Численные методы. Лекции. Часть 2

Система (8.8) линейная с двумя неизвестными

A1, A2 . Разрешаем

ее

A1 =

μ0x2 − μ1

;

x2 − x1

A2 =

μ1 − μ0x1

;

(8.9)

x2 − x1

b f (x)

μ0x2

μ1

μ1

μ0x1

a

√

dx =

−

f (x1) +

−

f (x2) + R2(f ). (8.10)

x

x2 − x1

x2 − x1

Для этого вычислим

b x2

μ0x2

μ1

μ1

μ0x1

R2(x2) = a

√

dx −

−

x12

−

−

x22 =

x

x2 − x1

x2 − x1

= μ2 − μ1(x1 + x2) + μ0x1x2 = 0,

x1, x2 [a, b], x1 = x2.

n

(9.1)

ab p(x)f (x) dx ≈ i=1 Aif (xi),

Рассмотрим следующие типы расположения узлов :

•

x

i

= a + (i

−

1)

·

h; h =

b−a

, i = 1, 2, . . . , n;

n−1

•

x = a + i

·

h; h =

b−a

,

i = 1, 2, . . . , n;

i

n+1

При таком расположении узлов (9.1) - формула открытого

типа;

•

x

i

= a + (i

−

1)

·

h; h =

b−a

, i = 1, 2, . . . , n;

n

При таком расположении узлов (9.1) - формула открытого

типа;

•

x

i

= a + i

·

h; h =

b−a

,

i = 1, 2, . . . , n;

n

n = 1, p(x) = 1, x1 = a;

ab f (x) dx ≈ A1f (a);

A1 =?

(10.1)

ω(x) = (x − a);

=

b

(x − a)

dx = b

a;

A

−

(x − a)ω (a)

1

a

ab f (x) dx ≈ (b − a)f (a);

(10.2)

R1(1) =

ab dx − (b − a) · 1 = 0;

(10.3)

R1(x) =

ab x dx − (b − a) · a = 0;

(10.4)

f (x) = f (a) + f (ξ)(x

−

a); ξ

[a, b];

(10.5)

a

b

(b − a)2

[a, b].

=

f (ξ)(x

−

a) dx = f (ν)

, ν

2

a

средней точки)

n = 1, p(x) = 1, x1

=

a + b

;

2

b

+ b

a

f (x) dx ≈ A1f (

a

);

A1 =?

(11.1)

2

ω(x) = (x −

a + b

);

2

a

b

+ b

f (x) dx = (b − a)f ( a

2

) + R1.

(11.2)

b

+ b

R1(x) = a

x dx − (b − a) ·

a

=

2

=

x2

b

b2

− a2

= 0;

−

2

2

a

+ b

b

a

R1(x2) = a

x2 dx − (b − a) ·

= 0.

2

f (x) = f (

a + b

) + f (

a + b

)(x −

a + b

) +

1

(x −

a + b

)2 · f (ξ(x));

2

2

2

2

2

P1 = f (

a + b

) + f (

a + b

)(x −

a + b

);

2

2

2

r2 =

1

(x −

a + b

)2 · f (ξ(x));

ξ(x) [a, b];

2

2

b

+ b

R1(f ) = R1(r2) = a

f (x) dx − (b − a) · f (

a

) =

2

1

b

a + b

=

a

f (ξ(x))(x −

)2 dx =

2

2

f (η)

b

a + b

f (η)

=

a (x −

)2 dx =

(b − a)3; η

[a, b].

2

2

24

сить порядок ее точности.

§12. Формула трапеций

n = 2, p(x) = 1, x1 = a; x2 = b.

ab f (x) dx ≈ A1f (a) + A2f (b);

A1 =? A2 =?.

(12.1)

b2 − a2

= A1a + A2b.

2

A1 = A2

=

b − a

2

Квадратурная формула при этом имеет вид:

b

(b − a) [f (a) + f (b)] + R

(f ).

f (x) dx =

a

2

(12.2)

2

R2(1) = ab r2(x) dx;

r2(x) =

f

(ξ(x))

(x − a)(x − b).

2

R2(1) = a

b

f

(

ξ(x))

(x − a)(x − b) dx =

=

2

= −

f (η)

(b − a)3,

η (a, b).

(12.3)

12

Таким образом, алгебраическая степень точности квад-

ратурной интерполяционной

формулы

трапеций

(12.1)

равна

1 . Существенно то, что погрешность

квадратурной

форму-

лы

прямоугольников

(правило

средней точки)(11.2)

меньше

по

модулю при

интегрировании

f (x)

= a2x2 + a1x + a0 ,

чем

погрешность

квадратурной

формулы

трапеций.

x1 = a, x2 =

a + b

, x3

= b; p(x) ≡ 1.

