Численные методы. Лекции. Часть 2

Определение 3.1. Последовательность квадратурных формул — квадратурный процесс.

Такая последовательность определяется двумя треугольными матрицами:

Матрицей узлов:

Квадратурная формула соответствующая n -ой строке этих матриц имеет вид:

p(x)f (x) dx = A(kn)f (x(kn)) + Rn(f ) = Sn(f ) + Rn(f ). (3.3)

Определение 3.2. Будем говорить, что квадратурный процесс, определенный матрицами X и A , сходится для функции f , если

Сходимость зависит как от свойств интегрируемой функции

f (x) , так и от выбора квадратурных формул.

Две основные проблемы теории сходимости:

•Заданы матрицы X и A и нужно определить, для какого класса Φ функций f можно гарантировать выполнение (3.4);

11

•Задан класс Φ функций f и нужно определить, каким условиям должны удовлетворять матрицы X и A , чтобы можно

было гарантировать сходимость квадратурного процесса для всех функций f Φ.

§4. Интерполяционные квадратурные формулы

Будем проводить построение квадратурных формул основанное на алгебраическом интерполировании

Предположим, что узлы xk, k = 1, . . . , n выбраны и мы имеем право при построении квадратурной формулы распоряжаться

ω(x) = (x − x1)(x − x2) . . . (x − xn).

Если представление (4.1) внести под интеграл , то получим равенство

Отбросив справа интеграл с остаточным членом rn(x) , получим правило приближенного вычисления определенного интеграла, называемое интерполяционным(от способа представления подынтегральной функции):

12

Методическая погрешность интерполяционного правила (4.3), (4.4) выражается через остаточный член интерполирования:

Интерполяционная квадратурная формула (4.3), (4.4) характеризуется утверждением

Теорема 4.1. Для того, чтобы квадратурная формула (4.3) была точной для алгебраических многочленов степени n−1, необходимо и достаточно, чтобы она была интерполяционной.

Необходимость

Будем предполагать, что правило точно для всякого многочлена f (x) степени deg f (x) = n − 1.

Покажем , что оно интерполяционное. Положим,

ω(x)

f (x) = (x − xi)ω (xi) = ωi(x);

ω(x) = (x − x1)(x − x2) · . . . · (x − xn).

Это многочлен степени n − 1 , принимающий в узлах xi значения

И так как квадратурное правило

p(x)f (x) dx = Aif (xi)

предполагается точным для всякого многочлена степени n −1, оно верно и для многочлена ωi(x) и должно быть

k=1

13

и правило (4.2) действительно является интерполяционным.

Достаточность

Пусть f (x) есть произвольный многочлен, степень которого не больше n − 1.

Если f (x) интерполировать по значениям в узлах xi, то в силу единственности интерполяционного многочлена, должно быть точным равенство

И кроме того, правило предполагается интерполяционным и, стало быть, его коэффициенты имеют значения

b

Ai = a p(x) (x − xi)ω (xi) dx.

Поэтому верны равенства

n

= Aif (xi),

i=1

и правило

p(x)f (x) dx = Aif (xi)

точно выполняется для f (x).

Что и требовалось доказать.

Доказанная теорема позволяет утверждать, что всякое квадратурное правило

b n

p(x)f (x) dx ≈ Aif (xi),

a i=1

14

алгебраическая степень точности которого не меньше n − 1, является интерполяционным.

Интерполяционные квадратурные формулы характеризуются тем, что при всяком расположении узлов xi алгебраическая степень точности их не меньше n − 1.

Увеличение степени точности возможно только за счет выбора узлов.

§5. Погрешность интерполяционной квадратурной формулы.

Как известно, для любых функций f (x) с конечными значениями остаточный член интерполирования rn(x) записывается в виде:

rn(x) = ω(x)f (x1, x2, . . . , xn, x).

А значит, для любой функции f (x) с конечными значениями на [a, b] и такой, что интегралы имеют смысл, погрешность квадратурной интерполяционной формулы имеет вид:

b

Rn(f ) = ω(x)f (x1, x2, . . . , xn, x) dx.

a

Но это представление на практике используется крайне редко.

