он называется систематическим или доминирующим, если влияет спорадически, он должен быть определен как случайный. Эти рассуждения приводят к первой модели варианты:

xi = xdi ± x ri,

где xi – измеренное значение варианты, i – индекс варианты (i = 1, 2, … , n ),

xdi – суммарный вклад j доминирующих факторов (dominant),

xd = Σxdj,

xri – суммарный вклад k случайных факторов (random),

xri = Σxrk.

Вопрос о влиянии может быть поставлен только в отношении контролируемого или регистрируемого фактора, о неучтенных факторах (которых всегда достаточно много) нельзя сказать почти ничего. Такие неучтенные факторы, о которых нет информации, также относят к случайным. В то же время практика показывает, что эти факторы реально существуют и действуют, вызывая варьирование. Значит, общей перманентной задачей биометрического исследования остается поиск способа регистрации неучтенных факторов и доказательство не случайности их влияния.

Построение вариационного ряда

Мы считаем, что любое статистическое исследование должно начинаться с установления характера распределения изучаемых признаков. Распределение – это соотношение между значениями случайной величины и частотой их встречаемости. Статистическая теория началась с идеи подсчитать, как часто случается то или иное событие. Бó льшая повторяемость одних значений по сравнению с другими заставляет задумываться о причинах, о закономерностях наблюдаемых процессов. В качестве первичного описания любого явления может выступить частотное распределение. Если значения признака откладывать по оси абсцисс, а частоты их встречаемости по оси ординат, то можно построить гистограмму, частотную диаграмму, удобную для целей иллюстрации и исследования.

Основой для построения гистограммы служит вариационный ряд – представленный в виде таблицы ряд значений изучаемого признака (x), расположенных в порядке возрастания с соответствующими им частотами их встречаемости в выборке (a).

Начнем с примера изучения плодовитости серебристочерных лисиц, которое дало следующие результаты (число щенков на самку): 5565564445646646455853655555636464625653763468635 565438475431653456744656465.

Для дискретного признака (плодовитость – число щенков у одной самки) построение вариационного ряда обычно не представляет сложности, достаточно подсчитать встречаемость конкретных значений.

Гистограмма, построенная по данным о плодовитости лисиц (рис. 2.3), сразу же обнаруживает характерное поведение случайной величины – высокие частоты встречаемости значений в центре распределения и низкие по периферии.

Если же изучаемый признак непрерывен (таковы размерновесовые характеристики), то для построения вариационного ряда сначала весь диапазон изменчивости признака разбивается на серию равных интервалов (классов вариант), затем подсчитывают, сколько вариант попало в каждый интервал. Число классов для больших выборок (n>100) должно быть не менее 7 и не более 12, их оптимальное число можно приблизительно определить по эмпирической формуле:

k = 1+3.32·lg(n), где п – объем выборки.

Составим для примера вариационный ряд для непрерывного признака – по данным о весе 63 взрослых землероек (г):

1)Все операции могут быть выполнены как вручную, так и с помощью функций Excel. Предвидя расчеты, на листе Excel данные лучше всего разместить в столбце (например, в блоке A2:A64). Далее следует определить объем выборки n, введя формулу в ячейку A1 и задав мышью диапазон: A1 =СЧЁТ(A2:A64).

2)Рассчитаем пределы размаха изменчивости значений, лимит (разность между максимальным и минимальным значением):

Lim = Ymax – Ymin = 11.9–7.3 = 4.6,

B1 =МАКС(A2:A64)–МИН(A2:A64).

3)Найдем число классов вариационного ряда по формуле: k = 1+3.32*lg(63) = 6.973811 ≈ 7,

С1 =1+3.32*LOG10(A1).

4)Найдем длину интервала dx (допустимо округление):

dx = Lim/ k = 4.6/ 7 ≈ 0.7,

D1 =B1/C1.

D2 =ОКРУГЛ(D1,1).

5)Установим границы классов;

вкачестве первой границы имеет смысл взять округленное минимальное значение (D3 = 7). Для расчетов на листе Excel удобно к значениям предыдущей границы прибавлять значение ширины интервала: D4 =D3+0.7 (или D4 =D3+$D$2); далее формулу следует ввести еще в семь ячеек, удобнее всего с помощью приема

«автозаполнение»: D5 =D4+0.7 …

(блок D5:D11).

6) Вычислить центральное значение признака в каждом классе. На листе Excel вычисления аналогичны рассмотренным в п. 4; исходным берется значение центра первого интервала:

E4 =СРЗНАЧ(D4:D3) , E5 =E4+0.7, … , E10 =E9+0.7.

