Численные методы. Лекции. Часть 2

дем

Подставляя это выражение для Cm в равенства (26.2), (26.3) и отбрасывая бесконечно малые o(Hm), найдем приближенные представления погрешностей Rk(H1), Rk(H2) составной квадратурной формулы на двух равномерных сетках :

Этот способ оценивания методической погрешности называется правилом Рунге. Так при L = 2, т.е. шаг дробления умень-

шается в два раза, погрешность составной квадратурной формулы Rk(H2)(f ) с шагом H2 меньше погрешности Rk(H1)(f ) составной квадратурной формулы с шагом H1 почти в 2m раз.

Используя правило Рунге можно решить вопрос о нахождении оптимального шага разбиения Ho интервала интегрирования, обеспечивающего (в первом приближении) вычисление интеграла с заданной точностью ε.

а отсюда и получаем порядок оптимального шага разбиения

61

Можно повысить точность оценки погрешности, если рассматривать асимптотическое представление ее в виде

Rk (f ) = J − SkH (f ) =

= CmHm + Cm+1Hm+1 + . . . + Cm+r Hm+r + o(Hm+r) =

нейных алгебраических уравнений относительно J, Cm, . . . , Cm+r . Решив ее получим оценку (26.10) более точную, чем (26.1).

Этот подход к оценке методичеcкой погрешности называется

методом Ричардсона.

Метод расчета на нескольких сетках применяется для повышения порядка точности даже в том случае, когда неизвестен порядок

главного члена погрешности.

Процесс Эйткена

Проводим вычисления на трех сетках: H1, H2 = H1/l, H3 = H2/L = H1/l2, 0 < l < 1. Тогда коэффициент при главном члене погрешности и показатель степени могут быть вычислены

§27. Сходимость квадратурного процесса по составным квадратурным формулам

62

В тех случаях, когда допустимо асимптотическое представле-

т.е. квадратурный процесс по таким формулам и для таких функций f (·) сходится.

Однако последовательность квадратурных сумм (22.3) сходится к интегралу J(f ) при k → ∞ для любой непрерывной (интегрируемой) функции f (·) при достаточно слабых предположениях об узлах и коэффициентах этих формул:

Теорема 27.1. Пусть при каждом натуральном k коэффициенты Aij квадратурных формул (22.2) удовлетворяют следующим условиям:

Замечание

Условие (27.3) означает, что квадратурные формулы (22.2) точны для функций f (x) = const, т.е. алгебраическая степень точности их m 0, а с учетом выполнения условия (27.2) это приводит к выполнению равенства

=0 j=1

63

Доказательство

Интегрируемость по Риману функции f (·) означает, что

Теорема доказана.

64

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§28. Постановка задачи

Пусть в области D = {a x b, |yi − y0i | bi} Rn+1 определена функция

f ≡ f (x, y1, . . . , yn), (x, y) D.

удовлетворяющее начальному условию

Как известно, используя метод последовательных приближений Пикара, можно получить точное решение y(x) задачи Коши (28.1),(28.2), как предел последовательности

где

Для сходимости этой последовательности необходимо, выполнение условий:

• f (x, y) непрерывна в D ;

• f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по аргументу y

для всех x [a, b] и всех компонент векторов yˆ и y¯ .

65

При этих предположениях, yk(x) равномерно сходится к точному решению задачи Коши, поэтому для достаточно больших k отклонение y(x) −yk(x) не превышает заданной величины. Таким образом, в качестве искомого решения можно взять yk(x) . Практическая реализация этого метода затруднена по причине того, что для сложной функции f (x, y) интеграл не берется в квадратурах и решение нельзя получить в аналитическом виде. Константа Липшица L играет важную роль в численных методах.

Обсуждаемые здесь численнные методы известны как дискретные, т.е. такие методы, посредством которых вычисляется по-

следовательность приближений ym ≈ y(xm) на множестве точек xi+1 = xi + hi, i = 0, 1, . . . , N − 1; xN = b, hi > 0−

шаг сетки. В большинстве рассматриваемых методов будем считать hi = h, h = const > 0, i = 1, 2, . . . .

