Численные методы. Лекции. Часть 2
.pdf
Все an−i нечетных i равны нулю и в узловом многочлене |
ω(x) |
, будет отсутствовать часть слагаемых: |
|
ω(x) = xn + an−2xn−2 + an−4xn−4 . . . +, |
(21.8) |
Корни ω(x), располагаются симметрично на отрезке [−1, 1] относительно точки x = 0. Если n - число нечетное, то один из
корней обязательно располагается в нуле.
Необходимо отметить следующий момент:
Пусть n - четное : n = 2m. Узлы квадратурной формулы xi должны удовлетворять системе
x1 + x2 + . . . + xn = 0, x21 + x22 + . . . + x2n = n3 , x31 + x32 + . . . + x3n = 0,
......................................
xn + xn + . . . + xn = n .
1 2 n n + 1
Ввиду же того, что n + 1 = 2m + 1 есть число нечетное, а xi, i = 1, n расположены симметрично относительно x = 0, будет выполняться равенство
xn1 +1 + xn2 +1 + . . . + xnn+1 = 0.
А это значит, что квадратурная формула будет точной для многочленов степени n + 1.
Рассмотрим три конкретные квадратурные формулы:
•Пусть n = 1, тогда узловой многочлен ω(x) = x. Его
корень, а значит и узел квадратурной формулы Чебышева равен x1 = 0. Коэффициент C1 = 2. И квадратурная формула имеет вид:
1
f (x) dx ≈ 2f (0). |
(21.9) |
−1
Получили формулу прямоугольников с высотой, равной ординате в середине отрезка интегрирования.
51
• Пусть n = 2, тогда система уравнений (21.8) имеет вид |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
a1 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
+ 2a |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и узловой многочлен |
ω(x) = x2 |
− |
1 . |
Его корни, а |
значит и |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
− |
1 |
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = |
3 |
|
||||
узлы квадратурной формулы Чебышева равны: |
|
√ |
|
, |
|||||||||||||||
x2 = √ |
|
, Коэффициент |
C2 = 1. |
И квадратурная формула |
|||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
−1 f (x) dx ≈ f (−√ |
|
) + f ( √ |
|
). |
|
|
(21.10) |
||||||||||
|
|
3 |
3 |
|
|
||||||||||||||
Эта квадратурная формула совпадает с формулой Гаусса для двух узлов.
• Пусть n = 3, тогда система уравнений (21.8) имеет вид |
||
a2 |
= |
0, |
1 + 2a1 = 0, |
||
a0 |
= |
0 |
и узловой многочлен |
ω(x) = x3 |
− |
1 x. |
Его корни, а |
значит и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
= |
|
1 |
|
|||||||
узлы квадратурной формулы Чебышева равны: x1 |
− |
√ |
|
, |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
x2 = 0, x3 = √ |
|
, |
Коэффициент |
|
C3 = |
|
И квадратурная |
|||||||||||||
|
|
3. |
||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||
формула имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
−1 f (x) dx ≈ |
|
|
f (−√ |
|
) + f (0) + +f ( √ |
|
) . |
|
(21.11) |
|||||||||||
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||
Необходимо отметить, что при n 8 среди узлов квадратурных формул Чебышевского типа xi существуют комплексные. Это значит, квадратурные формулы Чебышева (21.2) с действительными узлами не могут быть построены.
§22. Составные квадратурные формулы
52
Постановка задачи. Основная идея метода заключается в том, что для повышения точности интегрирования отрезок [a, b] делят на несколько частей. Применяют избранную квадратурную формулу к каждой отдельной части и результаты складывают.
