3.4. Ультрапроизведение моделей. Теорема Лося Ультрафильтры

Фильтром на множестве называется совокупность подмножеств множества обладающая свойствами:

1. 

2. (2)

3. 

Примеры фильтров:

1. Пусть Тогда – фильтр. Он называется фильтром, порождённым множеством

2. Пусть Тогда – фильтр. Он называется главным фильтром, порождённым элементом

3. Пусть – бесконечное множество и – множество таких что Тогда – фильтр.

Пусть – совокупность подмножеств множества Она называется центрированной системой подмножеств (иногда говорят: обладает свойством конечных пересечений), если пересечение любого конечного числа множеств из непусто, т.е.

Теорема 1. Всякая центрированная система подмножеств вкладывается в фильтр.

Доказательство. Пусть – центрированная система подмножеств множества Обозначим через совокупность таких подмножеств множества что для некоторых Проверим, что – фильтр. Из определения системы следует, что при всех Значит, Пусть и Так как при некоторых то также Значит, Наконец, пусть Тогда при некоторых Следовательно, а значит, F.

Фильтр на множестве называется ультрафильтром, если он максимальный по включению, т.е. для любого фильтра

Теорема 2. Всякий фильтр вкладывается в ультрафильтр.

Доказательство. Пусть – фильтр на множестве Обозначим через частично упорядоченное по включению множество всех фильтров на множестве Докажем, что в каждая цепь имеет верхнюю границу. Действительно, пусть – цепь фильтров. Положим Докажем, что – тоже фильтр. Так как ни при каком то Далее, пусть и Тогда при некотором Так как – фильтр, то Следовательно, Наконец, пусть Тогда при некоторых Так как – цепь, то либо либо Пусть, например, Тогда Так как – фильтр, то Отсюда получаем: Итак, – фильтр, который, очевидно, является верхней границей цепи По лемме Цорна в множестве есть хотя бы один максимальный элемент Это и будет ультрафильтр, содержащий фильтр

Теорема 3. Фильтр на множестве является ультрафильтром в том и только том случае, если для любого либо либо

Доказательство. Необходимость. Пусть – ультрафильтр и таково, что Докажем, что Предположим, что Рассмотрим следующую совокупность подмножеств множества Докажем, что – центрированная система. Пусть ... , (при этом Так как – фильтр, то Нам надо доказать, что Предположим, что Тогда Следовательно, а это противоречит предположению. Итак, – центрированная система. По теореме 1 существует фильтр такой, что Пусть Тогда поэтому а значит, F. Итак, Кроме того, а это означает, что не максимальный. Мы получили противоречие.

Достаточность. Пусть – фильтр со свойством: или Докажем, что – ультрафильтр. Пусть – такой фильтр, что Надо доказать, что Пусть Так как то а значит, Так как и то т.е. а это противоречит тому факту, что – фильтр. Теорема доказана.

Тривиальным примером ультрафильтра является главный фильтр F где – фиксированный элемент из Однако больший интерес представляют ультрафильтры, не являющиеся главными. Их существование, как показывает теорема 2, следует из леммы Цорна. Никому ещё не удалось построить ультрафильтр, не являющийся главным.