Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы. Лекции. Часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

671.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1515

видим, что все посторонние корни лежат в начале координат. Для таких методов область абсолютной устойчивости не будет пустой.

§35. Методы Адамса.

Разностные формулы

yn+k − yn+k−1 = h	i	(35.1)
yn+k − yn+k−1 = h	βif (xn+i, yn+i)	(35.1)
	=0
где
αk = 1, αk−1 = −1,	αk−2 = . . . = α0 = 0.	(35.2)

известны как формулы Адамса. Характеристическое уравнение для них имеет вид

θk+1 − θk = 0.	(35.3)
Единственный корень этого уравнения равен	θ1 = 1 , а осталь-

ные посторонние корни равны нулю. Для них характерно,что вопервых они сильно устойчивы, а во-вторых методы Адамса имеют максимальную степень среди тех формул, у которых все посторонние корни равны нулю. Введем обозначения n + k = m + 1, и βk−i = bi, тогда разностная формула (35.1) примет вид

k
i	(35.4)
ym+1 − ym = h bif (xm+1−i, ym+1−i)	(35.4)
=0

Метод Адамса-Бэшфорта.

В явных методах неизвестное yn+1 не входит в правую часть, поэтому (35.4) в этом случае имеет вид:

k
i	(35.5)
ym+1 − ym = h Bif (xm−i, ym−i)	(35.5)
=0

Коэффициенты Bi выбираются из соображений максимального порядка аппроксимации. Система линейных уравнений (28.4)- (28.6), которой должны удовлетворять коэффициенты Bi , имеют k + 1 неизвестных Bi. Определитель системы, составленный

141

из первых k + 1 уравнений, содержащих эти неизвестные, есть определитель Вандермонда. Значит коэффициенты определяются единственным образом.

Таким образом, для любого k существует явная формула (35.5) k + 1 степени, с порядком аппроксимации k + 1. Такого типа формулы и называются формулами Адамса-Бэшфорта. Пример явных схем Адамса-Бэшфорта:

yn+1

= yn + hfn, C2 =

h2y(2)

; s = 1

(35.6)

h(3fn+1

yn+2

= yn+1 +

− fn),

h3y(3)

; s = 2(35.7)

yn+3

= yn+2 +

h(23fn+2 − 16fn+1

+ 5fn),

h4y(4); s = 3

(35.8)

Экстраполяционные ,явные разностные методы Адамса, могут быть получены и другим способом, если исходить не из дифференциального уравнения (25.1), а из интегрального соотношения

xn+1
y(xn+1) − y(xn−j ) = xn−j	f (x, y(x)) dx.	(35.9)

Аппроксимируем подынтегральную функцию одного переменного f (x, y(x)) алгебраическим интерполяционным полиномом Pk (x) , который в узлах xi, i = n − k, n − k + 1, . . . , n принимает значения Pk (xi) = f (xi, y(xi)) . Воспользуемся представлением этого полинома в форме Лагранжа:

	k				ω(x)
Pk (x) ≡ Lk(x) =	j	f (xn−j , y(xn−j ))			ω(x)		. (35.10)

			(x	−	−	−
	=0		(x		xn j )ω (xn	j )
	=0

и внесем его в правую часть исходного дифференциального уравнения

dy	= Lk(x) + rk (x),		ω(x)
		rk (x) =		yk+2(ξ), ξ [xn−k , x](35.11)
dx			(k + 1)!

142

Проинтегрировав на интервале [xn−j , xn+1] , получим

							k
							i		(35.12)
y(xn+1) − y(xn−j ) = h Bif (xn−i, yn−i) + n+1									(35.12)
						=0
где
	1		xn+1				ω(x)
Bi =			xn−j					dx =
Bi =		h	xn−j		(x − xn−j )ω (xn−j )			dx =
=	(−1)i			1		t(t + 1) . . . (t + k)		dt,
=	i!(k − i)! −j							dt,
	i!(k − i)! −j						(t + i)
			xn+1
n+1 = xn−j				rk(x) dx =
			xn+1		ω(x)
	= xn−j						y(k+2)(ξ(x)) dx = O(hk+2),
	= xn−j			(k + 1)!			y(k+2)(ξ(x)) dx = O(hk+2),

ξ(x) [xn−k , xn], ω(x) = (x − xn−k )(x − xn−k+1) . . . (x − xn).