Для большинства квадратурных формул – методическая погрешность Rn(f ) зависит от величины отрезка интегрирования и может быть представлена в виде:
Rn(f ) = (b − a)kC(a, b), |
(22.1) |
где C(a, b) есть медленно меняющаяся функция от a, b и k. Эта зависимость показывает, что если уменьшить отрезок интегри-
рования в p раз, то Rn(f ) уменьшится в |
pk |
раз. Чем больше |
k, тем значительнее будет уменьшение. |
[a, b] |
|
Для вычисления интеграла по отрезку |
разделим его на |
p равных частей и вычислим при помощи выбранной квадратурной формулы интегралы по всем частичным отрезкам. На каждом частичном отрезке методическая погрешность будет в pk раз меньше, чем при применении квадратурной формулы непосредственно ко всему интервалу [a, b]. При сложении всех таких интегралов получится результат, погрешность которого будет в pk−1 раз меньше, чем погрешность (22.1), когда квадратурная формула применяется
для вычисления интеграла по всему отрезку |
[a, b]. |
И так, разобъем исходный интервал интегрирования на ча- |
|
стичные отрезки: |
|
[a, b] : a = z0 < z1 < z2 < . . . < zk = b. |
|
В самом общем случае zi+1 − zi = hi > 0 и |
hi предполагаются |
различными. |
|
Теперь применим на каждом из частичных отрезков [zi, zi+1] квадратурное правило ( в общем случае свое ) для вычисления интеграла:
z |
|
ni |
|
|
J(i)(f ) = zi i+1 p(x)f (x) dx = j=1 Aij f (xij ) + Rni (f ) |
|
|||
= Sni i (f ) + Rni (f ), |
|
|
||
i = |
0, k − 1 |
. |
(22.2) |
|
53
Просуммируем по i |
левые и правые части (22.2) : |
||||||||
J(f ) = a |
b |
|
k−1 |
|
k−1 |
zi+1 |
p(x)f (x) dx ≈ |
||
p(x)f (x) dx = i=0 J(i) = |
i=0 |
zi |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k−1 ni |
|
|
k−1 |
|
|
|
|
||
i |
|
|
(xij ) = |
|
(f ) = SN (f ), |
|
|||
≈ |
|
Aij f |
Sni i |
(22.3) |
|||||
=0 j=1 |
|
|
i=0 |
|
|
|
|
||
|
k−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
N = |
|
ni; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k−1 |
|
|
|
|
RN = J(f ) − SN (f ) = Rni (f ), |
|
|
(22.4) |
||||||
i=0
Rni (f ) = Ji(f ) − Sni i (f ).
В качестве квадратурных формул (22.2) могут быть использованы квадратурные формулы всех выше рассмотренных типов (интерполяционные, Гауссова и Чебышевского типов). Причем как в смешанном составе - в составной квадратурной формуле используется несколько типов, так и в однородном - в составной квадратурной формуле используются только квадратурные формулы одного типа.
Тоже самое можно сказать и о числе узлов квадратурной формулы используемом на каждом из частичных отрезков - их число
может зависеть от номера отрезка. |
|
|
|||
|
Такой |
подход |
увеличения |
точности |
приме- |
ним |
к |
простейшим |
формулам |
Ньютона-Котеса. |
|
§23. Составная квадратурная формула прямоугольников (правило средней точки)
В качестве квадратурного правила используемого на каждом из частичных отрезков будем использовать квадратурную формулу прямоугольников (правило средней точки):
z |
|
|
J(i)(f ) = zi i+1 f (x) dx ≈ |
|
|
≈ f zi +2zi+1 |
(zi+1 − zi), i = 0, k − 1. |
(23.1) |
54
Если zi = a + iH, где H = b−k a , то составная квадратурная формула прямоугольников (22.4) будет иметь вид:
b
a
k−1 |
|
H |
|
|
i |
|
|
) = Sk (f ). |
|
f (x) dx ≈ H |
f (a + iH + |
2 |
(23.2) |
|
=0 |
|
|
|
|
Воспользуемся результатами оценки методической погрешности для квадратурной формулы прямоугольников (23.1):
|
|
zi+1 |
f (x) dx − f |
z |
+ z |
(zi+1 |
|
f (ξ ) |
|
||
R1i (f ) = zi |
i |
|
i+1 |
− zi) = |
i |
(zi+1 − zi)3 = |
|||||
|
2 |
24 |
|||||||||
|
f (ξ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
i |
H3, , |
ξ [zi, zi+1] i = 0, k − 1. |
|
|
(23.3) |
|||||
24 |
|
|
|||||||||
Суммируя эти погрешности по правилу (22.4), для (24.2) находим методическую погрешность
|
|
|
|
|
|
|
|
H2 k−1 |
|
|
|
|
||
Rk (f ) = J(f ) − Sk(f ) = |
|
|
i |
f |
(ξi)H; |
(23.4) |