Для компактности изложения будем в дальнейшем рассматривать методы для скалярного случая (28.1) n = 1 и отдельно оговаривать их распространение на случай систем.

§29. Одношаговые методы

Одношаговые методы - методы которые последовательно дают

Одношаговые методы вида (29.1) в правой части (в самом общем случае) содержат искомое значение ym+1 . Это вынуждает ввести еще один параметр классифицирующий дискретные численные методы решения задачи Коши. Наличие в правой части представления метода в виде (29.1) зависимости от искомой функции ym+1 делает его неявным. Отсутствие этой зависимости – явным, вида:

§30. Методы разложения в ряд Тейлора

66

имеет непрерывные частные производные до порядка s. Тогда искомое решение y(x) имеет непрерывные производные до s + 1 – ого порядка включительно. Точное значение решения в узле xi+1 , если известно точное значение решения в точке xi , запишем по формуле Тейлора:

Если теперь этот ряд оборвать, ограничиться только первыми s+1 членами, и заменить точное значение y(xi) его приближением yi , то в соответствии с (30.1) получиться следующая приближенная формула:

Производные входящие в правую часть (30.3), могут быть фактически найдены:

yi = f (xi, yi),

yi = {fx + f · fy }|xi ,

. . . . . . . . . . . . . . .

Полагая,например, s = 1 и s = 2, получим :

67

по которым можно последовательно получать приближенное решение ym . Такие формулы не требуют вычисления дополнительных начальных условий и позволяют легко менять шаг интегрирования. Их практическое применение ограничено лишь теми задачами, для которых легко вычисляются полные производные высшего порядка.

§31. Явные методы Рунге

В начале века Рунге, Хойн и Кутта предложили подход, основанный на построении ϕ , которая максимально близка к и не содержит производных от функции f (x, y). Этот процесс "подгонки"рядов Тейлора и называется методом Рунге-Кутты .

Так Хойн рассмотрел этот процесс "подгонки",положив

где b1 , b2 , c2 и a21 – постоянные, подлежащие определению. Разлагая ϕ и по степеням h, получил:

68

Вследствие того что в общем случае нельзя найти никаких соотношений для членов порядка O(h2), получаем семейство решений

где ξ = 0 – свободный параметр. Полагая ,например, ξ = 12 , получим расчетную схему, (впервые полученную Хойном) вида:

Рассмотренный процесс "подгонки"можно обобщить, используя m вычислений функции на одном шаге интегрирования.

Предполагаем, что в рассматриваемой области f (x, y) имеет непрерывные частные производные до некоторого порядка q . Тогда искомое решение будет иметь непрерывные производные до порядка q + 1 , и можно представить приращение решения в виде:

При достаточно малых h можем отбросить в (31.9) член o(|h|q+1) и приближенно считать

При рассмотрении метода разложения в ряд Тейлора мы убедились в том что полные производные yi(x) в (31.10) могут быть вычислены. Но в связи с тем, что дело это требует индивидуального подхода для каждой системы, , их непосредственное использование (31.10) на практике вряд ли может быть использовано.

69

Рунге предложил составлять линейную комбинацию

i= 1, 2, . . . , m.

иискать приближение к решению в виде

Метод (31.11)–(31.12) и называется m –этапным явным одношаговым методом Рунге-Кутты. Он идеально приспособлен для практического расчета:

-не требует вычисления дополнительных начальных значений;

-позволяет легко менять шаг интегрирования.

Выбор постоянных (параметров метода) bi, ci, aij производится так, чтобы разложение (31.11) по степеням h совпадало до

которую в дальнейшем будем называть методической погрешностью одношагового метода.

Считаем f (x, y) - достаточно гладкой функцией своих аргу-

70