Аксиома регулярности
.
Эта аксиома
запрещает соотношения вида
и т.д. Докажем, например, невозможность
соотношения
Пусть
Так как
то по аксиоме
существует
такое, что при всех
Но тогда
и
Значит,
Аксиоматика Гёделя – Бернайса
Эту систему аксиом называют теорией классов. Основные неопределяемые понятия – множество и класс. Каждое множество является классом, но не всякий класс – множеством. Классы мы будем обозначать большими буквами, а множества - маленькими.
Аксиома
–
множество).
Можно понятие “множество” исключить из списка неопределяемых понятий; тогда аксиома будет определением множества.
Аксиомы
повторяют аксиомы
и
но уже для классов.
Аксиома подстановки
.
Аксиомы образования классов
Аксиома выбора
и аксиома регулярности – формулируются
так же, как
Система аксиом Гёделя – Бернайса, в отличие от системы Цермело – Френкеля, состоит из конечного числа аксиом. Доказано, что каждая теорема из ZF является теоремой в GB и каждая теорема из GB, в которой говорится только о множествах, является теоремой в ZF. Аксиома выбора не зависит от других аксиом системы GB.