Численные методы. Лекции. Часть 2
.pdfВполне очевидна цепочка преобразований
b
a
n
p(x)f (x) dx − A(n)f (x(n)) =
k k
k=1
= |
|
ab p(x)f (x) dx − |
|
ab p(x)Ps(x) dx + |
ab p(x)Ps(x) dx− |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
Ak(n)Ps(xk(n)) + |
|
Ak(n)Ps(xk(n)) − Ak(n)f (xk(n)) |
|
|||||||||||||
|
k=1 |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|||
|
|
p(x)f (x) dx − |
|
|
p(x)Ps(x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
a |
|
+ |
a |
p(x)Ps(x) dx− |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
(n) |
) |
+ |
|
(n) |
|
(n) |
|
|
|
(n) |
(n) |
) . |
||
− |
k=1 |
Ak |
Ps(xk |
Ak |
Ps(xk |
) − |
Ak |
f (xk |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но в силу (16.4), первое слагаемое в правой части (16.5) удовлетворяет неравенству
b
p(x)f (x) dx −
a
= |
|
ab p(x)(f (x) − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Икроме того, так как
b
p(x) · 1 dx
a
b p(x)Ps(x) dx =
b
Ps(x) dx < ε |
p(x) dx. |
(16.5) |
|
|
|
a
n
= A(kn),
k=1
то
|
Ak(n)Ps |
(xk(n)) − Ak(n)f (xk(n)) = |
|||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
k=1 |
|
k=1 |
|
|
|||
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
(n) |
(n) |
) |
|
|
= |
Ak |
Ps(xk |
) − f (xk |
< |
|||
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< ε |
n |
A(n) = ε b p(x) dx. |
(16.6) |
|
|
|
|
|
k |
k=1 |
a |
|
41
При n : 2n − 1 s
|
|
a |
b |
|
|
n |
|
|
|
(16.7) |
|
|
p(x)Ps |
(x) dx = k=1 Ak(n)Ps(xk(n)) |
|
||||||
И для таких n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ak(n)f (xk(n)) < 2ε |
|
|
p(x) dx, |
(16.8) |
||||
|
a |
p(x)f (x) dx − |
a |
|
||||||
|
|
b |
|
|
n |
|
|
b |
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Что и требовалось |
доказать. |
|
|
|
|
|
||||
Замечание
Из самого определения интерполяционного квадратурного процесса следует, что он определяется матрицей узлов X = {x(kn)}. Погрешность правила Rn равна интегралу от остатка интерполирования rn(x) :
b
Rn(f ) = p(x)rn(x) dx;
a
n |
|
|
ω(x) |
|
|
|
rn(x) = f (x) − |
|
|
|
f (xk(n)). |
(16.9) |
|
|
|
|
||||
(x |
− |
x(n))ω (x(n)) |
||||
|
|
k |
k |
|
||
k=1 |
|
|
|
|
|
|
Теоремы о сходимости интерполяционного процесса могут служить источником теорем о сходимости квадратурного процесса с той же матрицей узлов.
В частности, если отрезок интегрирования [a, b] конечный и если интерполяционный процесс на [a, b] сходится равномерно, то будет сходится и интерполяционный квадратурный процесс с той же матрицей узлов.
§17. Алгоpитм постpоения квадpатуpных фоpмул метода Гаусса вычисления опpеделенного интегpала .
n |
(17.1) |
ab p(x)f (x) dx ≈ i=1 Aif (xi). |
|
|
|
42
1. Вычислить моменты весовой функции p(x) :
|
μi = ab p(x)xi dx; |
i = 0, 1, . . . , 2n − 1; |
(17.2) |
2. |
pешить систему линейных алгебpаических систем: |
|
|
|
n−1 |
|
|
|
i |
s = 0, 1, . . . , n − 1; |
|
|
aiμi+s = −μn+s; |
(17.3) |
|
|
=0 |
|
|
3. |
найти коpни xi, i = 1, 2, . . . , n |
узлового полинома |
|
|
ω(x) = xn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + · · · + a1x + a0 = 0; (17.4) |
||
являющиеся узлами квадpатуpной фоpмулы (1);
4.вычислить коэффициенты Ai, i = 1, 2, . . . , n, квадpатуpной фоpмулы (1), pешив систему алгебpаических уpавнений:
n−1 |
|
i |
|
Aixis = μs; s = 0, 1, . . . , n − 1; |
(17.5) |
=0 |
|
Пpимеp:
Постpоить квадpатуpную фоpмулу метода Гаусса для вычисления интегpала:
1 |
2 |
2x + 1 |
3 |
|
|||
dx ≈ i=1 |
Aif (xi). |
||||||
0 |
x |
+√x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве весовой функции возьмем
1 p(x) = √
x
Вычислим моменты весовой функции
1 |
xi |
||
μi = 0 |
√ |
|
dx; i = 0, 1, . . . , 2n − 1; |
x |
|||
(17.6)
(17.7)
(17.8)
43
§18. Квадратурные формулы Гаусса для простейших весовых функций. Постоянная весовая функция.
