Численные методы. Лекции. Часть 2

Невязка n+k называется, в этом случае, локальной погрешностью разностной формулы (28.12).

В качестве примера, рассмотрим вывод двухшаговых методов максимально возможной степени:

Явный метод,с учетом (28.10), имеет вид

yn+2 + α1yn+1 + α0yn = h [β1f (xn+1, yn+1) + β0f (xn, yn)] . (28.13)

Коэффициенты αi, βi метода (28.13) должны удовлетворять уравнениям системы (28.4)-(28.6) с максимально высоким s.

1 + α1 + α0 = 0,

2 + α1 − β0 − β1 = 0, 4 + α1 − 2β1 = 0, 8 + α1 − 3β1 = 0,

. . .

Из первых четырех уравнений , ( s = 3 ), определяем α0 = −5, α1 = 4, β0 = 2, β1 = 4. Попытаемся повысить точность на единицу. Для этого необходимо, чтобы параметры метода удовлетворяли уравнению

16 + α1 − 4β1 = 0.

Но при уже определенных значениях параметров это не возможно,т.к.

16 + 4 − 4 × 4 = 0.

Таким образом, расчетная явная двухшаговая схема (28.13) третьего порядка точности имеет вид:

yn+2 + 4yn+1 − 5yn = h [4f (xn+1, yn+1) + 2f (xn, yn)] . (28.14)

Схема неявного двухшагового метода представима в виде:

131

Ее параметры αi, βi определим из соображений наибольшего порядка аппроксимации. Условия порядка имеют вид:

1 + α1 + α0 = 0,

2 + α1 − β0 − β1 − β2 = 0,

4 + α1 − 2(β1 + 2β2) = 0, 8 + α1 − 3(β1 + 4β2) = 0, 16 + α1 − 4(β1 + 8β2) = 0,

. . .

пятый порядок точности не удается, так как равенство

32 + α1 − 5(β1 + 16β2) = 0,

не выполняется. Таким образом, полученный неявный двухшаговый метод

§29. Устойчивость многошаговых методов, корневой признак, сходимость, наивысший достижимый порядок точности.

Введем еще одно важное Определение 29.1. Говорят, что метод (27.8)

132

и имеет порядок согласованности s ,

max rn+k = O(hs).

0 n N

Рассмотрим применение согласованного метода (определить порядок согласованности)

Общее решение (29.4) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения

и частного решения уравнения (29.4). Общее решение однородного уравнения (29.5) имеет вид: Aθ1n + Bθ2n, где A и B – произвольные постоянные, а θ1 и θ2 – корни характеристического уравнения

Частным решением уравнения (29.4) является n(n−1)h2. И общее решение (29.4) имеет вид :

а частное решение соответствующее начальному условию (33.2) представляется в виде:

yn = [2d0(h) − d1(h)] + [d1(h) − d0(h)] · 2n + n(n − 1)h2, (29.8)

133

Если выбрать начальные значения специальным образом d0(h) =

0, d1(h) = 0, (они не совпадают с точными начальными значениями , так как y(0) = 0, y(h) = h2, ) то

и метод не сходится.

Такая же ситуация возникает и тогда , когда при специальным образом выбранных начальных значениях d0(h) = 0, d1(h) = 0, вносится в разностное уравнение (29.4) малое возмущение δ(h) = O(hq ), q > 0 . Это приводит уравнение (29.4) к виду

Понятно, что в этом случае метод расходится.

Отсюда следует , что даже при специально подобранных начальных значениях, которые устраняют расходящиеся компоненты решения, на практике любое последующее возмущение разностного уравнения будет причиной расходимости метода.

Отсутствие сходимости заключается в принципиальном отличии дифференциального уравнения первого порядка от разностного уравнения (имеющего второй порядок). Разностное уравнение имеет два фундаментальных решения: 1n и 2n, соответствующие двум корням характеристического уравнения θ1 = 1

иθ2 = 2. Дифференциальное же уравнение (29.2) имеет одно

134

фундаментальное решение y(x) = x2, которое аппроксимируется решением yn = θ1n = 1 разностного уравнения. Составляющая B · θ2n = B · 2n, соответсвующая второму фундаментальному решению разностного уравнения, носит паразитический характер. Ее влияние приводит к катастрофическому искажению результата.

