Примеры решения задач

1. Установить непосредственно (без применения теоремы Шрёдера – Бернштейна) взаимно однозначное соответствие между отрезком и интервалом

Решение. Возьмём какую-нибудь последовательность, содержащую точки 0 и 1, например,Пустьи т.д. Очевидно,Рассмотрим отображениеопределённое правиломНетрудно видеть, что– взаимно однозначное отображение отрезкана интервал

2. Написать какую-нибудь формулу, задающую взаимно однозначное соответствие между множествами и

Решение.Отображениекоторое необходимо построить, устроено так:и т.д. Теперь нетрудно придумать формулу:гдеобозначает целую часть числа

3. Доказать, что если – конечная мощность, то

Доказательство.поэтомуДалее,поэтому

4. Доказать, что множество рациональных чисел счётно.

Доказательство. Так както существует вложениевВвиду теоремы Шрёдера – Бернштейна достаточно теперь построить вложениевили вообщев какое-либо счётное множество. Выберем для каждогопредставление в видегде и дробьнесократима. Тогда отображениебудет вложениемвт.е. в счётное множество.

5. Найти мощность множества всех возрастающих последовательностей натуральных чисел.

Решение. Пусть– множество всех возрастающих последовательностейнатуральных чисел. Каждой такой последовательности поставим в соответствие последовательностьиз нулей и единиц. Мощность множества всех последовательностей из 0 и 1 равна мощности множества всех подмножеств множестват.е. равнаЗначит,Наоборот, если дана последовательностьиз 0 и 1, поставим ей в соответствие возрастающую последовательность натуральных чисел... Это отображение является вложением, поэтомуПо теореме Шрёдера – Бернштейна

6. Найти мощность множества всех отображений

Решение.Следовательно,

Ответ: мощность равна

Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть – счётное множество,В– множество мощности континуума. Какую мощность может иметь множество: а)б)в)г)д)е)

Ответ: а)б)конечно или счётно, в)г)д)е)

2. Найти мощность множества всех:

а) многочленов с целыми коэффициентами;

б) многочленов с действительными коэффициентами;

в) степенных рядов с рациональными коэффициентами.

Ответ:а)б)в)

3. Сколько всего отношений эквивалентности:

а) на счётном множестве;

б) на множестве мощности континуума?

Ответ: а) б)

4. Сколько всего открытых множеств на плоскости

Ответ:

5. Сколько всего непрерывных функций

Ответ:

6. Найти мощность:

а) множества всех подмножеств множества

б) множества всех конечных подмножеств множества

в) множества всех счётных подмножеств множества

Ответ: а) б)в)

7. Сколько всего подпространств имеет п-мерное линейное пространство над полем

Ответ:

8. Сколько непересекающихся кругов можно расположить на плоскости?

Ответ:

2.2. Аксиома выбора, лемма Цорна, теорема Цермело

Одной из аксиом аксиоматической системы Цермело – Френкеля является аксиома выбора. Фактически мы ею уже пользовались, например, когда доказывали, что всякое бесконечное множество имеет счётное подмножество. Дадим точную формулировку этой аксиомы.

Аксиома выбора

Если – непустое множество, то в каждом его непустом подмножестве можно выбрать по одному элементу. Иными словами, существуетфункция выборатакая, чтопри любом непустом

Замечание. Хотя аксиома выбора кажется интуитивно очевидной, не все математики её принимают. В частности,интуиционисты иконструктивистыеё отвергают за неконструктивный характер (в самом деле, аксиома утверждает, что можно выбрать по одному элементу, но как это сделать, она не говорит).