Глава 3
Теория моделей
3.1. Аксиоматика натуральных и действительных чисел Аксиомы Пеано натуральных чисел
Множеством
натуральных чисел мы будем называть
любое множество
на котором определена операция следования
(элемент
интерпретируется как элемент множества
непосредственно следующий за элементом
и выполняется ряд аксиом (аксиомы
Пеано). Для простоты мы будем пока
равенство
понимать как совпадение элементов
и
(не описывать аксиоматически отношение
равенства).
Аксиомы Пеано:
(П1)
(аксиома наличия наименьшего элемента);
(П2)
(П3) (аксиома
индукции). Пусть
– подмножество множества
такое, что выполняются условия:
(а)
(б)
Тогда
Определим сложение
двух натуральных чисел. Пусть
Положим:
при
(индуктивное определение). Ввиду
аксиомы индукции мы можем считать, что
определено для всех
Докажем свойство
коммутативности натуральных чисел,
т.е. что
Для этого нам понадобятся две леммы.
Лемма 1.
Доказательство
проведём индукцией по
При
утверждение очевидно. Пусть
докажем, что
Имеем:
Лемма 2.
для любых
Доказательство.
Индукция по
При
получаем:
Пусть
при всех
и некотором
Докажем, что то же верно для
Имеем:
что и требовалось.
Теорема 1.
при всех
Доказательство.
Индукция по
При
утверждение следует из леммы 1. Пусть
при всех
и некотором
Докажем, что то же верно для
Имеем (с учётом предположения индукции
и леммы 2):
Теорема доказана.
Аналогично доказывается закон ассоциативности
На множестве
натуральных чисел можно определить
отношение порядка:
а также операцию умножения:
С помощью аксиом Пеано можно доказать
законы ассоциативности
и коммутативности
умножения, а также закон
дистрибутивности
Доказываются также свойства неравенств:
и многие другие. Тем самым аксиомы Пеано
позволяют построить строгую и стройную
теорию натуральных чисел.
Заметим, что любое
множество (независимо от его природы)
мы называем множеством натуральных
чисел, если оно удовлетворяет аксиомам
Пеано. Образно говоря, если бы множество
стульев удовлетворяло аксиомам Пеано,
мы стулья называли бы натуральными
числами. Не следует ли отсюда, что
множество натуральных чисел не одно, а
таких множеств огромное количество?
Вообще говоря, следует, но не надо этого
бояться. Ниже мы докажем, что любые два
“множества натуральных чисел” (т.е.
два множества А и В, удовлетворяющие
аксиомам Пеано) изоморфны друг другу,
т.е. существует взаимно однозначное
соответствие
сохраняющее операцию следования:
Значит, множество натуральных чисел
единственно с точностью до изоморфизма.
Для других аксиоматических систем
ситуация может быть совсем иной. Например,
аксиомы группы не определяют объект
однозначно с точностью до изоморфизма.
В самом деле, две неизоморфные группы
удовлетворяют аксиомам группы
(ассоциативность, наличие единицы,
наличие обратного элемента).
Теорема 2. Любые два множества А и В, удовлетворяющие аксиомам (П1) – (П3), изоморфны друг другу.
Доказательство.
Ввиду аксиомы (П1) в А есть наименьший
элемент
а в В – наименьший элемент
Построим индуктивно отображение
Положим
и вообще, если
то положим
По аксиоме (П3)
продолжается до всего А и
По аксиоме (П2)
взаимно однозначно. Равенство
следует из определения отображения