Bi - не зависит ни от h, ни от x. Отбросив в (35.12) остаточный член, получим разностное уравнение вида

k
i	(35.13)
y(xn+1) − y(xn−j ) = h Bif (xn−i, yn−i).	(35.13)
=0

Это разностное уравнение аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение с порядком k + 1, причем, положив в (35.13) j = 0 получим уравнение (35.5.)

Метод Адамса-Мултона.

В неявных методах неизвестное yn+1 входит в правую часть, поэтому

k
i	(35.14)
yn+1 − yn = h bif (xn+1−i, yn+1−i)	(35.14)
=0

Коэффициенты bi выбираются из соображений максимального порядка аппроксимации. Система линейных уравнений (28.4)-(28.6),

143

которой должны удовлетворять коэффициенты bi , имеет k + 1 неизвестных bi. Определитель системы, составленный из первых k + 1 уравнений, содержащих эти неизвестные, есть определитель Вандермонда. Значит коэффициенты определяются единственным образом.

Таким образом, для любого k существует неявная формула (35.4) k + 1 степени, с порядком аппроксимации k + 1. Такого типа формулы и называются формулами Адамса-Мултона. Пример неявных схем Адамса-Бэшфорта:

yn+1 = yn + hfn+1,

C2 = −

h2y(2)

; s = 1

(35.15)

= y

h(f

+ f ),

n+1

C3 = −

h3y(3)

; s = 2

(35.16)

yn+2 = yn+1 +

h(5fn+2 + 8fn+1 − fn),

C4 = −

h4y(4)

; s = 3

(35.17)

Интерполяционные , неявные разностные методы Адамса, могут быть получены и другим способом, если исходить не из дифференциального уравнения (25.1), а из интегрального соотношения

xn+1
y(xn+1) − y(xn−j ) = xn−j	f (x, y(x)) dx.	(35.18)

Аппроксимируем подынтегральную функцию одного переменного f (x, y(x)) алгебраическим интерполяционным полиномом Pk (x) , который в узлах xi, i = n − k + 1, n − k + 2, . . . , n + 1 принимает значения Pk (xi) = f (xi, y(xi)) . По аналогии с выводом разностных схем для явных методов, получим

k
i	(35.19)
y(xn+1) − y(xn−j ) = h bif (xn+1−i, yn+1−i) + n+1,	(35.19)
=0

144

где

xn+1

ω(x)

bi =

xn−j

dx =

(x − xn−j )ω (xn−j )

(−1)i

1 (t

1)t(t + 1) . . . (t + k

dt,

i!(k − i)! −j

−

(t + i − 1)

−

xn+1

ω(x)

n+1 = xn−j

rk (x) dx = xn−j

yk+2(ξ(x)) dx = O(hk+2),

(k + 1)!

ξ(x) [xn−k+1, xn+1],

ω(x) = (x − xn−k+1)(x − xn−k+2) . . . (x − xn+1).

bi - не зависит ни от

ни от

Отбросив в (35.19) остаточный

член, получим разностное уравнение вида

(35.20)

y(xn+1) − y(xn−j ) = h

bif (xn+1−i, yn+1−i).

Это разностное уравнение аппроксимирует исходное диффе-


ренциальное уравнение		с	порядком		k	+ 1,	причем, по-
ложив в (35.20)	j	=	0	получим		уравнение (35.14.)