||||||||
|
24 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
k−1 |
|
|
i |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
H→0 i=0 |
f |
|
|
a |
|
(x) dx |
|
|
|
|||||
lim |
|
(ξ )H |
= |
f |
|
|
|
|||||||
|
H2 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
(H2 |
|
|||
Rk (f ) = |
|
|
a |
f |
(x) dx + o(H2); |
|
o ) |
→ 0, H → 0. |
||||||
24 |
|
H2 |
||||||||||||
Здесь использовано то обстоятельство, что выделенная сумма -
сумма Римана для интеграла от f (x). |
Введем C ≡ C(f ) ≡ |
||||||||||||
1 |
|
b |
|
(x) dx, |
это позволит представить методическую погреш- |
||||||||
|
|
a f |
|
||||||||||
24 |
|
|
|||||||||||
ность составной квадратурной формулы трапеций в виде: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Rk (f ) = CH2 + o(H2). |
|
(23.5) |
||||
В то же время для непрерывной на |
[a, b] |
производной |
f (x) |
||||||||||
справедливо неравенство: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
k−1 |
f (ξ )H |
|
a) max f (x) |
|
|
|
|
|
|
min |
f |
|
i |
(b |
|
|||
|
|
|
(b − a) a x b |
|
|
i |
− |
a x b |
(23.6) |
||||
|
|
|
|
=0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55
и, следовательно,
Rk (f ) = |
H2 |
|
(ξ)(b − a), ξ (a, b). |
(23.7) |
|
|
f |
|
|||
24 |
|
||||
Представления (23.5) и (23.7) используются для оценки погрешности формулы (23.2), если имеется оценка производной f (x) на [a, b] или ее интеграла. Из рассмотрения (23.5),(23.7), следует, что погрешность составной квадратурной формулы (23.2) равна нулю для линейной функции и отличается от нуля уже для многочлена первой степени. Таким образом, алгебраическая степень точности составной квадратурной формулы прямоугольников (23.2) равна единицы и уже при k > 1 перестает быть интерполяционной.
Из (23.5),(23.7) также следует, что для f (x), имеющей вторую производную на [a, b] методическая погрешность составной квадратурной формулы (23.2) Rk (f ) → 0 при H → 0, т.е. квадратурный процесс по формулам (23.2) сходится, по крайней мере для дважды непрерывно дифференцируемых функций.
§24. Составная квадратурная формула трапеций.
В качестве квадратурного правила используемого на каждом из частичных отрезков будем использовать квадратурную формулу трапеций:
|
z |
(zi) + f (zi+1) |
|
|
|
|
|
||||||
J(i)(f ) = zi i+1 f (x) dx ≈ |
f |
(zi+1 − zi), i = |
|
(24. .1) |
|||||||||
0, k − 1 |
|||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||
Если |
zi = a + iH, где |
H = |
b−k a |
, то составная квадратурная |
|||||||||
формула трапеций (22.4) будет иметь вид: |
|
|
|
|
|||||||||
b |
|
H |
k−1 |
H |
|||||||||
a |
f (x) dx ≈ 2 f (a) + H i=1 f (a + iH) + |
2 f (b) = Sk+1(f ). (24.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся результатами оценки методической погрешности для квадратурной формулы трапеций (24.1):
zi+1 |
f (zi) + f(zi+1) |
|
f (ξi) |
|
||||
R2i (f ) = zi |
f (x) dx − |
|
|
H = − |
|
H3, |
||
2 |
|
12 |
||||||
ξ [zi, zi+1] |
i = |
|
. |
|
|
(24.3) |
||
0, k − 1 |
|
|
||||||
56
Суммируя эти погрешности по правилу (22.4), для (24.2) находим методическую погрешность
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H2 k−1 |
|
|
|
||||
Rk+1(f ) = J(f ) − Sk+1(f ) = − |
|
|
i |
f (ξi)H; |
(24.4) |
|||||||||||||
12 |
|
=0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k−1 |
i |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
H→0 i=0 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
f (ξ )H = |
f (x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
H2 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
(H2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Rk+1 = − |
|
|
a |
|
f |
(x) dx + o(H2); |
|
o ) |
→ 0, H → 0. |
|||||||||
12 |
|
H2 |
||||||||||||||||
Введем C2 |
≡ C2(f ) ≡ |
1 |
ab f (x) dx, |
|
это позволит представить |
|||||||||||||
12 |
|
|||||||||||||||||
