3.4. Ультрапроизведение моделей. Теорема Лося Ультрафильтры

Фильтромна множественазывается совокупностьподмножеств множестваобладающая свойствами:

1. 

2. (2)

3. 

Примеры фильтров:

1. Пусть Тогда– фильтр. Он называется фильтром, порождённым множеством

2. Пусть Тогда– фильтр. Он называетсяглавным фильтром, порождённым элементом

3. Пусть – бесконечное множество и– множество такихчтоТогда– фильтр.

Пусть – совокупность подмножеств множестваОна называетсяцентрированной системой подмножеств (иногда говорят:обладает свойством конечных пересечений), если пересечение любого конечного числа множеств изнепусто, т.е.

Теорема 1. Всякая центрированная система подмножеств вкладывается в фильтр.

Доказательство. Пусть– центрированная система подмножеств множестваОбозначим черезсовокупность таких подмножествмножествачтодля некоторыхПроверим, что– фильтр. Из определения системыследует, чтопри всехЗначит,ПустьиТак какпри некоторыхто такжеЗначит,Наконец, пустьТогдапри некоторыхСледовательно,а значит,F.

Фильтр на множественазываетсяультрафильтром, если он максимальный по включению, т.е. для любого фильтра

Теорема 2. Всякий фильтр вкладывается в ультрафильтр.

Доказательство. Пусть– фильтр на множествеОбозначим черезчастично упорядоченное по включению множество всех фильтровна множествеДокажем, что вкаждая цепь имеет верхнюю границу. Действительно, пусть– цепь фильтров. ПоложимДокажем, что– тоже фильтр. Так какни при какомтоДалее, пустьиТогдапри некоторомТак как– фильтр, тоСледовательно,Наконец, пустьТогдапри некоторыхТак как– цепь, то либолибоПусть, например,ТогдаТак как– фильтр, тоОтсюда получаем:Итак,– фильтр, который, очевидно, является верхней границей цепиПо лемме Цорна в множествеесть хотя бы один максимальный элементЭто и будет ультрафильтр, содержащий фильтр

Теорема 3. Фильтрна множествеявляется ультрафильтром в том и только том случае, если для любоголиболибо

Доказательство.Необходимость. Пусть– ультрафильтр итаково, чтоДокажем, чтоПредположим, чтоРассмотрим следующую совокупность подмножеств множестваДокажем, что– центрированная система. Пусть... ,(при этомТак как– фильтр, тоНам надо доказать, чтоПредположим, чтоТогдаСледовательно,а это противоречит предположению. Итак,– центрированная система. По теореме 1 существует фильтртакой, чтоПустьТогдапоэтомуа значит,F. Итак,Кроме того,а это означает, чтоне максимальный. Мы получили противоречие.

Достаточность. Пусть– фильтр со свойством:илиДокажем, что– ультрафильтр. Пусть– такой фильтр, чтоНадо доказать, чтоПустьТак кактоа значит,Так какитот.е.а это противоречит тому факту, что– фильтр. Теорема доказана.

Тривиальным примером ультрафильтра является главный фильтрFгде– фиксированный элемент изОднако больший интерес представляют ультрафильтры, не являющиеся главными. Их существование, как показывает теорема 2, следует из леммы Цорна. Никому ещё не удалось построить ультрафильтр, не являющийся главным.

Ультрапроизведение моделей

Пусть – совокупность моделей одной и той же сигнатурыгде– множество символов операций, а– множество символов отношений. Рассмотрим вначалепрямое произведение множествОбозначается оноа определяется как множество наборов(краткое обозначение:гдепри каждом(Если множествоконечно, скажем,то– это множество троекгдеНа множествелегко ввести операции иза именно: если– символп-арной операции, то положим

т.е. определим операции покомпонентно.

