Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы. Лекции. Часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

671.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

смотрим в качестве примера линейную систему вида:
	dy(x)		= Ay(x), x 0,				y(0) = y0,	ε > 0	(24.21)
	dx		= Ay(x), x 0,				y(0) = y0,	ε > 0	(24.21)
	dx			1
A =			0	1					(24.22)
A =			0	ε1					(24.22)
			ξ
				−ε
где ξ постоянная умеренной величины, например								\|ξ\| < 1, а ε
близка к нулю. Точное решение для этой системы имеет вид:
y(x) = eξx				1	eξx − e−	1 x	y0, x 0.
						ε
				1+ξε		ε			(24.23)
		0			e− ε x
				1

							1		ε ма-
Переходная компонента решения имеет вид e− ε x . Так как									ε ма-

ло, то переходная компонента через очень небольшой промежуток времени становится пренебрежимо малой. После этой переходной фазы решение полностью определяется уже гладкой компонентой eξx. На этом этапе задачи возникает проблема вычисления непе-

реходного решения при подавлении переходного. Именно на этом этапе задачу называют жесткой.

Сравнивая приближенные решения методами Эйлера (явным и

неявным) в момент времени

x = xn+1 = xn + h задачи (24.22)

с точным решением при x = xn+1 = xn + h , имеем:

y(xn+1) = eξh

1 h

y(xn),

eξh − e−

1+ξε

(24.24)

e− ε h

Приближение по явной схеме

yn+1 =

1 + hξ

(24.25)

yn,

1 − hε

Вычисления по неявной схеме Эйлера

yn,

hξ

hξ)(1+

)

yn+1 =

−

(24.26)

1+ hε

121

На непереходном участке решения ,где hε >> 0 и h должно выбираться исходя из требования достаточно точной аппроксимации

ehξ .	Здесь:		h , даже когда допускается бес-
Неявный метод устойчив для всех			h , даже когда допускается бес-
конечная жесткость ( ε → 0 ).			ε
конечная жесткость ( ε → 0 ).				h
Явный метод Эйлера не подходит вследствии того, что для				ε	>>
0 переходную компоненту		−h	аппроксимировать выражением
0 переходную компоненту		e ε	аппроксимировать выражением
1 − hε	не удается.
Таким образом, жесткость – свойство математической задачи.

§25. Жесткость нелинейных систем

При интегрировании системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (в общем случае нелинейных):

dy(x)	= f (x, y(x)), y(0) = y0,	(25.1)
dx

для определения , является ли данная задача Коши жесткой, необходимо исследовать поведение решений (25.1) в окрестности частного решения z(x). В этой окрестности уравнение (25.1) можно аппроксимировать линеаризованными уравнениями

dy(x)	− J(x){y(x) − z(x)} − f (x, z(x)) = 0,	(25.2)
dx

где J(x) – матрица Якоби, составленная из вычисленных в точке (x, z(x)) частных производных ∂f∂y . Если изменение J(x) на некотором интервале x достаточно мало , то локальные фундаментальные решения (25.2) приближенно равны eλi x, где λi = λi(x) – локальные собственные значения матрицы Якоби J(x) (которые предполагаются различными).

Таким образом, решение y(x) уравнения (25.1) в окрестности точного решения z(x) представляется в виде

			n
		y(x) ≈ z(x) +	i	(25.3)
		y(x) ≈ z(x) +	cieλi xξi	(25.3)
			=1
где	ci	– постоянные, а ξi	– собственные векторы матри-
цы	J(x).	Фундаментальное решение eλix		характеризует ло-

кальный отклик системы на малые изменения или возмущения

122

z(x). Предполагается , что система локально устойчива, так что Re(λi) < 0, i = 1, 2, . . . , s, и нестационарные фундаментальные решения затухают с увеличением x со скоростью, пропорциональной величине 1/Re(λi), которая называется локальной "временной постоянной"системы. Мерой жесткости задачи является интервал, в

котором заключены ее локальные "временные постоянные".

Определение

Задача Коши

		dy(x)	= f (x, y(x)), y(0) = y0,						y = (y1, . . . , ys).	(25.4)
		dx	= f (x, y(x)), y(0) = y0,						y = (y1, . . . , ys).	(25.4)
		dx
называется жесткой в некотором интервале I [a, b],										если для
x I
• Re(λi) < 0, i = 1, . . . , s,
				max	Re(	λ )
	S(x) =			i=1,...,s		− i
•							>> 1,
•				min	Re(	λi)	>> 1,
				i=1,...,s		−
где	λi – собственные значения ∂f							,	в которые подставлено реше-
ние	z(x) в точке						∂y
ние	z(x) в точке				x.
Отношение			S(x)		называется коэффициентом жесткости за-

дачи. Жесткую задачу называют также "задачей с сильно различающимися временными постоянными"или "системой с большой константой Липшица"(так как L = ∂f∂y > = maxi=1,...,s |λi| - спектральный радиус).