В случае, если f (x) имеет непрерывную производную порядка n на [a, b], то на отрезке, содержащем точки x1, . . . , xn, x, существует точка ξ , такая , что для rn(x) верно равенство:

Тогда погрешность квадратурной интерполяционной формулы имеет вид:

15

Для функции f (x) , имеющей непрерывные f (n)(x) C[na,b] и ограниченные по модулю |f (n)(x)| Mn производные порядка n , верна оценка

Эта оценка погрешности интерполяционной квадратурной формулы является точной, когда произведение p(x)ω(x) сохраняет знак на [a, b] и достигается для многочлена вида

f (x) = Mn!n xn + a1xn−1 + . . . + an.

§6. Квадратурные формулы, использующие значения функций и производных

Иногда можно увеличить точность вычисления определенного интеграла за счет использования наряду со значениями интегрируемой функции значений производных от нее.

Пусть на [a, b] в n точках xi, i = 1, 2, . . . , n; даны значения функции и ее производных, причем, a x1 < x2 < . . . < xn b

где hij (x)− многочлен степени m от x (мн-н влияния).

16

Если в

b

p(x)f (x) dx

a

заменить f (x) ee представлением через полином Эрмита (6.1)

и отбросить интеграл от остатка интерполирования, то получим квадратурную формулу вида:

где

b

Aij = p(x)hij (x) dx (6.5)

a

Теорема 6.1. Для того , чтобы правило (6.4) было верным для всех многочленов степени m необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты удовлетворяли равенствам (6.5)

Остаточный член при использовании интерполяционного полинома Эрмита определяется следующим образом:

b

Rm(f ) = p(x)rm(x) dx. (6.6)

a

При построении полинома Эрмита был получен результат, который можно сформулировать следующим образом:

Теорема 6.2. Если xi [a, b], x [a, b] i = 1, 2, . . . , n; и f (x) на

[a, b] имеет непрерывную производную f (m+1)(x) , то на [a, b] существует точка ξ [a, b], такая, что справедливо равество

17

При всех этих предположениях, справедливо равенство:

Если ко всему добавить ограничение |f (m+1)(x)| < K , то справедлива оценка

Лемма 7.1. Для любой матрицы узлов X, x(kn) [a, b] квадратурный процесс по интерполяционным квадратурным формулам сходится для любой аналитической функции , точнее для функции, представимой на вещественной оси степеннным рядом

∞

f (x) = aixi.

i=0

Доказательство связано с изучением Rn(f ) → 0, при n → ∞. Рассматривая представления (5.1), (5.2), можно убедиться в том, что для любого полинома Ps(x), такого, что n > s, вы-

полняется равенство

Rn(Ps(x)) = 0.

Что и доказывает сходимость квадратурного процесса для класса аналитических функций.

Но подобное утверждение неверно для любой матрицы узлов X и любой непрерывной функции. Это связано с тем, что не сходится интерполяционный квадратурный процесс для этого класса функций (пример Берштейна).

§8. Алгоритм построения интерполяционных квадратурных формул

18

вида:

Пpимеp:

Постpоить интерполяционную квадpатуpную фоpмулу для вычисления интегpала:

В качестве весовой функции возьмем

1

p(x) = √ (8.5) x

и рассмотрим два вида квадратурных формул: одноточечную ( n = 1 ) и двухточечную ( n = 2 ).

Вычислим моменты весовой функции

19

Одноточечная интерполяционная квадратурная формула, согласно Теореме 1, имеет алгебраическую степень точности не мень-

ше нулевой, т.е. справедливо равенство

Теперь покажем, что это наибольшая возможная алгебраическая степень точности построенной квадратурной формулы:

Это и доказывает тот факт, что алгебраическая степень точности квадратурной формулы ( 8.7 ) не больше нуля.

Двухточечная ( x1, x2 [a, b] - заданы) интерполяционная квадратурная формула, согласно Теореме 1, имеет алгебраическую степень точности не меньше единицы, т.е. справедливы равенства

20