§36. Практические способы оценки локальной погрешно-

сти линейных многошаговых методов
Для k	– шагового линейного метода s - ого порядка аппрок-
симации при численном решении задачи Коши
		dz	= f (x, z), z(x0) = y0,	(36.1)

		dx
справедлива асимптотическая оценка локальной погрешности
z(xn) − zn = Cs+1hs+1z(s+1)(xn) + O(hs+2).				(36.2)
z(xn) – точное решение дифференциального уравнения (36.1)
с начальными
условиями	z(xn−k ) = yn−k ,
Cs+1	– соответствующая используемой разностной схеме по-
стоянная,

145

zn – точное решение разностного уравнения
zn = h	βk	f (xn, zn) +	(36.3)

	α
	k

+ 1

αk

Существенно лона xn−k+i

решение zn

− k−1 αiz(xn−k+i) + h k−1		βif (xn−k+i, z(xn−k+i)./
i
=0	i=0

то, что если значения искомой функции в точках шабвычислены с погрешностью

zn−k+i − z(xn−k+i) = O(hs+1)

(36.4)

разностного уравнения

z	= h		βk	f (x , z ) +		(36.5)
z	= h			f (x , z ) +
n				n	n
			αk
		1		k−1		k−1
	+		−		αiz(xn−k+i) + h	βif (xn−k+i, z(xn−k+i)./
	+	αk	−		αiz(xn−k+i) + h	βif (xn−k+i, z(xn−k+i)./
				i
			=0			i=0

имеет локальную погрешность того же порядка точности, что и решение zn :

z(xn) − z = C +1hs+1z(s+1)(xn) + O(hs+2). (36.6)

n s

Если же начальные условия разностного метода вычислены на порядок точнее, т.е.

zn−k+i − z(xn−k+i) = O(hs+2),

(36.7)

то приближенное решение zn имеет ту же оценку (36.2) локальной погрешности , что и решение zn :

z(xn) − zn = Cs+1hs+1z(s+1)(xn) + O(hs+2).

(36.8)

Это обстоятельство и позволяет произвести оценку локальной погрешности метода предиктор-корректор. Предполагая, что степени аппроксимации их равны s выпишем локальные погрешности

предсказывающего метода:

z(xn) − zn(p) = n(p) = Cs(+1p) hs+1z(s+1)(xn) + O(hs+2).

(36.9)

146

исправляющего метода:

z(xn) − zn(c,ν) = n(c,ν) =				(36.10)
= C(c) hs+1z(s+1)(x	n	) + O(hs+2),	ν = 0, 1, . . . ; z(c,0)	= z(p).
s+1	n		n	n
Из (36.9),(36.10) выражаем hs+1z(s+1)(xn) :
hs+1z(s+1)(xn) =		zn(c,ν) − zn(c,0)	+ O(hs+2).	(36.11)
hs+1z(s+1)(xn) =		C(p) − C(c)	+ O(hs+2).	(36.11)
		C(p) − C(c)

Это представление позволяет получить оценки локальной погрешности

для предсказывающего метода

(p) =	C(p)	zn(c,ν) − zn(c,0)	+ O(hs+2).	(36.12)
	C(p) − C(c)
и для исправляющего метода
(ν) =	C(c)	zn(c,ν) − zn(c,0)	+ O(hs+2).	(36.13)
	C(p) − C(c)

Правомерно использовать эти оценки только в случае, если на каждом шаге производится уточнение полученного результата по формуле

zn = zn(c,ν) +	C(c)	zn(c,ν) − zn(c,0)	+ O(h
	C(p) − C(c)

Локальная погрешность уточненного приближения

O(hs+2) .

s+2). (36.14)

имеет порядок

147

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИН-
	ТЕГРАЛА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	2
§ 1.	Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	2
§ 2.	Различные подходы к построению квадратурных формул	6
	.	6
§ 3.	Квадратурный процесс. Сходимость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
§ 4.	Интерполяционные квадратурные формулы . . . . . . . . . . . .	12
§ 5.	Погрешность интерполяционной квадратурной формулы.	15
	.	15
§ 6.	Квадратурные формулы, использующие значения функ-
	ций и производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
§ 7.	Сходимость интерполяционных квадратурных формул . .	18
§ 8.	Алгоритм построения интерполяционных квадратурных
	формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18

§9. Примеры построения интерполяционных квадратурных формул с весовой функцией p(x) ≡ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 21