Как видим, явные методы Рунге-Кутты не в состоянии обеспечить получение приемлемого приближенного решения жесткой задачи Коши, так как для численной устойчивости ,в случае их применения, потребуется интегрирование с большим ограничением на его шаг.

§26. Неявные методы Рунге-Кутты

Общая схема m – этапного метода имеет вид:

	m
y(x + h) ≈ y(x) +	i	(26.1)
y(x + h) ≈ y(x) +	biki(h),	(26.1)
	=1

123

где

	m
ki(h) = hf (x + cih, y(x) +	j	(26.2)
ki(h) = hf (x + cih, y(x) +	aij kj (h), j = 1, . . . , m	(26.2)
	=1

Параметры ci, aij , bi выбираются так , чтобы разложение выражения (26.1) по степеням h совпадало с разложением точного решения y(x + h) в ряд Тейлора до некоторой степени hs включительно.

Продемонстрируем вывод неявных формул метода РунгеКутты на примере двухэтапной схемы:

y(x + h) ≈ y(x) + b1k1(h) + b2k2(h),		(26.3)
где
k1(h) = hf (x + c1h, y(x) + a11k1	(h) + a12k2(h)),	(26.4)
k2(h) = hf (x + c2h, y(x) + a21k1(h) + a22k2(h))		(26.5)
Функция погрешности метода :
Ψ(h) = y(x + h) − y(x) − b1k1	(h) − b2k2(h),	(26.6)

Для того, чтобы Ψ (0), Ψ (0), Ψ (0) равнялись нулю для любой правой части f (x, y(x)) необходимо и достаточно чтобы параметры метода удовлетворяли системе уравнений:

b1 + b2 = 1,				(26.7)
b1c1 + b2c2	=	1	,	(26.8)

		2
b1c12 + b2c22	=	1	,	(26.9)
		3

b1(c1a11 + c2a12) + b2(c1a21 + c2a22) =		1	,	(26.10)

		6
c1	= a11 + a12,			(26.11)
c2	= a21 + a22,			(26.12)

Система алгебраических уравнений имеет многопараметрическое семейство решений. Зафиксировав часть из них: a11 = a22, a12 =

124

	3 + √
0 и c1 =	3 + √	3	,	получим двухэтапную расчетную схему третьего
0 и c1 =	6		,	получим двухэтапную расчетную схему третьего
порядка точности :
	y(x + h) ≈ y(x) +								1	[k1(h) + k2(h)],														(26.13)

									2
где
								3 + √								3 + √
	k1(h) = hf (x +							3 + √			3		h, y(x) +			3 + √			3		k1		(h)),	(26.14)
	k1(h) = hf (x +							6					h, y(x) +			6					k1		(h)),	(26.14)
					3 − √			6				√				6		√
							h, y(x)								k (h) +		3 +					k (h))
k (h) = hf (x +						3								3			3 +			3				(26.15)
k (h) = hf (x +				6					− 3
2				6					− 3						1	6							2

Применение неявной расчетной схемы (26.13)-(26.15) к линейной системе (24.20) приводит к разностному уравнению

yn+1 = P (Ah)yn,

(26.16)

где


P (Ah) = ,E −			3	+ √						2 + √		A2h2-	−1
				+ √		3	Ah +			2 + √	3		−1
						3					3		×
				3						6			×
× ,E −	√				1	+ √			A2h2-
	√					+ √		3
	3	Ah −						3
	3	Ah −				6

Причем для P (Ah) – функции от матрицы характерно, что при λi < 0, i = 1, . . . , s (- собственные значения матрицы A ),

|P (λih)| < 1 .

Таким образом, применение этой расчетной формулы для интегрирования уравнения (24.1) обеспечивает убывание решения уравнения yn+1 = P (λih)yn при n → ∞ при произвольном h. А значит обеспечивается стремление к нулю всех составляющих (жестких и гладких) решения разностного уравнения (26.16), которые соответствуют собственным значениям с отрицательной действительной частью. Поэтому для устойчивых систем после прохождения пограничного (переходного) слоя шаг интегрирования может быть увеличен. При этом сохраняется численная устойчивость приближенного решения.

125

Батчер доказал, что для неявного m – этапного метода РунгеКутты наилучший возможный порядок равен 2m.

§27. Многошаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Общая схема многошаговых методов

решения задачи Коши

	dy	= f (x, y)		(27.1)

	dx
	y(x0) = y0.			(27.2)
имеет вид:
yn+k = F (f, xn+k , . . . , xn, yn+k, yn+k−1, . . . , yn)				(27.3)
т.е. значение приближенного решения			yn+k в точке xn+k	опре-
деляется через значения решения в k			точках, предшествующих

xn+k .

