Численные методы. Лекции. Часть 2

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет прикладной математики – процессов управления

И. В. ОЛЕМСКОЙ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЧАСТЬ II

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2012

ГЛАВА 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

§1. Основные понятия

Постановка задачи. Понятия: квадратурной формулы, весовой функции, методической погрешности. Будем рас-

сматривать задачу о вычислении однократного интеграла

b

J(F ) = F (x) dx. (1.1)

a

с помощью конечного числа значений интегрируемой функции. Интервал интегрирования [a, b] есть любой конечный (или

бесконечный) отрезок числовой оси.

Подынтегральная функция F (x) - любая интегрируемая в смысле Римана функция.

Каждый такой интеграл является пределом суммы вида:

точностью.

Каждая интегральная сумма определяется:

• способом деления [a, b] на части xi ;

• выбором в каждой из них промежуточных точек ξi .

Но коль скоро речь идет о построении правила вычисления (1.1)

2

Совершенно аналогичные соображения о равноправности между собой точек каждого частичного отрезка xi позволяют нам за ξi xi выбирать середины частичных отрезков и принять следующее правило интегрирования:

Это правило позволяет вычислить интеграл (1.1) сколь угодно точно при всякой функции F (x), но оно :

•является медленно сходящимся даже для случая аналитической функции F (x) ;

•требует для достижения хорошей точности вычисления интеграла большого числа значений F (x).

Правило (1.3) становиться неприменимым, если:

• функция F (x) - неограниченная;

• отрезок [a, b] - бесконечный ;

b

иначе говоря, когда F (x) dx является несобственным.

a

Лучшую точность и большее значение имеют правила чис-

ленного интегрирования, рассчитанные на более узкие классы функций, которые обладают некоторыми общими свойствами. То-

гда точность вычисления может быть увеличена, если заранее принять во внимание эти свойства и использовать их. Каждое правило основано на замене интегрируемой функции на какую-либо элементарную функцию - алгебраический многочлен, рациональную функцию, тригонометрический многочлен и др..

Чтобы такая замена давала хорошую точность, требуется, чтобы заменяемая функция F (x) обладала высоким порядком гладкости.

Если F (x) имеет какие-нибудь особенности, мы заинтересованы в выделении их. Выделение делается обычно при помощи разложения F (x) на два сомножителя F (x) = p(x) · f (x), где

3

•p(x) имеет особенности того же типа, что и F (x), и называется весовой функцией;

•f (x) - гладкая функция.

Такое разложение приводит (1.1) к виду:

ей, будем строить правило интегрирования, рассчитанное на функ-

ции, имеющие одинаковые, заранее известные особенности.

Но предназначение p(x) не ограничивается только этим!!! Рассмотрим два примера, объясняющих это замечание:

•вычисление несобственных интегралов вида

+∞

При вычислении интеграла многое зависит от того, каков за-

кон убывания |F (x)|. В этом случае F (x) имеет смысл разложить на два сомножителя F (x) = p(x) · f (x) , первый

допускающая хорошие приближения многочленами или рациональными функциями.

•При решении граничных задач дифференциальных уравнений нередко приходится иметь дело с функциями, обращаю-

щимися в нуль на концах отрезка. Естественно при интегрировании учесть это свойство, положив F (x) = (x−a)(b−x)f (x), и построить правило для интегрирования с весом p(x) = (x − a)(b − x).

Сучетом всего этого будем строить правила вычисления определенного интеграла следующего вида:

4

где

• f (x) Φ(a, b) – некоторый класс функций f (x) , определенных на [a, b] ;

a

Определение 1.1. Формулу (1.5) называют формулой механических квадратур или просто квадратурной формулой, а

Sn = n=1 Ak f (xk ) - квадратурной суммой ;

k

Ak – квадратурными коэффициентами формулы (1.5); xk – узлами квадратурной формулы (1.5) .

Будем предполагать что узлы квадратурной формулы (1.5) упорядочены по возрастанию a = x0 < x1 < . . . < xn = b .

n, xk, Ak, k = 1, . . . , n; – являются параметрами квадратурной формулы (1.5) и их следует выбирать так, чтобы достигнуть "возможно лучшего"результата интегрирования для всех функций избранного класса.

Необходимо отметить, что в некоторых задачах не все параметры являются произвольными.

Например, если F (x) задана таблично, то мы ограничены в выборе узлов xk .

Иногда для упрощения счета можно потребовать равенства A1 = A2 = . . . = An = A = const , в этом случае в нашем распоря-

5

называется методической погрешностью (остаточным членом) квадратурной формулы (1.5).