§10. Квадратурная формула прямоугольника . . . . . . . . . . . . . . . .	22
§11. Квадратурная формула прямоугольника (правило сред-
ней точки) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	23
§12. Формула трапеций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	25
§13. Квадратурная формула Симпсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	26
§14. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами. . . . .	28
§15. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
§16. Сходимость квадpатуpного процесса по фоpмулам типа
Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
§17. Алгоpитм постpоения квадpатуpных фоpмул метода Гаус-
са вычисления опpеделенного интегpала . . . . . . . . . . . . . . . .	42
§18. Квадратурные формулы Гаусса для простейших весовых
функций. Постоянная весовая функция. . . . . . . . . . . . . . . . .	44
§19. Весовая функция (b − x)α(x − a)β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	45

148

§20. Квадратурные формулы с равными коэффициентами . . .	47
§21. Квадратурные формулы П. Л. Чебышева. Постоянная ве-
совая функция.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	49
§22. Составные квадратурные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	52
§23. Составная квадратурная формула прямоугольников (пра-
вило средней точки) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	54
§24. Составная квадратурная формула трапеций. . . . . . . . . . . . .	56
§25. Составная квадратурная формула Симпсона. . . . . . . . . . . .	58
§26. Практические способы оценки погрешности составных
квадратурных формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	60
§27. Сходимость квадратурного процесса по составным квад-
ратурным формулам. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	62
Глава 2. Численные методы решения задачи Коши
для обыкновенных дифференциальных урав-
нений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	65
§28. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	128
§29. Одношаговые методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	132
§30. Методы разложения в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	135
§31. Явные методы Рунге. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	136
§32. Одноэтапные расчетные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	136
§33. Двухэтапный метод Рунге-Кутты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	136
§10. Трехэтапный метод Рунге-Кутты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	78
§11. Четырехэтапный метод Рунге-Кутты.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	82
§12. Сходимость явных одношаговых методов.. . . . . . . . . . . . . . .	87
§13. Мажорантная оценка полной погрешности . . . . . . . . . . . . . .	92
§14. Практическая реализация явных одношаговых методов
типа Рунге-Кутты решения задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . .	95
§15. Метод Рунге. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	97
§16. Оценка методической погрешности на основе комбинации
методов разных порядков.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	99
§17. Методы Рунге-Кутты численного интегрирования систем
обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . .	107

149

§18. Структурный метод. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	109
§19. Использование различных характеристик точности. . . . . .	110
§20. Качество алгоритма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	112
§21. Автоматический выбор шага интегрирования. . . . . . . . . . . .	113
§22. Алгоритм выбора начального шага. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	115
§23. Недостатки явного метода Рунге-Кутты.. . . . . . . . . . . . . . . .	115
§24. Примеры жестких задач Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	116
§25. Жесткость нелинейных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	122
§26. Неявные методы Рунге-Кутты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	123
§27. Многошаговые методы решения обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	126
§28. Построение разностных схем методом неопределенных ко-
эффициентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	128
§29. Устойчивость многошаговых методов, корневой признак,
сходимость, наивысший достижимый порядок точности. .	132
§30. Корневой признак . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	135
§31. Сходимость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	136
§32. Достижимый порядок нуль-устойчивых методов . . . . . . . .	136
§33. Устойчивость при фиксированной величине шага. . . . . . .	136
§34. Абсолютная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	139
§35. Методы Адамса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	141
§36. Практические способы оценки локальной погрешности ли-
нейных многошаговых методов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	145

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1515

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.09.201968.1 Кб10чехов.doc
#
04.08.201957.44 Кб11Чикер ворд.docx
#
16.09.20191.55 Mб6Чиркин В.Е. Конституционное право зарубежных ст...doc
#
01.07.2025322.05 Кб0ЧИСЛА РАССКАЖУТ О СЕБЕ.doc
#
01.09.2019691.71 Кб7ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ КУРСОВАЯ 10-11.doc
#
16.04.2015671.96 Кб96Численные методы. Лекции. Часть 2.pdf
#
01.07.202590.62 Кб0Число пи.doc
#
15.04.2015184.32 Кб24Чистобаев. ответы на вопросы.doc
#
30.08.2019815.62 Кб49ЧИСТОВИК к госу.doc
#
22.05.20152.22 Mб14Чистовой вариант курсовой работы..doc
#
21.03.201612.04 Mб19Читаем_A_Year_on_a_Pirate_Ship.pdf