Метод (27.3) называется k - шаговым. Из класса методов (27.3) выделим класс линейных многошаговых методов :

k	k
	i
αiyn+i = h	βif (xn+i, y(xn+i)),	n = 0, 1, 2, . . . ,	(27.4)
i=0	=0
здесь αi и βi – постоянные, αk = 0,		\|α0\| + \|β0\| = 0; Ра-
венство (27.4) устанавливает линейное соотношение между			yn+i

и f (xn+i, y(xn+i)).

Для того чтобы вычислить последовательность приближеннных значений yn, необходимо сначала получить k начальных значений y0, y1, . . . , yk−1. Далее, если βk = 0 , то метод (27.4) называется явным линейным многошаговым и yn вычисляется просто. В случае, если βk = 0 –метод называется неявным ,т.к. правая часть (27.4) содержит f (xn+i, y(xn+i)) и в общем случае необходимо решить нелинейное уравнение относительно y(xn+i) . Для реализации неявного метода можно равенство (27.4) представить в виде

	βk
yn+k = h	αk f (xn+k , y(xn+k)) + gn, βk = 0,	(27.5)

126

где	gn	содержит известные				величины	f (xn+i, y(xn+i))
, y(xn+i),		i = 0, 1, . . . , k − 1.	Доказано, что если
		h <		αk	·	1	(27.6)
		h <		βk	·	L ,	(27.6)


то существует единственное решение				yn+k уравнения (27.6), ко-
торое можно получить с помощью итерационного процесса
	ynξ+1+k = h	βk	f (xn+k, ynξ +k) + gn,			ξ = 0, 1, . . . ,	(27.7)
	ynξ+1+k = h		f (xn+k, ynξ +k) + gn,			ξ = 0, 1, . . . ,	(27.7)
		αk
где yn0	+k произвольно. Но выбор			yn0	+k	играет огромную роль

в скорости сходимости итерационного процесса, поэтому для его вычисления используется явный многошаговый метод – предсказывающий (предиктор), неявный метод (27.7) в этой сцепке – исправляющий (корректор).

Наряду с (27.4) используется и другая форма многошагового

метода:
k	αiyn+i	=	k	βif (xn+i, y(xn+i)), n = 0, 1, 2, . . . ,			(27.8)
i		=		βif (xn+i, y(xn+i)), n = 0, 1, 2, . . . ,			(27.8)
i	h
=0	h		i=0
=0			i=0
Определение 27.1. Полином вида
						k
				(θ) =	i		(27.9)
				(θ) =		αiθi.	(27.9)
					=0
будем в дальнейшем называть характеристическим .
Полная погрешность в узле xn						определяется разностью yn −

y(xn), 0 n N . Если она стремиться к нулю при h → 0 , то метод сходится.

Определение 27.2. Метод из класса (27.8) сходится , если для каждой задачи (27.1),(27.2)

y	n −→	y(x) h	→	0, n =	x − x0
					h

для любых x [x0, xk].

127

Каким условиям должен удовлетворять метод из класса (27.8)? Ясно, что прежде всего в качестве такого условия должен выступать минимальный уровень локальной точности.

Определение 27.3. Невязка n+k ,которая получается после подстановки точного решения y(x) дифференциального уравнения в разностное (27.4),

	k	k
	i
n+k =		αiyn+i − h βif (xn+i, y(xn+i)),	(27.10)
	=0	i=0

имеет порядок O(hs+1) и называется погрешностью аппроксимации. Число s называется порядком аппроксимации, или степенью разностного уравнения (27.4).

Определение 27.4. Величина rn+k = n+k , которая получает- h

ся после подстановки точного решения y(x) дифференциального уравнения в разностное (27.8), называется погрешностью дискретизации

§28. Построение разностных схем методом неопределенных коэффициентов

Коэффициенты αi, βi выбираются таким образом, чтобы разностное уравнение (27.4) аппроксимировало дифференциальное уравнение с достаточно гладкой правой частью с некоторым порядком s.

Будем предполагать, что правая часть f (x, y) исходного дифференциального уравнения имеет непрерывные частные производ-

ные до порядка s + 1 включительно, а значит, y(x)								– имеет
непрерывные производные до порядка							s + 2.
Если воспользоваться формулой							Тейлора для y(xn+i) и
y (xn+i) :
	s+1	(ih)j
y(xn+i) =	j				y(j)(xn) + O(hs+2),			(28.1)
y(xn+i) =	=0		j!		y(j)(xn) + O(hs+2),			(28.1)
			j!

	s		(ih)j
	j		(ih)j
y (xn+i) =	j					y(j+1)(xn) + O(hs+1),		(28.2)
y (xn+i) =	=0		j	!		y(j+1)(xn) + O(hs+1),		(28.2)
			j	!