Как видим, Rn(f ) зависит от свойств функции f и от выбора квадратурной формулы, т. е. от узлов и коэффициентов.

При исследовании погрешности основными являются две задачи:

•оценка погрешности для функций с известными (распространенными) свойствами (здесь важны как оценки для узких классов, так и грубые для более широких);

Таким образом, для построения квадратурной формулы при фиксированном, но произвольном n необходимо:

•указать способ выбора узлов xk , =→1, . . . , n; и коэффициентов Ak , =→1, . . . , n; квадратурной формулы ;

•указать способ оценивания методической погрешности Rn(f ) для данной функции f (·) или некоторого множества Φ(a, b) функции f (·).

§2. Различные подходы к построению квадратурных формул

• Квадратурные формулы наилучшей степени точности. Пусть нам задан некоторый класс Φ(a, b) функций f (·) , и пусть

– некоторая последовательность базисных функций таких , что p(x)ϕk cсумируемы на [a, b] . Образуем линейную комбинацию

n

sn(x) = ak ϕk(x).

k=1

6

что для каждой функции f Φ и любого ε > 0 существует

следует, что интеграл b p(x)f (x) dx может быть вычислен со

a

сколь угодно высокой точностью, если интегрируемую функцию f (x) заменить специально подобранной линейной комбинацией sn.

Естественные соображения:

–можно достигнуть тем большей точности вычислений,чем большее число первых функций ϕk брать при формировании sn ;

–можно ожидать, что если выбором узлов xk и коэффициентов Ak в (1.5) достигнем хорошей точности при интегрировании функций ϕk , то квадратурная форму-

ла (1.5) должна дать хороший результат по точности и при применении ее ко всякой функции f Φ .

Эти соображения носят исключительно наводящее значение, но они позволяют указать простой принцип выбора параметров n, xk, Ak, k = 1, . . . , n квадратурной формулы.

Определение 2.1. Говорят, что квадратурная формула (1.5) имеет степень точности m относительно функций (2.1), если

7

она точна для ϕ1 , ϕ2, . . . , ϕm :

и Ak – путь повышения степени точности (1.5). Приближенные квадратурные формулы этого типа учитывают свойства функций ϕk . Такие квадратурные формулы (1.5) при интегрировании f Φ будут давать хорошую точность, если базисные функции ϕk выбирать так, чтобы свойства ϕk были согласованы со свойствами f (·) . И естественно ожидать, что погрешность (1.8) в этом случае тем меньше, чем более точное приближение при помощи линейной комбинации sn будет допускать функция f для фиксированного n.

Пример выбора системы базисных функций ϕk .

Пусть [a, b] есть любой конечный отрезок.

Известно (теорема Вейерштрасса) , что

для f C[a,b] и ε > 0 существует многочлен P (x) такой, что для x [a, b] справедливо неравенство |f (x) −

P (x)| < ε .

Это и есть свойство полноты алгебраических многочленов в пространстве непрерывных функций C , так как отсюда сразу же следует полнота системы многочленов в смысле метрики (2.2).

Примем систему степеней x : 1, x, x2, . . . – за систему базисных функций ϕk и будем говорить, что

Определение 2.2. Квадратурная формула (1.5) имеет алгебраическую степень точности m , если она верна для любых

многочленов степени m и не верна для многочленов степени m + 1 .

8

Это равносильно тому, что равенство

Дадим определение момента весовой функции, введение которого позволит сделать более наглядным алгоритм построения квадратурных формул.

Определение 2.3. Интеграл вида:

Вслучае, если вычислению подлежат интегралы вида

2π

•Квадратурные формулы с наилучшей оценкой на классе функций.

Обозначим через Rn верхнюю границу абсолютной величины остаточного члена Rn(f )

была наименьшей. Такие квадратурные формулы естественно называть формулами с наилучшей оценкой на классе

9

функций Φ(a, b) .

Возможны и более частные постановки этой задачи,например:

•Упрощение вычислений –

выбор подчинен стремлению сделать простыми вычисления по квадратурной формуле (1.5),например:

- xk равноотстоящие;

Квадратурная сумма, естественно, будет вычислена с погрешностью

вать большую погрешность в приближенном значении интеграла. Именно поэтому при построении квадратурных формул стремятся

p(x) 0, x [a, b] и квадратурная формула верна для f ≡ 1 ,что равносильно равенству

формулам с положительными коэффициентами особое значение.

§3. Квадратурный процесс. Сходимость.

10