Аксиоматика действительных чисел
Множество
действительных чисел мы будем рассматривать
как множество, на котором определены
операция сложения
умножения
отношение порядка
и выполняются аксиомы:
(аксиома Архимеда). Каковы бы ни были действительные числа
существует натуральное число
такое, что
(аксиома непрерывности). Если
– непустые подмножества множества
действительных чисел и
при всех
то существует действительное число
такое, что
(т.е.
при
Как видно, по форме
построения аксиомы (16) и (17) отличаются
от других аксиом. Правда, аксиому Архимеда
можно переписать так:
а аксиома непрерывности переписывается
так:
R
Но, в отличие от аксиом (1) – (15), не все кванторы имеют областью определения множество действительных чисел: в аксиоме Архимеда квантор действует на натуральные числа, а в аксиоме непрерывности – на подмножества. Мы будем говорить, что аксиомы (1) – (15) являются формулами логики первого порядка, а аксиомы (16), (17) таковыми не являются (точные определения будут даны в следующем разделе).
В курсе математического анализа доказывается, что аксиома непрерывности эквивалентна принципу вложенных отрезков, а также теореме о существовании точной верхней грани непустого ограниченного множества. Следовательно, аксиома (17) может быть заменена на одно из этих утверждений.
Отметим, что
множество действительных чисел
определяется аксиомами (1) – (17) однозначно
с точностью до изоморфизма. Однако
доказывать это утверждение мы не будем.
Аксиом (1) – (16) для определения множества
недостаточно, так как этим аксиомам
удовлетворяет также множество
рациональных чисел. Кроме того, данное
рассуждение показывает независимость
аксиомы (17) от предыдущих аксиом.
Примеры решения задач
Доказать, используя аксиомы Пеано, что
для любых натуральных чисел
Доказательство.
Индукция по
При
имеем:
Пусть теперь
Тогда
Утверждение
доказано.
Доказать, что
для любых натуральных чисел
Доказательство.
Индукция по
При
утверждение очевидно. Пусть
Тогда
Используя аксиомы действительных чисел, доказать, что
для любого действительного числа
Доказательство.
По аксиоме (9)
Пусть
– число, противоположное
(оно существует по аксиоме (3)). Тогда
По аксиомам (4) и (1) получаем:
т.е.
Используя аксиомы действительных чисел, доказать, что
Доказательство.
Предположим, что соотношение
неверно. По аксиоме (6)
Значит,
по аксиоме (13)
Пусть
(т.е.
– элемент, противоположный элементу 1
и существующий по аксиоме (3)). Тогда
Прибавим к обеим частям неравенства
число
(здесь мы используем аксиомы (14), (2), (4) и
легко доказываемое утверждение
Отсюда
(интересный результат:
Умножим на
(используя аксиому (15)):
Докажем теперь
вспомогательное утверждение о том, что
Действительно, так как
то
т.е.
Прибавим 1:
Воспользуемся аксиомой (1):
Ранее было доказано,
что
Следовательно,
Мы получили противоречие с предположением.
Утверждение доказано.