Всякий конечный отрезок [a, b] линейной заменой
x = |
a + b |
+ |
b − a |
t, |
→ |
t = |
2x − (a + b) |
||
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
|
|
b |
− |
a |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменной может быть преобразован в отрезок [−1, 1] и будем считать, что интеграл
b
f (x) dx. (18.1)
a
,с использованием этой замены, приведен к виду:
1
f (x) dx. |
(18.2) |
−1 |
|
f (x) предполагается достаточно гладкой функцией всюду на
[−1, 1] включая и концы. |
[−1, 1] систему многочленов |
||||||||||
Известно, что ортогональную на |
|||||||||||
с постоянным весом образуют многочлены Лежандра |
|
||||||||||
1 |
|
|
dn |
|
(2n)! |
|
|||||
Pn(x) = |
|
|
|
|
(x2 − 1)n = |
|
|
xn − . . . |
(18.3) |
||
2nn! |
d xn |
2n(n!)2 |
|||||||||
Узлы xi, i = |
|
|
квадратурной формулы Гаусса являются кор- |
||||||||
1, n |
|||||||||||
нями многочлена Лежандра (18.3) степени n : |
|
||||||||||
n= 0,
n= 1,
n= 2,
n= 3,
. . .
P0(x) |
= |
1; |
|
|
|
P1(x) |
= |
x; |
|
|
|
P (x) |
= |
1 |
(3x2 |
− |
1); |
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
2 |
(5x − 3x); |
|||
P3(x) = |
2 |
||||
. . . . . . . . .
Коэффициенты квадратурной формулы
1 |
n |
Aif (xi) |
(18.4) |
−1 f (x) dx, ≈ i=1 |
|||
|
|
|
|
44
вычисляются по формуле: |
|
|
|
Ai = |
2(1 − xi2) |
. |
(18.5) |
n2P 2 (x ) |
n−1 i
Корни (узлы) и коэффициенты квадратурной формулы соответствующие этим многочленам:
n = 1, |
|
x1 |
|
|
x1 = 0, |
= √3 , |
|
|
|
A1 = 2; |
|
|
|
||||
n = 2, |
|
= −√3 , x2 |
|
|
|
A1 = A2 = 1; |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
. . . |
|
− |
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
9 |
|
|
5 |
|
|
|
5 |
. . . |
|
||||||||||
n = 3, x1 |
= |
|
|
3 , x2 = 0 x3 = |
3 |
, A1 = A3 |
= 5 |
; A2 |
= 8 |
||||||||
Узловой многочлен ω(x) отличается от Pn(x) постоянным мно-
жителем, равным обратной величине старшего коэффициента в
Pn(x) :
|
2n(n!)2 |
|
ω(x) = |
(2n)! Pn(x) |
(18.6) |
Равенство (18.7), в случае существования у функции f (x) непрерывной на [−1, 1] производной порядка 2n, позволяет выписать представление методической погрешности Rn(f ) квадратурной формулы:
|
22n+1 |
|
(n!)2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Rn(f ) = |
|
f (2n)(ξ), |
|
ξ [−1, 1]. |
(18.7) |
||||||||||||
(2n + 1)(2n)! |
|
(2n)! |
|
|
|||||||||||||
§19. Весовая функция |
(b − x)α(x − a)β . |
|
|
|
|
||||||||||||
Линейной заменой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x = |
a + b |
+ |
b − a |
t, |
→ |
t = |
|
2x − (a + b) |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
b |
− |
a |
|
||||||||
переменной интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ab(b − x)α(x − a)β f (x) dx, |
(α, β > −1). |
(19.1) |
|||||||||||||||
45
может быть приведен к отрезку [−1, 1] |
и достаточно рассмотреть |
||
интеграл |
|
|
|
1 |
|
|
|
−1 |
(1 − x)α(1 + x)β f (x) dx, |
(α, β > −1). |
(19.2) |
f (x) предполагается достаточно гладкой функцией всюду на
[−1, 1] |
включая и концы. |
|
|
|
|
[ 1, 1] систему многочленов |
||||||||||
Известно, |
что ортогональную на |
|||||||||||||||
|
α |
(1 + x) |
β |
|
|
|
|
− |
|
|
||||||
с весом (1 − x) |
|
|
|
образуют многочлены Якоби |
||||||||||||
|
|
|
|
|
P α,β (x) = |
(−1)n |
(1 |
− |
x)−α(1 + x)−β |
× |
|
|||||
|
|
|
|
|
2nn! |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
× |
|
d |
(1 − x)α+n(1 + x)β+n . |
|
(19.3) |
||||||
|
|
|
|
|
d xn |
|
||||||||||
Узлы |
xi, i = |
|
квадратурной формулы |
|
|
|||||||||||
1, n |
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
(19.4) |
|
−1 |
(1 − x)α(1 + x)β f (x) dx ≈ i=1 Aif (xi) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являются корнями многочлена Якоби (19.3) степени |
n : |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
P α,β (xi) = 0, |
i = 1, . . . , n. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты и узлы квадратурной формулы (19.4) приведены в виде таблиц в справочной литературе по численным методам.