Намного хуже дело обстоит с определением отношений на множестве Пусть– символт-арного отношения. Первое, что приходит в голову, – это сказать, чтотогда и только тогда, когдадля всехНапример, так определялось отношение порядкана прямом произведении частично упорядоченных множеств

Тогда действительно становится моделью той же сигнатурыоднако эта модель, в отличие от той, которая будет построена позднее, не обладает замечательным свойством, которое хотелось бы иметь. Нам хотелось бы, чтобы с моделейна модельпереносились свойства, выразимые на языке логики первого порядка. Для обычного прямого произведения это не так. Хотя прямое произведение групп – это группа, прямое произведение колец – кольцо, но прямое произведение полей не является полем, хотя поле задаётся девятью аксиомами УИП, прямое произведение линейно упорядоченных множеств частично упорядочено, но не является в общем случае линейно упорядоченным, хотя линейная упорядоченность задаётся одной аксиомой логики первого порядка:Исправить эту ситуацию нам поможет ультрапроизведение.

Пусть – ультрафильтр на множествеи– совокупность моделей одной сигнатурыВведём на произведенииотношение ~, положивПроверим, что ~ является отношением эквивалентности. Имеем: так какзначит, ~ рефлексивно. Симметричность отношения ~ очевидна. Докажем теперь его транзитивность. ПустьиТогдаиЕслитоиоткудаСледовательно,а значит,Таким образом, отношение ~ транзитивно и потому является отношением эквивалентности.

Множество отношением ~ разбивается на классы эквивалентности. Множество классов эквивалентности мы будем обозначатьи называтьультрапроизведением. Класс эквивалентности, в котором лежит элементмы будем обозначатьЧтобы превратитьв модель сигнатурынам надо определить на этом множестве функциии предикаты

Пусть –п-арная функция. Положим

Надо доказать корректность этого определения, т.е. независимость значения функции от выбора представителей классов. А именно, надо показать, что если . . . ,то~ПоложимПо условиюНо тогдаДля каждогомы имеем:=Следовательно,~

Теперь рассмотрим т-арный предикатБудем считать, чтов том и только том случае, еслиДокажем корректность этого определения, т.е. независимость от выбора представителей. Пусть. . . ,ПоложимТак кактоПустьЕслитоДля элементоввыполнены равенстваиЗначит,прии поэтому

Большое значение ультрапроизведений в теории моделей объясняется тем, что, в отличие от обычного прямого произведения, ультрапроизведение сохраняет утверждения, выраженные формулами логики первого порядка.

Следующая важная теорема принадлежит польскому математику Лосю.

Теорема 4. Пусть– ультрапроизведение моделейодной и той же сигнатурыФормуладанной сигнатуры истинна на наборев том и только в том случае, если

Доказательство. Избавимся в формулеот связокии кванторапользуясь эквивалентностямиДальнейшее доказательство проведём индукцией по длине формулыпонимая под длиной количество связоки квантороввходящих в формулу.

Пусть – атомарная формула, то есть

где –п-местный предикат, а– термы. Выясним, когда формулаистинна на наборе. . . ,Это будет в том и только в том случае, если

что и требовалось доказать.

Пусть теперь =Тогда

(по предположению индукции) (по теореме 3)что и требовалось доказать.

Если то=ПустьиПо предположению индукциии аналогично дляЗначит,

Осталось рассмотреть случай, когда Имеем:в том и только в том случае, еслипри некоторомЗафиксируем наборПусть выполнено

Тогда по предположению индукции

Положим Из вида формулыследует, чтоТак както

Наоборот, пусть Тогда длянайдём такоечтоДляв качествевозьмём любые элементы. ПустьТогда Так кактоСледовательно, выполнено

Следствие. Если формуладля каждогоистинна на наборев моделитоистинна вна наборе

Замечание. Как мы видели выше, прямое произведение полей не является полем, прямое произведение линейно упорядоченных множеств не обязано быть линейно упорядоченным. Однако по теореме Лося ультрапроизведение полей является полем (так как поле задаётся девятью аксиомами логики первого порядка), а ультрапроизведение линейно упорядоченных множеств линейно упорядочено (линейная упорядоченность определяется четырьмя аксиомами УИП).