Численные методы. Лекции. Часть 2

сделать точным для всех алгебраических многочленов степени 2n− 1, или, что равносильно, чтобы оно было точным для степеней x от нулевой до 2n − 1.

И д е я м е т о д а !!!

Рассмотрим полином Pm(x), m n. Выпишем его представление в виде:

где

ω(x) = xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0.

Вычислим, с использованием квадратурной формулы (15.1), определенный интеграл для рассматриваемого полинома. Под знак интеграла внесем представление (15.4) полинома Pm(x) . И вычислим методическую погрешность квадратурной формулы (15.1)

b

R(Pm(x)) = p(x)Pm−n(x)ω(x) dx −

a

Теперь, если предположить, что (15.1) точна для любого полинома

31

Так в соответствии с соотношением (15.6) наше предположение относительно степени точности квадратурной формулы (15.1) , будет возможно, если узловой многочлен ω(x) ортогонален с весом p(x) любому полиному степени m − n.

Теперь докажем несколько теорем (конструктивных), подтверждающих эту идею и являющихся теоретической базой алгоритма построения квадратурных формул наивысшей алгебраической степени точности(формул Гаусса).

Теорема 15.1. Для того, чтобы квадратурная формула (15.1), была точной для алгебраических многочленов степени 2n−1, необходимо и достаточно выполнение условий:

•формула (15.1) должна быть интерполяционной;

•узлы xi формулы (15.1) должны быть такими, чтобы узловой многочлен

Необходимость

Если равенство (15.1) является точным для всякого многочлена степени 2n−1, то оно точно и для многочленов степени n−1, а тогда по (6.1) формула должна быть интерполяционной, и первое условие должно выполняться.

Докажем второе условие.

Пусть Q(x) - любой многочлен степени n − 1, тогда f (x) = Q(x)ω(x) - полином степени 2n − 1 и для него (15.1) является точным, т.е. справедливо равенство

b n

p(x)Q(x)ω(x) dx = AiQ(xi)ω(xi) = 0,

a i=1

что доказывает второе условие.

32

Достаточность

Возьмем произвольный многочлен f (x) степени 2n−1. Разделим его на узловой многочлен ω(x) , тогда справедливо равенство:

Воспользовавшись представлением (15.9) исходный интеграл может быть представлен в виде:

b b b

p(x)f (x) dx = p(x)ω(x)Q(x) dx + p(x)r(x) dx. (15.11)

a a a

С учетом выполнения условия ортогональности - первое слагаемое в правой части (15.11) равно нулю и справедливо равенство

А так как степень полинома r(x) не выше n − 1, то в силу справедливости первого условия теоремы - квадратурная формула является интерполяционной и значит верно равенство

Что и доказывает теорему.

Выясним теперь вопрос о существовании многочлена

33

a

Условие ортогональности (15.14) можно представить в виде:

b

p(x)ω(x)xs dx =

a

b

=p(x)[xn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a0]xs dx = 0,

Используя раннее введенное понятие момента весовой функции перепишем равенство (15.17) в следующем виде:

μs+n + an−1μs+n−1 + an−2μs+n−2 + . . . + a0μs = 0,

При каких условиях система (15.19) имеет решение ? Ответ на этот вопрос дает :

Теорема 15.2. Пусть весовая функция p(x) не меняет знак на [a, b], (для определенности неотрицательная)

34

Доказательство

Будем искать многочлен ω(x) в форме (15.15 ) разложения по степеням x . Для определения коэффициентов a0, a1, . . . , an−1 условия ортогональности дадут систему n уравнений:

b

p(x)[xn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a0]xs dx = 0,

a

Система (15.21),(15.22) имеет решение в том случае, если соответствующая однородная система

имеет только нулевое решение, т.к. отсюда следует, что определитель системы (15.21),(15.22) отличен от нуля и она имеет единственное решение.

Покажем это. Представим (15.23) в виде

b

p(x)[an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a0]xs dx = 0,

a

b

p(x)[an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a0]x0a0 dx = 0(15, .25)

a

b

p(x)[an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a0]x1a1 dx = 0(15, .26)

. .a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Просуммируем уравнения (15.25)-(15.27), получим:

равны нулю и однородная система имеет только нулевое решение. Что и требовалось доказать. Узлы xi квадратурной формулы предполагаются лежащими на интервале интегрирования [a, b]. Необходимо убедиться, что корни многочлена ω(x), найденного по условию ортогональности, принадлежат этому отрезку.

свойству ортогональности. Составим многочлен

(x) = (x − ξ1)(x − ξ2) . . . (x − ξm).

Его степень m меньше n, и для него должно выполняться равенство

a

Но это равенство не может быть выполнено, потому что:

36

не может быть верным для всех многочленов степени 2n.

Доказательство

Достаточно построить многочлен, имеющий степень 2n, для которого равенство (15.30) не выполняется.

Положим f (x) = ω2(x). Это и есть положительный многочлен степени 2n. Для него

b

p(x)f (x) dx = 0,

a

а

так как ω(xk ) = 0; k = 1, n.

Значит равенство (15.30) не может выполняться точно. Что и доказывает теорему.

37

Теорема 15.5. Пусть для p(x) 0 на [a, b] квадратурная формула (15.1) имеет наивысшую алгебраическую степень точности. Тогда коэффициенты квадратурной формулы Ak > 0, k = 1, n.

Это утверждение является следствием

Лемма 15.1. Если p(x) 0 и квадратурное правило (15.1) точно

итак как левая часть (15.32) положительна в силу предположений

ипостроения:

Что и требовалось доказать.

38

квадратурной формулы наивысшей алгебраической степени точности верно равенство:

Доказательство

Рассмотрим интерполяционный многочлен H(x) степени не выше 2n − 1, удовлетворяющий условиям

При сделанных предположениях о непрерывности f (2n) остаток интерполяции может быть представлен в форме

и

b b

p(x)f (x) dx = p(x)H(x) dx +

a a

p(x)H(x) dx = Ak H(xk) = Akf (xk )

39

и методическая погрешность R(f ) имеет, значение

Rn(f ) = (21 )! b p(x)ω2(x)f (2n)(η) dx. n a

Что и требовалось доказать.

§16. Сходимость квадpатуpного процесса по фоpмулам типа Гаусса .

Пусть весовая функция p(x) 0 на [a, b]. Квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности может быть

Доказательство

Нам необходимо показать, что для любой непрерывной функции

|p(x)f (x) dx − A(kn)f (x(kn))| <

Из непрерывности f (x) на [a, b] (по Теореме Вейерштрасса) следует, что при ε > 0 существует многочлен Ps(x) такой, чтоx [a, b] справедливо неравенство:

40