Численные методы. Лекции. Часть 2

ким образом в первом случае имеем двух параметрическое семейство решений (расчетных схем), параметры которого c2

раметрическое семейство решений относительно параметра ξ ≡ b3 = 0 ,которое может быть представлено в схематичной форме

0

22

44 − ξ ξ

•при c2 = 23 , c3 = 0 решения системы образуют однопараметрическое семейство решений относительно параметра

ξ≡ b3 = 0 ,которое может быть представлено в схематичной форме 1 3

0

22

Убедитесь в том, что как бы мы ни выбрали параметры, четвертую производную обратить в нуль для произвольной правой части f (x, y(x)) нельзя. Разложение погрешности метода имеет вид:

Рассмотрим несколько наиболее употребительных расчетных

схем интегрирования третьего порядка точности.

Для этого положим:

81

1

c2 = 2 , c3 = 1,

Тогда метод (10.1) с использованием равенств (10.11)-(10.16) примет вид:

Тогда метод (10.1) в соответствии с соотношениями (10.11)-(10.16), примет вид:

§11. Четырехэтапный метод Рунге-Кутты.

Займемся теперь построением четырехэтапного метода РунгеКутты с таким расчетом , чтобы он имел порядок точности – четыре. Раннее мы уже строили методы и знаем , что надо делать: вычислить производные порядка 1, 2, 3, 4 от Ψ(h) при h = 0 и исследовать условия порядка при которых эти равенства: Ψ(i)(0) = 0, i = 1, 2, 3, 4. выполняются Число вычислений правой

82

части на шаге интегрирования равно m = 4. Метод интегрирования имеет вид:

y(x + h) ≈ y(x) + b1k1(h) + b2k2(h) + b3k3(h) + b4k4(h). (11.1)

где

k1(h) = hf (x, y(x)),

k2(k) = hf (x + c2h, y(x) + a21k1(h)),

k3(k) = hf (x + c3h, y(x) + a31k1(h) + a32k2(h)),

k4(k) = hf (x + c4h, y(x) + a41k1(h) + a42k2(h) + a43k3(h)).

Методическая погрешность равна

Ψ(h) = y(x + h) − y(x) − b1k1(h) − b2k2(h) − b3k3(h) − b4k4(h)(11. .2)

Кутта дал общее решение системы (11.3)-(11.6) . Мы рассмотрим лишь частные решения этой системы на примере двух наиболее

83

известных схем интегрирования:

Правило одной шестой(Классический метод Рунге-Кутты)

k4(k) = hf (x + h, y(x) + k3(h)).

Погрешность формулы (11.7) , как и для всех формул Рунге-Кутты четвертого порядка точности, представляется в следующей форме:

Предпринималось много попыток, чтобы выбрать возможно "лучший"из множества различных расчетных схем метода РунгеКутты четвертого порядка точности. Достоин внимания метод Гилла. Гилл преследовал цель уменьшить количество требуемой машинной памяти("регистров"). Он заметил, что больше всего памяти нужно при вычислении k3(h), когда требуются регистры для хранения в какой-либо форме величин y + a31k1(h) + a32k2(h), y + a41k1(h) + a42k2(h), y + b1k1(h) + b2k2(h), k3(h). Гилл определил, что для третьего этапа будет достаточно трех регистров, если величины подлежащие хранению линейно зависимы.

1 a31 a32

84

А это возможно, если параметры метода равны соответственно:

системы АУ-условий порядкаединственным образом:

Расчетная формула Гилла «Каждая вычисленная величина засылается в регистр,

ранее содержащий соответствующую величину предыдущей стадии, больше не нужную»

Этот метод ныне целесообразно использовать для систем уравнений

очень высокой размерности.

Алгоритм построения одношагового метода типа Рунге-Кутты любого порядка.