2

Квадратурная формула имеет вид:

3

(13.1)

ab f (x) dx ≈ i=1 Aif (xi).

R3(x0) = J(x0) − S3(x0) =

ab

3

dx − i=1 Ai = 0;

R3(x1) = J(x1) − S3(x1) =

3

(13.2)

ab x dx − i=1 Aixi = 0;

R3(x2) = J(x2) − S3(x2) =

b

3

= 0;

a

x2 dx − i=1 Aixi2

Тогда система (13.2) может быть записана в виде:

3

i

Aixk = μk ,

k

= 0, 1, 2.

(13.3)

i

=1

Разрешая систему (13.3) относительно

Ai, i = 1, 2, 3, получим:

A1 = A3 =

(b − a)

,

A2 =

4(b − a)

.

6

6

f (x) dx

(b − a) f (a) + 4 f ( a + b ) + f (b) .

b

a

≈

·

(13.4)

6

2

f (x −

a + b

) = −f (

a + b

− x),

(13.5)

2

2

то для таких функций

b

p(x)f (x) dx = 0 , а

3

(xi) = 0

a

i=1 Aif

вследствии того, что

A1 = A3.

f (x) =

Рассматриваемая квадратурная формула точна для

b

3

(x3) =

a

−

f (a) + 4

·

f

(13.6)

6

2

R

x3 dx

(b − a)

( a + b ) + f (b) = 0

В классе

C4

остаточный член квадратурной формулы (13.4)

(a,b)

R3(f ) = a

b

f

(4)(ξ(x))

(x − a)(x −

a + b

)2(x − b) dx =

4!

2

=

−

1

(

b − a

)5f (4)(η),

η

(a, b).

(13.7)

90

2

Предположим, что отрезок интегрирования [a, b] – конечен.

Разделим его на n равных частей длины h =

(b − a)/n) и

точки деления примем за узлы интерполяционной

квадратурной

b

n

(14.1)

a

f (x) dx ≈ (b − a) k=0 Bknf (a + kh);

b

ω(x)

Bkn = (b − a)−1 · Ak = (b − a)−1

a

p(x)

dx,

(x − a − kh)ω (a + kh)

ω(x) = (x − a)(x − a − h) · . . . · (x − a − nh).

Если ввести вместо x переменную

t,

положив x = a + th,

0 t n,

можно упростить представление (15.1) для Bkn :

ω(x) = ω(a + th) = hn+1t(t − 1)(t − 2) · . . . · (t − n),

k)!,

x

−

a

−

kh = h(t

−

k), ω (a + kh) = ( 1)n−k hnk!(n

−

(−1)n−k

−

Bn =

p(a + th) t(t − 1) . . . (t − n) dt.

n

k

0

n · k!(n − k)!

t − k

Для весовой функции

p(x) ≡ 1

формула Ньютона-Котеса имеет

вид:

b

n

(14.2)

a

f (x) dx ≈ (b − a) k=0 Bknf (a + kh);

( 1)n−k

k

0

n t(t

−

1) . . . (t

−

n)

n · k!(n − k)!

t − k

Bn

=

−

dt.

величиной ε

n

n

. Сумма

n

Bn

= 1

. Наличие

k=0

|Bk |

k=0

10

|

n

|

n k

отрицательных вызывает увеличение

k=0 Bk

и значит

Так при

n = 10

n

B

3, 1 , а уже

при

.

k=0

| k

| ≈

k=0 | k

| ≈

погрешности.

n

20

560

n = 20

B

Поэтому при использовании

формулы при n = 15

может быть потерян

квадратурной

один десятичный разряд, а при

n = 20 – три десятичных

• Коэффициенты Bkn,

отвечающие равноотстоящим от концов

отрезка интегрирования a

и b, равны между собой

Bn = Bn

, j = 0, 1, . . .

j

n−j

Многочлен

P (x) = (x −

a+b

)n+1 является нечетным относи-

2

тельно середины отрезка :

P (

a + b

− x) = −P (−

a + b

+ x)

2

2

и для него

ab P (x) dx = 0 . А так как

P (x) – нечетная

функция и

n

n

, то квадратурная сумма также равна

Bj

= Bn−j

n

xk [a, b],

(15.1)

ab p(x)f (x) dx ≈ k=1 Ak f (xk),

Коэффициенты Ak

и узлы

xk

будем выбирать таким образом,

чтобы

max

{m : Rn(x ) = 0; Rn(f ) = J(f ) − Sn(f )}

Ak ,xk

m

max

m : R (P

) = 0;

P ( )

}

,

(15.2)

Ak ,xk {

n

m

m ·