Свойства эквивалентности множеств:

1)

2. если то

3. если а то

Доказательство. 1) тождественное отображение является взаимно однозначным; 2) если взаимно однозначно, то – тоже; 3) если и – взаимно однозначные отображения, то ( – взаимно однозначное отображение.

Замечание. Нельзя назвать эквивалентность множеств отношением эквивалентности, потому что непонятно, на каком множестве рассматривается это отношение (такого понятия, как “множество всех множеств”, не существует).

Мощностью множества А называется совокупность всех множеств, эквивалентных множеству А. Мощность множества А обозначается

Теперь нам надо научиться сравнивать множества по мощности.

Говорят, что мощность множества не превосходит мощности множества (записываем: если существует вложение множества в множество Если существует вложение в но не существует взаимно однозначного отображения на то мы говорим, что мощность множества строго меньше мощности множества и пишем

Очевидны следующие свойства:

1. 

2. 

Гораздо менее очевидным является свойство, называемое теоремой Шрёдера – Бернштейна:

Теорема 1 (теорема Шрёдера – Бернштейна). Если существуют вложения и то существует взаимно однозначное отображение

Доказательство. Положим Пусть и вообще Мы имеем:

(1)

где

(2)

где Очевидно, взаимно однозначно отображает на поэтому существует также взаимно однозначное. Проверим, что взаимно однозначно отображает на Действительно, пусть Так как то Следовательно, Пусть Так как и то для некоторого Это равенство выполнено для каждого натурального Если и то (ввиду того, что – вложение) Следовательно, Таким образом, взаимно однозначно. Кроме того, взаимно однозначно отображает на на и т.д., а взаимно однозначно отображает на на и т.д. Пользуясь соотношениями (1) и (2), нетрудно убедиться в том, что отображение определённое правилом

является взаимно однозначным. Теорема доказана.

Эта теорема, наряду с теоретическим значением, имеет большое практическое значение: она позволяет доказывать эквивалентность множеств и не прибегая к построению взаимно однозначного отображения а строя лишь вложения и

Пример. Докажем, что отрезок и интервал равномощны.

Действительно, тождественное отображение является вложением в Далее, отрезок вкладывается в интервал а он взаимно однозначно отображается на интервал с помощью отображения Отсюда по теореме Шрёдера – Бернштейна получаем:

Итак, отношение обладает обычными свойствами частичного порядка (рефлексивность, транзитивность, антисимметричность). Возникает вопрос: любые ли два множества сравнимы по мощности? Другими словами, верно ли, что для любых множеств и хотя бы одно из них вкладывается в другое? Ответ здесь положительный: для любых множеств А и В имеет место хотя бы одно из следующих соотношений: но доказать это мы сможем лишь позже – в разделе 2.2.