Как мы уже убедились, количество этапов метода, формально определяет структуру явного метода Рунге-Кутты и значит напрямую связаны с количеством - q параметров метода bi, ci, aij . Приведем таблицу этой зависимости:

85

Количество условий порядка −d (количество уравнений системы алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять параметры метода ) определяется требованиями к порядку точности метода. Эта зависимость может быть представлена в виде таблицы связывающей порядок точности −s метода Рунге–Кутты и количество условий порядка:

Построение метода, предполагает фиксацию хотя бы одного из двух параметров m s :

•если определены :число этапов - m и порядок точности - s , то Ψi(0) = 0, i = 1, s для того чтобы выполнялись эти равенства, необходимо и достаточно, чтобы параметры мето-

да bi, ci, aij являлись решениями системы нелинейных алгебраических уравнений( условия порядка): Lq(m),d(s) = 0, где q(m) -число неизвестных, d(s) -число уравнений системы связывающей параметры метода;

•если задано число этапов - m , то как правило задается еще какой-нибудь критерий для построения метода интегрирования и ищем решение системы алгебраических уравнений таким образом, чтобы в рамках существующих ограничений порядок точности был наибольшим;

•если определен порядок точности - s , необходимо найти параметры метода таким образом, чтобы в рамках существующих ограничений количество этапов было минимальным.

Для явных методов в общем случае выполняется неравенство m s. Фактически (для тех значений, для которых это известно) минимальное значение mˆ ≡ m для данного s приведем в таблице:

86

В начале 60-х Батчер доказал , что при s 5 не существует явных методов Рунге-Кутты порядка точности s с числом этапов m = s.

Наивысший порядок, фактически достигнутый для явно построенных методов Рунге-Кутты, равен десяти.(Книга рекордов Гинесса). Кертис сконструировал в 1975 году 18-этапный метод порядка точности 10 . В 1978 году Хайрер скоструировал 17-этапный метод десятого порядка точности. Эти схемы могут быть полезны при требуемой точности выше чем 10−15.

§12. Сходимость явных одношаговых методов.

Классификация погрешностей.:

Требуется найти функцию y(x), которая является решением дифференциального уравнения

Решение задачи (12.3),(12.4) зависит от y¯0 и не совпадает с

решением y(x) исходной задачи (12.1),(12.2).

Разность

87

называется неустранимой погрешностью решения y0(x).

•Разность между значением решения y0(xn) задачи (12.3),(12.4) и его приближенным значением yn, полученным по формуле

называется погрешностью метода, или глобальной погрешносью метода.

Но вследствии ошибок округления и приближенного вычисления правой части f (x, y) дифференциального уравнения вычисления значений yn по формуле (12.7) выполняются неточно. Фактически найденные значения yˆn удовлетворяют не соотношению (12.7), а условию

Невязка δn называется погрешностью округления на n− м шаге.

•Разность между точным решением y(xn) задачи (12.1),(12.2) и приближенным фактически найденным значением yˆn

называется полной погрешностью приближенного решения

• Величина

называется вычислительной погрешностью.

88

•Из соотношений (12.6),(12.7), (12.10),(12.11) следует, что

полная погрешность приближенного решения равна сумме неустранимой погрешности, погрешности метода и вычислительной погрешности.

Рассмотрим поведение полной погрешности. Представим Rn в виде:

Rn = (y(xn) − yˆn) = (y(xn) − yn−1(xn)) + (yn−1(xn) − yˆn) =

= (y(xn) − yn−2(xn)) + (yn−2(xn) − yn−1(xn)) (yn−1(xn) − yˆn) =

Здесь yj (x) - интегральная кривая, проходящая через точку

(xj , yˆj ).

Докажем вспомогательное утверждение.

Лемма 12.1. Пусть z1(x) и z2(x) решения дифференциального

уравнения

где y¯(x) заключено между z1(x) и z2(x) .

Доказательство

Так как z1(x) и z2(x) являются решениями ДУ, то справедливы равенства

z1(x) = f (x, z1(x)), z2(x) = f (x, z2(x))

89

двух решений уравнения (12.1), для которой с учетом только что доказанной Леммы справедливо равенство

90