Элиминация кванторов Выразимость предикатов

Пусть – модель (где– носитель,– сигнатура),–п-местный предикат на множествеМы будем говорить, что предикат выразимв данной модели, если существует формулалогики первого порядка такая, что

Рассмотрим в качестве примера модель где– множество натуральных чисел, дополненное нулём, равенство “=” понимается как совпадение элементов, а– функция следования, т.е.Как выразить в этой модели предикатыОтвет очевиден: первый предикат можно выразить формулойа второй – формулойКонечно, не все предикаты в этой модели являются выразимыми, хотя бы потому, что всех формул сигнатурысчётное число (если алфавит предметных переменных счётный), а все предикаты на множествеобразуют континуальное множество.

Приведём теперь примеры невыразимых предикатов. Простейшим примером служит предикат в моделиДействительно, интуитивно ясно, что если в сигнатуре нет арифметических операций, то все элементы множестваравноправны и отличить число 0 от других чисел невозможно. Разумеется, эти рассуждения не доказывают невыразимость предикатаПриведём строгое доказательство этого факта. Докажем индукцией по длине формулы, что истинность или ложность формулы не изменится, если значения всех предметных переменных увеличить на 1. Это очевидно для атомарных формул, так как они имеют видилиПредположим, что истинность или ложность формулине изменяется при увеличении значений свободных переменных на 1. Понятно, что то же будет верно для формулиЕсли формулаимеет види она истинна на наборето для любогоформулаистинна. По предположению индукцииистинна. Так какпроизвольно, тоистинна. Аналогично рассматривается случай, когдаимеет видИтак, мы доказали, что истинность или ложность формулы вне изменяется при сдвигеЕсли бы предикатбыл выразим, то его истинность совпадала бы с истинностью предикатаа это не так. Значит, предикатнельзя выразить формулой в

Приведённый выше метод доказательства невыразимости предиката называется методом автоморфизмов.Автоморфизмоммоделиназывается взаимно однозначное отображениесохраняющее значения истинности всех формул. В предыдущем примере автоморфизмом было отображение

Элиминация кванторов

Две формулы УИП мы будем называть эквивалентными, если они имеют один и тот же набор свободных переменных и значения истинности этих формул будут одинаковы, какие бы значения из множествамы ни придали свободным переменным.

Оказывается, в некоторых моделях для всякой формулы УИП, содержащей кванторы, существует эквивалентная ей формула без кванторов.В этом случае мы будем говорить, что модельдопускает элиминацию кванторов.

Теорема.. Модельгде = – отношение равенства,– унарная операция и 0 – нульарная операция, допускает элиминацию кванторов.

Доказательство. Индукция по количеству кванторов в формуле. От кванторав любой формуле можно избавиться, заменив формулуна эквивалентную ей формулуТаким образом, нам достаточно доказать, что формулагдене содержит кванторов, имеет эквивалентную ей бескванторную формулу. Формулаполучается из атомарных формул с помощью логических связок. Атомарные формулы, содержащие переменнуюимеют вид

или

или

Формула первого типа либо тождественно истинна, либо тождественно ложна, поэтому её можно заменить на эквивалентную формулу, не содержащую илиФормулы второго и третьего типов можно кратко записать в видегдеили(– константа, не обязательно положительная),

Рассмотрим формулу

Очевидно, что если формула истинна на каком-либо наборето формулатакже истинна на этом наборе. Обратное в общем случае неверно, так какможет быть сделана истинной, когдадля некоторогоотличного от всехНо тогда все атомарные формулыложны. Заменим каждую из этих формул на какую-нибудь тождественно ложную формулу и обозначим полученную формулу черезТогда формулабудет эквивалентна формуле

Напомним, что теория называется разрешимой, если существует алгоритм, который для каждой замкнутой формулы определяет, истинна она или ложна. Выведем из только что доказанной теоремы разрешимость теории целых чисел с отношением равенства =, функцией следованияи выделенным нулевым элементом 0, т.е. что истинность или ложность формул моделиможет быть установлена алгоритмически. Действительно, как видно из доказательства теоремы, процесс избавления от кванторов, т.е. построение формулыпо формулеалгоритмизуем. Далее, выяснение, является атомарная формула истинной или ложной, также является механической процедурой. И, наконец, зная значения истинности атомарных формул, установить, истинна или ложна формула, составленная из них с помощью логических связок– также является автоматическим процессом, заключающимся в применении таблиц истинности логических связок. Итак, с помощью машины Тьюринга или реальной ЭВМ можно определить, истинна или ложна формула модели