128

то после подстановки (28.1),(28.2) в (27.10) получим разложение погрешности аппроксимации n+k по степеням h :

n+k =		, k		αi- y(xn) + h , k					iαi − k	βi- y (xn) +
		i
+ 2 ,			=0		− 2			i=1	i=0
+ 2 ,		k	i2	αi	− 2		iβi- y”(xn) + . . . +
h2
							i
	i=1		is	αi	− s		=1
+ s! ,		k	is	αi	− s		is−1βi- y(s)(xn) +
hs
							i
	i=1			i			=1		i βi- y(s+1)(xn) + +O(h(28.3)),
+ s + 1!		,		i		αi − (s + 1)		k	i βi- y(s+1)(xn) + +O(h(28.3)),
	hs+1		k					k
	hs+1				s+1				s		s+2
			i
			=1					i=1
Из (28.3) ясно, что величина n+k имеет порядок O(hs+1)											в том,

и только в том случае, если параметры удовлетворяют равенствам:

k
i			(28.4)
αi = 0,			(28.4)
=0
k	k
	i	= 0,	(28.5)
iαi −	βi	= 0,	(28.5)
i=1	=0
k	k
	i	iη−1βi = 0, η = 2, . . . , s.
iη αi − η		iη−1βi = 0, η = 2, . . . , s.	(28.6)
i=1	=1

Выполнение первых двух равенств обеспечивает порядок схемы – один. Увеличение порядка точности на единицу, каждый раз связано с добавлением к системе (28.4) - (28.6) еще одного дополнительного равенства вида (28.6) связывающего параметры метода . Степень s разностного уравнения (27.4) определяется только коэффициентами αi , βi разностного уравнения и не зависит от дифференциального уравнения. для решения которого оно применяется.

Предположим, что параметры метода удовлетворяют s + 1 равенству системы (28.4) - (28.6). Погрешность аппроксимации и

129

дискретизации имеют вид:							isβi- y(s+1)(xn) + +O(hs+2) =
n+k = s + 1!		,	k	is+1αi − (s + 1)			isβi- y(s+1)(xn) + +O(hs+2) =
	hs+1		i
			i
			=1				i=1
= Cs+1hs+1y(s+1)(xn) + O(hs+2).								βi- y(s+1)	(28.7)
rn+k = s + 1!		,	k	is+1αi − (s + 1)			is	βi- y(s+1)	(xn) + +O(hs+1) =
	hs						i
							i
			i=1				=1
= Cs+1hsy(s+1)(xn) + O(hs+1,									(28.8)
где				,		is+1αi − (s + 1)		isβi-
Cs+1 = s + 1!				,	k	is+1αi − (s + 1)		isβi-	(28.9)
		1						i
								i
					i=1			=1

Если гладкость решения меньше требуемой. то погрешности аппроксимации и дискретизации имеют меньший (по h ) порядок погрешности и оценки (28.7),(28.8) не выполняются.

Для того чтобы величина погрешности аппроксимации n+k и погрешность дискретизации rn+k не изменялись при умножении разностного уравнения (27.4) на произвольную постоянную, вводится нормировка разностного уравнения с помощью дополнительных условий, налагаемых на коэффициенты уравнения. Обычно полагают либо

αk = 1,

(28.10)

либо

k
i	(28.11)
βi = 1.	(28.11)
=0

При выполнении условия (28.10) разностная схема (27.4) имеет вид:

k−1	k
	i	(28.12)
yn+k = −	αiyn+i + h βi = 1f (xn+i, yn+i).	(28.12)
i=0	=0

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025232.59 Кб0Чехов!!!!!!!!.rtf
#
11.09.201968.1 Кб7чехов.doc
#
04.08.201957.44 Кб10Чикер ворд.docx
#
16.09.20191.55 Mб5Чиркин В.Е. Конституционное право зарубежных ст...doc
#
01.09.2019691.71 Кб7ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ КУРСОВАЯ 10-11.doc
#
16.04.2015671.96 Кб94Численные методы. Лекции. Часть 2.pdf
#
15.04.2015184.32 Кб24Чистобаев. ответы на вопросы.doc
#
30.08.2019815.62 Кб48ЧИСТОВИК к госу.doc
#
22.05.20152.22 Mб14Чистовой вариант курсовой работы..doc
#
21.03.201612.04 Mб19Читаем_A_Year_on_a_Pirate_Ship.pdf
#
15.04.201515.74 Кб21ЧИТАТЕЛЬСКИЙ ДНЕВНИК.docx