Равенство (19.4) - семейство квадратурных формул относительно параметров α β. Задавая значения параметров α β получаем те или иные особенности поведения подынтегральной функции. Например, при α = 0 β = 0 квадратурная формула (19.3) превращается в правило (18.4) Гаусса, расчитанное на интегрирование функций, не имеющих особенностей на интервале интегрирования.
Любопытен случай α = −0.5 β = −0.5. Весовая функция в этом случае имеет вид
1 |
|
p(x) = √1 − x2 . |
(19.5) |
46
В этом случае многочлен Якоби Pn(−0.5,−0.5)(x) отличается от многочлена Чебышева первого рода только постоянным множителем:
P (−0.5,−0.5)(x) = CTn(x) = C cos(n arccos x). |
(19.6) |
||||||
n |
|
|
|
|
|
||
Узлы xi являются корнями многочлена Tn(x) |
и вычисляются: |
||||||
xi = cos |
2i − 1 |
|
(i = |
|
|
|
(19.7) |
π, |
1, n.) |
|
|||||
|
2n |
|
|
|
|
|
|
Причем, в этом случае, все коэффициенты Ai |
= A = const, i = |
||||||
1, n. Они легко вычисляются, т.к. квадратурная формула является
точной для |
f (x) ≡ 1 и справедливо равенство: |
|
||||
n |
1 |
√1 |
1 x2 dx = π, → A = n . |
(19.8) |
||
i=1 |
Ai = nA = −1 |
|||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
− |
|
||
Квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности, соответствующая весовой функции (19.5), имеет вид:
1 |
√1 |
x2 |
|
|
|
|
n |
|
|
2n |
|
|
|
(19.9) |
|
−1 |
|
|
|
n i=1 |
|
n |
|
||||||||
|
f |
(x) |
d x = |
|
π |
|
f cos |
2i − 1 |
π |
+ R |
(f ), |
|
|||
где |
|
− |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn(f ) = |
|
|
π |
|
f (2n)(ξ), |
ξ [−1, 1]. |
|
(19.10) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
22n |
1(2n)! |
|
|||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Именно вид квадратурной формулы (19.9) дал толчок П. Л. Чебышеву к исследованию класса квадратурных формул с равными коэффициентами для произвольной весовой функции.
§20. Квадратурные формулы с равными коэффициентами
Постановка задачи. Квадратурные формулы:
n |
(20.1) |
ab p(x)f (x) dx ≈ Cn i=1 f (xi), |
|
|
|
содержат n + 1 параметр: Cn, xi, i = 1, n. Необходимо выбрать эти параметры таким образом, чтобы равенство (20.1) выполнялось
47
точно для всех многочленов степени n. Это равносильно тому, что должны быть справедливы равенства
b |
n |
s = 0, 1, . . . , n. |
(20.2) |
a |
p(x)xs dx = Cn i=1 xis, |
||
|
|
|
|
К принятому ранее предположению об абсолютной интегрируемости на [a, b] произведений p(x)xs, s = 0, n; необходимо сделать предположение о весе p(x) :
b
μ0 = p(x) dx = 0. (20.3)
a
При этих предположениях рассмотрим вопрос о решении системы алгебраических уравнений (20.2). Параметр Cn определяется из первого уравнения системы (20.2), действительно:
a |
b |
|
1 |
a |
b |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
p(x) dx = nCn, |
→ |
Cn = |
|
|
p(x) dx = |
|
μ0. (20.4) |
||
n |
|
n |
|||||||
Выпишем каждое уравнение системы (20.2) с учетом равенства (20.4).