методическую погрешность составной квадратурной формулы тра- |
||||||||||||||||||
пеций в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Rk+1 = C2H2 + o(H2). |
|
|
|
(24.5) |
|||||||||||
В то же время для непрерывной на |
|
[a, b] |
|
производной |
f (x) |
|||||||||||||
справедливо неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min f (x) |
|
|
|
|
f (ξ )H |
|
(b |
|
a) max f (x) |
|
|||||||
(b − a) a x b |
|
|
|
i |
|
|
|
− |
|
a x b |
(24.6) |
|||||||
|
|
|
i |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Rk (f ) = |
|
H2 |
|
(ξ)(b − a), |
|
|
ξ |
(a, b). |
(24.7) |
||||||||
|
|
|
f |
|
|
|
||||||||||||
|
|
24 |
|
|
|
|||||||||||||
Представления (24.5) и (24.7) используются для оценки погрешности формулы (24.2), если имеется оценка производной f (x) на [a, b] или ее интеграла. Из рассмотрения (24.5),(24.7), следует, что погрешность составной квадратурной формулы (24.2) равна нулю для линейной функции и отличается от нуля уже для многочлена первой степени. Таким образом, алгебраическая степень точности составной квадратурной формулы трапеций (24.2) равна единицы и уже при k > 1 перестает быть интерполяционной.
Из (24.5),(24.7) также следует, что для f (x), имеющей вторую производную на [a, b] методическая погрешность составной квадратурной формулы (24.2) Rk+1(f ) → 0 при H → 0,
57
т.е. квадратурный процесс по формулам (24.2) сходится, по крайней мере для дважды непрерывно-дифференцируемых функций.
§25. Составная квадратурная формула Симпсона. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Разобъем интервал интегрирования |
[a, b] |
на |
k = 2m ча- |
|
||||||||||||||||||||||
стичных отрезков, |
zi = a + iH, i = |
0, k |
H |
= |
b−a |
и будем |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
применять квадратурное правило на сдвоенном частичном отрезке |
|
|||||||||||||||||||||||||
[a + (2j − 2)H, a + (2j)H] |
j = |
|
|
|
В качестве квадратурного пра- |
|
||||||||||||||||||||
1, m |
|
|
||||||||||||||||||||||||
вила используемого на каждом из сдвоенных частичных отрезков |
|
|||||||||||||||||||||||||
будет использоваться квадратурное правило Симпсона: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z2j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J(j)(f ) = z2j−2 f (x) dx ≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
≈ |
z2j − z2j−2 |
[f (z |
2j−2 |
+ 4f (z |
2j−1 |
) + f (z |
2j |
)] = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
H |
[f (z2j |
|
+ 4f (z2j 1) + f (z2j )] , j = |
|
(25.1) |
|
||||||||||||||||||
|
2 |
1, m. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Просуммировав по всем сдвоенным частичным отрезкам |
|
[a, a + |
|
|||||||||||||||||||||||
2H], [a + 2H, a + 4H], . . . выпишем составную квадратурную фор- |
|
|||||||||||||||||||||||||
мулу парабол |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b − a |
[f (z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) dx = |
|
) + f (z |
|
) + 2(f (z |
) + f (z |
) + . . . + f (z |
k−2 |
))+ |
||||||||||||||||||
a |
|
|
3k |
0 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
4(f (z1) + f (z3 + . . . + f (zk−1))] + Rk (f ) |
|
|
|
|
|
|
(25.2) |
|||||||||||||||||||
Воспользуемся результатами оценки методической погрешности для квадратурной формулы парабол (24.1):
R3j (f ) = |
z2j |
|
z |
2j −6 2j−2 [f (z2j−2 + 4f (z2j−1) + f (z2j )] = |
||||||||
z2j−2 f (x) dx − |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
= − |
|
z2j − z2j−2 |
f (4)(ξj ) = |
(25.3) |
||||||||
|
||||||||||||
90 |
2 |
|||||||||||
= − |
H5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (4)(ξj ), ξ [z2j−2, z2j ] |
j = 1, m. |
||||||||||
90 |
||||||||||||
Суммируя эти погрешности по правилу (22.4), для (25.2) находим
58
методическую погрешность
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H4 |
m |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
