Задачи для самостоятельного решения

1. Используя аксиомы Пеано, доказать, что для любых натуральных чисел справедливы равенства

2. Пользуясь аксиомами действительных чисел, доказать их свойство плотности: для любых если то существует такое что

3. Доказать, что для любого действительного числа существует натуральное число такое, что

3.2. Основные понятия теории моделей

Напомним определения операций и отношений на множестве, а именно: п-арной операцией на множестве называется отображение При мы получаем понятие бинарной операции (например, сложение и умножение действительных или натуральных чисел являются бинарными операциями). При операция называется унарной. Примерами унарных операций могут служить: а) операция взятия обратного элемента в группе, б) операция транспонирования матриц, в) операция умножения вектора на фиксированный скаляр, г) комплексное сопряжение При мы получаем нуль-арную операцию, которая заключается в выделении в множестве некоторого элемента.

п-арным отношением на называется отображение п-арное отношение иначе называют п-арным (или п-местным) предикатом. Двуместный предикат – это бинарное отношение (к числу которых относятся =, и т.д.). Одноместный предикат – это свойство элементов множества (если мы говорим, что элемент обладает данным свойством, а при – не обладает). Нульместный предикат – это просто истина 1 или ложь 0 – он не зависит от элементов множества

Вообще говоря, понятие операции является в некотором смысле излишним и может быть выражено через понятие отношения. Например, бинарная операция “+” на множестве вполне определяется тернарным отношением В общем случае п-арную операцию можно заменить -арным отношением причём Однако замену операции отношением обычно не производят, так как операция является привычным и удобным математическим понятием.

Сигнатурой называется пара где – набор символов операций – символ -арной операции), – набор символов отношений – символ -арного отношения).

Примеры сигнатур:

1. Группу можно рассматривать в сигнатуре (один символ бинарной операции – умножения и ни одного символа отношений) или в сигнатуре (один символ бинарной операции – умножения и один символ унарной операции – взятия обратного).

2. Кольцо обычно рассматривают в сигнатуре иногда в сигнатуре (0 – символ нульарной операции – взятия нуля). Кольцо с единицей иногда рассматривают в сигнатуре иногда в сигнатуре

3. – обычная сигнатура для упорядоченной группы (здесь

4. – сигнатура частично упорядоченного множества (здесь Ф

5. В предыдущем разделе мы рассматривали множество натуральных чисел в сигнатуре (штрих обозначает унарную операцию – взятие следующего элемента).

Замечание. Следует различать п-арную операцию и символ п-арной операции. Символ – это не сама операция, а только значок для неё. При этом, если сказано, что – символ п-арной операции, то нельзя вместо подставлять k-арную операцию при Такое же согласование должно быть между символом отношения и самим отношением.

Пусть – сигнатура. Моделью сигнатуры называется множество такое, что каждому символу операции поставлена в соответствие операция той же арности на множестве и каждому символу отношения поставлено в соответствие отношение той же арности на множестве Операцию мы будем обозначать той же буквой, что и символ операции, а отношение – так же, как символ отношения. Множество мы будем называть носителем модели.

Примеры моделей:

1. Если задана сигнатура где – символ бинарной операции, то моделью этой сигнатуры будет любое множество на котором задана одна бинарная операция. Такое множество называется группоидом. Если эта операция ассоциативна (т.е. то – полугруппа. Если удовлетворяет аксиомам группы (ассоциативность, существование единицы, существование обратного элемента), то – группа.

2. Рассмотрим модель с двумя бинарными операциями. Среди таких моделей выделяются кольца, поля, тела и т.д. Интересно отметить, что эти классы моделей так же, как в предыдущем примере класс полугрупп и класс групп, определяются каким-либо списком аксиом.

3. Частично упорядоченное множество определяется как модель где – символ бинарного отношения, удовлетворяющий следующим аксиомам:

1) (рефлексивность), 2) (транзитивность), 3) (антисимметричность). Если кроме этих аксиом выполняется аксиома 4) (дихотомичность), то называется линейно упорядоченным множеством, или цепью.

Термы и формулы логики первого порядка,

язык узкого исчисления предикатов

Пусть задана сигнатура т.е. множество символов операций и множество символов отношений. Язык логики первого порядка (другое название: язык узкого исчисления предикатов (УИП)) содержит следующие символы:

1. символы из множеств и

2. алфавит предметных переменных; их мы будем, как правило, обозначать маленькими латинскими буквами (преимущественно из второй половины алфавита) с индексами или без них, т.е. алфавит как правило, будет предполагаться счётным;

3. логические связки:

4. служебные символы: “,”, “(”, “)” (запятая, левая и правая скобки).

Терм определяется индуктивно:

1. предметная переменная – терм;

2. если – термы и – символ п-арной операции, то – терм.

Приведём примеры термов. Чтобы сделать обозначения более привычными, мы будем несколько отклоняться от предыдущего определения и термы записывать в виде

Примеры термов:

1. Для сигнатуры следующие выражения являются термами: Последний терм мы будем писать в сокращённом виде: а если имеет место ассоциативность умножения, то можно записать

2. В сигнатуре можно записать термы

3. Если – символ тернарной операции, а – унарной, то – термы.

Формула логики первого порядка сигнатуры определяется индуктивно:

1. если – термы сигнатуры и – символ п-местного отношения, то – формула (такие формулы называются атомарными);

2. если и – формулы, то – формулы;

3. если – формула и – предметная переменная, то и – формулы.

Отметим, что так же, как и в исчислении высказываний, для облегчения восприятия формул мы часто в выражениях вида внешние скобки будем опускать.

Примеры формул:

1. В сигнатуре формулами УИП являются слова:

2. В сигнатуре где точка обозначает символ бинарной операции, а = и – соответственно символы бинарного и тернарного отношений, примерами формул являются:

Связанная переменная формулы – это переменная которая связана квантором, т.е. в формуле есть подслово или Переменные, входящие в формулу, но не связанные кванторами, называются свободными. Формула называется замкнутой, если она не содержит свободных переменных. Замкнутую формулу можно назвать высказыванием. Незамкнутые формулы являются предикатами Разумеется, и незамкнутые формулы являются предикатами, но эти предикаты нульместные. Приведём примеры. – замкнутая формула, а – незамкнутая, её можно рассматривать как предикат от переменных и (здесь означает равенство по определению). Легко видеть, что всякая формула УИП является предикатом от своих свободных переменных.

Пусть – модель, где – носитель, – сигнатура и – формула УИП со свободными переменными Истинность или ложность этой формулы зависит от того, какие значения мы придадим переменным Назовём оценкой отображение (смысл её состоит в том, что мы каждой предметной переменной присваиваем какое-то значение из множества Определим значение истинности формулы на оценке Истину мы будем обозначать буквой И, а ложь – буквой Л. Определение построим индукцией по длине формулы. Положим ... ,

1. если – атомарная формула, где – термы, то в том и только в том случае, если

2. если имеет вид или то истинность или ложность высказывания определяется по обычным правилам;

3. если то в том и только том случае, если при всех

4. если то в том и только том случае, если при каком-нибудь

3. Выразимые и невыразимые предикаты.