d2 |
= x12 |
+ x22 |
+ . . . + xn2 |
||
|
d1 |
= |
x1 |
+ x2 |
+ . . . + xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.... .... |
|
............... |
|||
dn |
= x1n + x2n + . . . + xnn |
||||
= |
|
|
1 |
|
|
|
b p(x)x dx |
= |
nμ1 , |
|
|
Cn |
|
(20.5) |
|||||||||
= |
|
a p(x)x2 dx |
= |
μ02 |
, |
||||||
|
|
|
Cn |
|
a |
|
μ0 |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
b |
|
nμ |
|
|
|
.... |
......................... |
... .... |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
nμ |
|
|
|||
= |
|
|
|
a p(x)xn dx |
= |
μ0n . |
|
||||
|
Cn |
|
|||||||||
Узловой многочлен ω(x), для которого xi, являются корнями может быть представлен в виде:
ω(x) = (x − x1)(x − x2) . . . (x − xn) =
= xn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . + a1x + a0. (20.6)
Уравнения (20.5) устанавливают связь между значениями сумм степеней корней и моментами весовой функции. Из алгебры многочленов известно соотношение между коэффициентами узлового многочлена an−1, . . . , a0 и суммами степеней корней (соотношения
48
Ньютона): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d1 + an−1 |
= 0 |
|
d3 |
+ an |
d2 + an−1d1 + 2an−2 |
= 0 |
(20.7) |
||
|
1d2 + an |
2d1 + 3an 3 |
= 0 |
|||
|
|
− |
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
................... .... ............................. |
|
||
dn + an−1dn−1 + an−2dn−2 + . . . + na0 |
= 0. |
|
||||
Значения di, i = 1, n известны, с их помощью находим последовательно коэффициенты ai, i = 0, n узлового многочлена с использованием соотношений Ньютона (20.7). Затем решая уравнение ω(x) = 0, найдем узлы квадратурной формулы (20.2), являющиеся корнями этого уравнения. Надо иметь в виду, что корни
многочлена ω(x) |
могут оказаться комплексными или выходить |
за границы отрезка |
[a, b]. В этом случае, квадратурные формулы |
(20.2), могут использоваться только для интегрирования функций f (x), аналитических в области, содержащей внутри себя отрезок [a, b] и все его узлы.
Поэтому для формул Чебышева очень важными являются случаи, когда все узлы являются действительными и лежат внутри
[a, b].
§21. Квадратурные формулы П. Л. Чебышева. Постоянная весовая функция.
Линейной заменой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
a + b |
+ |
b − a |
t, |
→ |
t = |
2x − (a + b) |
||
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
|
|
b |
− |
a |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменной интеграл может быть приведен к отрезку |
[−1, 1] и |
достаточно рассмотреть интеграл |
|
1 |
|
−1 f (x) dx. |
(21.1) |
f (x) предполагается достаточно гладкой функцией всюду на [−1, 1] включая и концы. Тогда квадратурная формула Чебышев-
49
ского типа имеет вид:
1 |
n |
f (x) dx ≈ Cn f (xi)
−1 |
i=1 |
Коэффициент Cn определится с помощью равенства
1
dx = nCn,
−1
Так как i -ый момент
1
μi =
−1
1 2
1
→ Cn = n −1 dx = n .
xi dx = 1 − (−1)i+1 , i + 1
уравнения для сумм степеней узлов xi дадут следующие венства
d1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= 2 −1 x dx = 0, |
|||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
d2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= 2 −1 x2 dx = 3 , |
|||||||||||
|
|
n |
|
|
n |
||||||
................................................. |
|
||||||||||
d = n |
1 |
xn dx = n 1 (−1)n+1 . |
|||||||||
n |
|
|
|
−1 |
|
|
|
· |
− |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
n + 1 |
||||||
(21.2)
(21.3)
(21.4)
n ра-
(21.5)
Соотношения Ньютона для коэффициентов ai узлового многочлена
ω(x) = xn + an 1xn−1 |
+ an |
2xn−2 |
+ . . . + a1x + a0, (21.6) |
− |
|
− |
|
имеют вид:
an−1 |
= 0, |
|
|
|
|
|||||
|
n |
+ 2a |
|
= 0, |
|
|
||||
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
n−2 |
|
|
|
|
||||
an−3 |
= 0, |
|
|
|
(21.7) |
|||||
|
n |
+ |
n |
a |
|
|
+ 4a |
|
= 0, |
|
5 |
3 |
n−2 |
n−4 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
.................................................
50