f (4)(ξi)2H; |
|
(25.4) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Rk+1(f ) = J(f ) − Sk+1(f ) = −180 |
=1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m |
i |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H→0 i=1 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
(ξ )2H |
= |
|
f (4)(x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
H4 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(H4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Rk+1(f ) = − |
|
|
a |
f (4)(x) dx + o(H4); |
|
o ) |
→ 0, |
H → 0. |
|||||||||||||
180 |
H4 |
||||||||||||||||||||
Введем C4 ≡ C4(f ) ≡ − |
1 |
|
ab f (4)(x) dx, |
это позволит представить |
|||||||||||||||||
180 |
|||||||||||||||||||||
методическую погрешность |
составной квадратурной формулы тра- |
||||||||||||||||||||
пеций в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rk+1(f ) = C4H4 + o(H4). |
|
|
|
|
(25.5) |
||||||||||||||
В то же время для непрерывной на |
[a, b] |
производной |
f (4)(x) |
||||||||||||||||||
справедливо неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
min f (4)(x) |
|
i |
|
|
(b |
|
a) max f (4)(x) |
|
||||||||||||
|
|
|
f (4)(ξ )H |
|
− |
(25.6) |
|||||||||||||||
(b − a) a x b |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
a x b |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Rk (f ) = |
|
f (4)(ξ)(b − a), |
|
|
|
ξ (a, b). |
|
(25.7) |
||||||||||||
|
24 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Представления (25.5) и (25.7) используются для оценки погрешности формулы (25.2), если имеется оценка производной f (4)(x) на [a, b] или ее интеграла. Из рассмотрения (25.5),(25.7), следует, что погрешность составной квадратурной формулы (25.2) равна нулю для кубических функций и отличается от нуля для многочлена четвертой степени. Таким образом, алгебраическая степень точности составной квадратурной формулы парабол (25.2) равна трем и уже при k > 3 перестает быть интерполяционной.
Из (25.5),(25.7) также следует, что для f (x), имеющей четырежды непрерывную производную на [a, b] методическая погрешность составной квадратурной формулы (25.2) Rk+1(f ) → 0 при H → 0, т.е. квадратурный процесс по формулам (25.2) сходится,
59
по крайней мере для четырежды непрерывно дифференцируемых функций.
§26. Практические способы оценки погрешности составных квадратурных формул
Оказывается, что подобно представлению (23.5),(23.7), (24.5),(24.7),(25.5),(25.7) для погрешности составной квадратурной формулы (22.4) для широкого класса функций f (·) можно написать:
|
|
|
Rk(f ) = CmHm + o(Hm). |
(26.1) |
||
где |
m - натуральное число, |
Cm = Cm(f ) - некоторая констан- |
||||
та, |
зависящая лишь от f ( |
) |
и типа формулы, но не зависящая |
|||
|
o(H4) |
· |
|
|
|
|
от |
H, |
|
→ 0, H → 0. |
Формула (26.1) дает ассимптотиче- |
||
H4 |
||||||
ское представление (разложение) погрешности (22.4) по параметру H - шагу равномерного разбиения интервала интегрирования. Она справедлива, в частности, когда малые квадратурные формулы
(22.2) имеют алгебраическую степень точности m − 1, |
а функ- |
|||
f m(·). · |
) - непрерывную (интегрируемую) на [a, b] |
производную |
||
ция f ( |
||||
Практическая оценка константы Cm проводится следующим |
||||
образом. Фиксируем два значения шага разбиения – |
H1 |
= H и |
||
H2 = H/L, L > 1, |
и проводим расчеты на двух равномерных сет- |
|||
ках с шагом H1 и |
H2 соответственно по исследуемой квадратур- |
|||
ной формуле. Предполагаем, что для ее методической погрешности верно асcимптотическое разложение (26.1), т.е.
Rk(H1)(f ) = J(f ) − Sk(H1) =
= CmH1m + O(H1m) = CmHm + o(Hm)
и
Rk(H2)(f ) = J(f ) − Sk(H2) =
= CmH2m + o(H2m) = Cm |
L |
|
m |
+ o |
L |
m |
||
|
. |
|||||||
|
|
H |
|
|
|
H |
||
(26.2)
(26.3)
Исключая из (26.2), (26.3) неизвестное значение интеграла J, най-
60