Глава 1 Исчисление высказываний

1. Формулы, секвенции, доказательства

Математическая логика – это формальный математический аппарат, описывающий процесс построения математических понятий и доказательства утверждений. После осуществления жёсткой формализации процесс получения доказательств и их проверки становится автоматической процедурой, которая может быть поручена компьютеру. В дальнейшем для краткости исчисление высказываний мы будем обозначать ИВ.

В параграфах 1.1 – 1.3 мы построим ИВ по схеме, предложенной Г.Генценом, и будем называть его генценовским исчислением высказываний. Далее нам будет удобно перейти к другой схеме изложения – гильбертовской (предложена Д.Гильбертом). Отличие двух схем друг от друга носит чисто технический характер (множество доказуемых утверждений у них одно и то же), и каждая из них составляет предмет классической логики. В параграфе 1.5 мы познакомим читателя с интуиционистской логикой, которая принципиально отличается от классической.

Язык ив. Формулы

Алфавит ИВ содержит следующие символы:

1. пропозициональные переменные – они обозначают элементарные высказывания – это “кирпичики”, из которых будут формироваться другие, более сложные высказывания;

2. логические связки:

3. служебные символы: “(“, “)”, “,” (левая скобка, правая скобка, запятая);

4. символ

Формула ИВ определяется индуктивно по следующей схеме:

1. атомарные формулы (простейшие) – это пропозициональные переменные;

2. если и – формулы, то – формулы.

Итак, формулами ИВ называются те и только те слова, записанные в алфавите ИВ, которые получаются по вышеприведённой схеме. Например, если – пропозициональные переменные, то – формулы, а – не формулы.

Хотя в общепринятом смысле является формулой, но по нашему строгому определению это не так ввиду отсутствия внешних скобок. Выражение – формула. Так же можно “исправить” третье выражение и получить формулу Наконец, выражение “исправляется” следующим образом:

Пусть дано слово в алфавите Подсловом этого слова мы называем всякое слово вида где началом слова называется подслово вида Слово, в котором нет ни одной буквы, называется пустым словом и обозначается символом Пустое слово является подсловом любого слова. Подформулой формулы мы будем называть подслово слова которое само является формулой.

Теперь нам надо получить несколько фактов о строении формул.

Лемма 1. Если и – формулы и – начало то

Доказательство проведём индукцией по длине формулы т.е. по количеству символов, входящих в Если длина равна 1, то – атомарная формула, тогда тоже атомарная; очевидно, что Если не атомарна, то начинается либо с либо с Пусть начинается с символа Тогда где – формула. Так как – начало то также начинается с поэтому где – формула. Очевидно, – начало Значит, по предположению индукции Отсюда следует, что

Наконец, разберём случай, когда начинается с левой скобки. Тогда где – один из символов а и – формулы. Так как – начало то также начинается с левой скобки, а значит, где а и – формулы. Так как – начало то либо – начало либо – начало В обоих случаях по предположению индукции получаем Но тогда и Отсюда следует, что

Теорема 1. Всякая неатомарная формула единственным образом представима в одном из следующих видов: где и – формулы.

Доказательство. Существование такого представления следует из определения формулы. Надо лишь доказать единственность. Понятно, что если представима в виде то её нельзя представить в виде и надо лишь применить предположение индукции к формуле Пусть представима в виде неоднозначно. Тогда Одна из формул является началом другой. Значит, по лемме 1 Но тогда и Это доказывает единственность.

Следствие. Пусть – формула ИВ. Тогда с каждым вхождением символа или символа в эту формулу однозначно связывается вхождение в подформулы, начинающейся с этого символа.

Доказательство. Действительно, если в есть символ то при построении формулы ранее была построена формула начинающаяся с этого символа, причём – тоже формула. Формула как раз и является подформулой, начинающейся с данного вхождения символа Единственность следует из леммы 1. Аналогично разбираются случаи вхождения в символа (.

Теорема 2. Пусть – формула, а и – вхождения в каких-либо подформул. Тогда либо и не пересекаются, либо одно из них является подсловом другого.

Доказательство. Пусть и пересекаются. Тогда либо первый символ из входит в либо наоборот (читателю предлагается в этом месте сделать рисунок). Пусть, например, первый символ из входит в Если атомарно, то – подслово слова если начинается с то по следствию из теоремы 1 в есть подформула начинающаяся с этого символа. По лемме 1 совпадает с Тогда – подслово слова Аналогично разбирается случай, когда начинается с (.

Из теоремы 1 следует, что существует алгоритм, определяющий по слову, записанному в алфавите ИВ, является ли оно формулой.

Замечание. Если в определении формулы опустить внешние скобки, т.е. считать формулами, то наши утверждения перестанут быть верными. Например, неверна будет теорема 1, так как выражение является в новом смысле формулой, но представимо в виде неоднозначно. Можно, правда, вместо внешних скобок ввести внутренние, т.е. для формул и считать формулами однозначность в этом случае будет восстановлена.

В дальнейшем мы часто будем использовать неформальный подход и внешние скобки опускать, считая формулами, а точнее – краткими записями формул Эти сокращённые обозначения предназначены лишь для облегчения записи формул и недопустимы в формальной теории.

Отметим ещё возможность бесскобочной записи. Действительно, если вместо писать вместо – и вместо – то скобки не нужны вовсе. Приведём примеры перехода от записи со скобками к бесскобочной записи: – – В арифметических выражениях также возможна бесскобочная запись: