Счётные множества

Множество называется счётным, если

Например, счётным является множество чётных натуральных чисел. Действительно, отображение задаёт взаимно однозначное соответствие между множествами и

Свойства счётных множеств:

1. объединение двух счётных множеств счётно;

2. прямое произведение двух счётных множеств счётно;

3. объединение счётного числа счётных множеств счётно;

4. всякое бесконечное множество имеет счётное подмножество.

Доказательство. Докажем вначале свойство 2). Пусть где – счётные множества. Элементы множества можно расположить в следующем виде:

			. . .
			. . .
			. . .
. . .	. . .	. . .	. . .

Пересчёт элементов множества т.е. установление взаимно однозначного соответствия между элементами множеств и может быть осуществлён, например, так:

1	2	4	7	11	16 . . .
3	5	8	12	17	23 . . .
6	9	13	18	24	31 . . .
10	14	19	25	32	40 . . .
15	20	25	33	41	50 . . .
21 . . .	27 . . .	34 . . .	42 . . .	51 . . .	61 . . . . . . . .

Номер, который будет присвоен паре равен

Свойство 3) следует из 2) и теоремы Шрёдера – Бернштейна. Поясним это. Пусть где каждое счётно. Так как вкладывается в то вкладывается в Осталось построить вложение По условию счётные множества, поэтому значит, элемент из имеет вид Не исключается, что при каких-нибудь Для каждого выберем одно какое-нибудь представление в виде Отображение определяет вложение в а по свойству 2) Значит,

Свойство 1) следует из 3), так как

Докажем свойство 4). Пусть бесконечное множество. Выберем элемент Так как бесконечно, то Значит, существует элемент Таким же образом найдём и т.д. Мы получили счётное подмножество множества

Мощность множества (а значит, любого счётного множества) обозначается (читается: “алеф-нуль”). Так как всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество, то – самая маленькая из всех бесконечных мощностей.

Если и – два непересекающихся счётных множества, то по свойству 1) Это можно записать так: Аналогично этому свойство 2) можно записать так:

Множество называется несчётным, если оно бесконечно и неэквивалентно счётному множеству (т.е. его мощность больше ).

Теорема 2 (Кантора). Множество несчётно.

Доказательство. Каждое число имеет десятичную запись где При этом некоторые числа могут быть записаны двумя способами, например, Из этих двух записей выберем первую, т.е. запретим ситуацию, когда в десятичной записи числа, начиная с некоторого момента, идут одни девятки. Исключением сделаем лишь число

Предположим, что множество счётно. Тогда

Представим в виде десятичной дроби:

Теперь построим число следующим образом. Пусть любая цифра, отличная от и 9, любая цифра, отличная от и 9, и вообще Положим Тогда при всех Так как , мы получили противоречие с равенством Теорема доказана.

Замечание. Приведённый здесь метод доказательства называется диагональным методом Кантора.

Мощность множества чисел отрезка называется мощностью континуума и обозначается с. Очевидно, с