36Выборка и ее статистическое описание

7)Произвести разноску вариант в соответствующие классы с подсчетом их числа методом конверта (табл. 2.2):

Для подсчета частот на листе Excel следует вызвать программу (макрос) построения вариационного ряда командой меню

Сервис\ Анализ данных\ Гистограмма и заполнить окно. Каждое действие выполняется в два приема. Сначала нужно установить курсор в нужное окошко, щелкнув туда мышкой, затем мышкой же выделять соответствующие диапазоны ячеек листа Excel, нажимая левую кнопку над первой ячейкой диапазона и отпуская над последней (см. руководства к пакету Excel).

В качестве «Входного интервала» задать массив ячеек, содержащих исходные значения вариант (A2:A64). «Интервал карманов» – это блок значений правых границ классовых интервалов (D3:D11). Для «Выходного интервала» достаточно указать мышью одну ячейку (F3), это будет верхняя левая ячейка для блока результатов подсчета частот. После этого нажать ОК. Если все сделано правильно, появятся результаты, совпадающие с табл. 2.2. Однако необходимо помнить, что на листе Excel значения частот ставятся в соответствие не центрам классовых интервалов, но их правым (большим) границам.

Чтобы в дальнейшем не путаться, можно сразу переместить значения центров интервалов на место соответствующих карманов.

Для этого выделим диапазон E3:E11, перетащим на место F3:F11, подтвердив замену содержимого ячеек (рис. 2.4). Пустая ячейка E3 нужна для упрощения операции автоматического построения диаграммы – значения для оси абсцисс (первый столбец) не должны быть подписаны, а ячейка над значениями для оси ординат (второй столбец) должна содержать надпись.

Теперь данные можно представить графически, в виде полигона частот (ломаной кривой) или гистограммы (столбиками). Выделим диапазон E3:F10 и с помощью Мастера диаграмм или кнопки

Тип диаграммы построим Гистограмму или График (рис. 2.5). Отметим, что шкалирование осей диаграммы прошло автоматически.

Средняя (характеристика величины признака)

Одной из важнейших обобщающих характеристик вариационного ряда является средняя величина признака (часто обозначается буквой М). Существует несколько видов средних (средняя арифметическая – простая и взвешенная, средняя гармоническая, средняя квадратичная), но в практике биологических исследований наибольшее значение имеет средняя арифметическая, величина, вокруг которой «концентрируются» варианты.

Физической аналогией может послужить такой образ средней арифметической для признака с нормальным распределением: средняя – это та точка вырезанного из картонки распределения, опираясь

на которую левая и правая симметричные половинки уравновешивают друг друга.

Общая формула для определения величины средней арифметической – это отношение суммы значений всех вариант (xi) выборки к их числу (объему выборки, n):

M = å xi . n

Средняя арифметическая характеризует действие систематических факторов, дающих равный вклад в каждую варианту выборки, исходя из рассмотренной модели:

xi = xdi ± x ri.

Выполняя суммирование Σxi = Σxdi + Σ(±xri) ,

можно увидеть, что сумма случайных отклонений влево и вправо от средней в силу симметричности нормального распределения обращается в нуль (Σ(±xri) = 0). Значит, сумма вариант есть сумма эффектов действия только доминирующего фактора, одинакового для всех вариант (Σxi = Σxdi). Средняя арифметическая есть поэтому характеристика действия доминирующего фактора на одну варианту: M = Σxi /n = Σxdi/n. Модель варианты преобразуется: xi = M ± xri.

Всреде Excel значение средней арифметической вычисляет функция =СРЗНАЧ(диапазон). Диапазоном может быть как один столбец, так и несколько. Для нашего примера с бурозубками средний вес составит С3 =СРЗНАЧ(A2:A64), M = 9.298412698. При расчетах статистических параметров следует помнить, что большое количество значащих цифр, рассчитанных ЭВМ, обычно не имеет никакого биологического смысла. Записывая такие статистические параметры, как средняя и стандартное отклонение, следует оставлять в лучшем случае на одну значащую цифру больше, чем имели значения вариант, а оценки ошибок – на две значащих цифры. Поскольку масса тела бурозубок колебалась от 7.3 до 11.9 г, средняя с учетом округления должна иметь вид: M = 9.3 г.

Вбиологических исследованиях зачастую встречается ситуация, когда требуется первичная статистическая обработка большого числа выборок, но необязательно с большой точностью. Это может понадобиться для предварительного рассмотрения и оценки материала, в частности для оперативного выявления общих тенденций его изменчивости, с тем, чтобы в дальнейшем перейти к специальным методам статистического анализа. Таковы, например, параметры многочисленных почвенных проб, результаты лабораторных анализов, морфологические характеристики разных групп животных, органов растений, физиолого-биохимические показатели и др.

Вэтих случаях вычисление средней арифметической по предложенной формуле неоправданно из-за большой трудоемкости и неадекватной задачам исследования избыточной точности. Между тем знание закона нормального распределения позволяет предложить простой экспресс-метод расчета средней арифметической с использованием полученного для данной выборки размаха значений (Lim).