Таким образом, метод чувствителен к малым возмущениям

как в начальных данных, так и в разностном уравнении. Он неустойчив в том смысле, что возмущение решения yn не ограничено даже в пределе при h → 0, nh = x.

Из всего этого следует, что не все методы (27.4), коэффициенты которых удовлетворяют условиям (28.4)- (28.6), пригодны для численного решения задачи Коши. Среди методов (27.4) нам не подходят те, для которых характеристическое уравнение имеет корни, по модулю большие единицы, или кратные корни, по модулю равные единице.

§30. Корневой признак

Дадим основное Определение 30.1. Говорят, что метод из класса (27.4) удовле-

творяет корневому условию, если все корни характеристического полинома (θ) лежат внутри единичной окружности или на самой окружности, причем те корни, которые лежат на единичной окружности, являются простыми.

Если метод согласован, то (θ) обязательно имеет корень θ1 = +1. Корни характеристического полинома классифицируются

Определение 30.2. Метод удовлетворяющий корневому условию будем называть нуль-устойчивым.

Но само понятие нуль-устойчивости неоднородно.

Определение 30.3. Говорят, что метод из класса (27.4) удовлетворяет сильному корневому условию(сильно устойчив), если его характеристический полином (θ) имеет простой корень +1 , а все остальные корни лежат строго внутри единичной окружности.

135

Существуют сходящиеся методы для которых погрешность будет развиваться неустойчиво при всех сколь угодно малых положительных h. Это не совместимо со сходимостью.

Рассмотрим для демонстрации этого пример: Применим слабо устойчивую формулу

Уравнение (33.2) асимптотически устойчиво и всякое его решение

при x → ∞. Разностное уравнение в данном случае имеет вид yn − yn−2 = 2h(λyn−1 + a), = yn − 2hλyn−1 − yn−2 = 2ha. (33.6)

В качестве начальных условий для (33.6) возьмем значения точного решения (33.4).

Общее решение разностного уравнения (33.6) выразим через корни r1 и r2 характеристического уравнения

137

где

= lim C2(−1)ne−λxn (1+O(h )) = ∞.

n→∞

Первая составляющая решения (33.13) аппроксимирует слагаемое

(y(0) + λa )eλx

138

фундаментальное решение исходной задачи Коши. Постоянная составляющая в (33.13) совпадает с постоянной составляющей точного решения. Вторая составляющая C2r2n, соответствующая второму корню характеристического уравнения (33.8), носит паразити-

полная погрешность превосходит заданную точностную границу.

§34. Абсолютная устойчивость

Понятие, которое позволит среди сходящихся методов выбрать методы пригодные для практического использования при n → ∞ , можно сформулировать следующим образом:

Определение 34.1. Линейный многошаговый метод (27.4) называется абсолютно устойчивым для заданного фиксированного шага и для заданной задачи Коши, если полная погрешность ε = yn − y(xn) остается ограниченной при n → ∞.

Первая трудность с которой приходится в этом случае встретиться — это зависимость от задачи Коши. Введение в рассмотрение модельного уравнения

λ - комплексная постоянная, позволяет сравнивать свойства абсолютной устойчивости различных методов. Это связано с тем, что если f (x, y) дифференцируема по y, то локальное поведение решения в первом приближении определяется решением линеаризованного уравнения

139

Система (34.5) — распадающаяся на s уравнений вида (34.1). Таким образом, уравнение (34.1) является приемлемой моделью при введении нового понятия устойчивости. Причем именно поэтому λ -комплексное.

Определение 34.2. Линейный многошаговый метод (27.4) назы-

называется областью абсолютной устойчивости метода (27.4), если (27.4) абсолютно устойчив при всех hλ RA.

Для скалярной задачи Коши или системы, все собственные значения матрицы Якоби которой – действительны, мы будем говорить о интервале абсолютной устойчивости.

Корни полинома устойчивости являются непрерывными функциями его коэффициентов. Значит, корни ri, i = 0, 1, . . . , k полинома устойчивости π(r, hλ) стремяться к корням θi, i = 0, 1, . . . , k, характеристического полинома (θ) при h → 0.

Метод Симпсона ,как и любой оптимальный метод( s = k+2 ), имеет пустую область абсолютной устойчивости. Использование таких методов в универсальных процедурах недопустимо. Для этих целей необходимо использовать методы сильно устойчивые.

140