Аксиоматика Цермело – Френкеля

Неопределяемые понятия в аксиоматике Цермело – Френкеля – это понятия множества и отношения и =.

Аксиома экстенсиональности (объёмности)

.

Другими словами, если множества состоят из одних и тех же элементов, то они равны.

Определим подмножество: Обозначение будет использоваться как краткая форма записи высказывания Аналогично этому будет обозначать

Аксиома пустого множества

.

Определённое таким образом множество называется пустым множеством и обозначается С помощью аксиомы можно доказать, что пустое множество единственно.

Аксиома неупорядоченной пары

.

Множество определённое данной аксиомой, называется неупорядоченной парой и обозначается Если то вместо мы пишем Упорядоченная пара определяется так: Аналогичным образом определяется тройка элементов: Нетрудно доказать, что

Пусть и – множества. Функцией (или отображением) называется множество упорядоченных пар где удовлетворяющее условиям:

Функция называется также семейством элементов, заиндексированных множеством (здесь – множество индексов, а элементы семейства принадлежат множеству В частности, отображение (где – множество натуральных чисел) можно назвать последовательностью элементов (элементы берутся из множества

Аксиома объединения

.

Здесь – множество, элементы которого являются элементами множеств, принадлежащих Если представить множество в виде то – объединение множеств, входящих в Допустима также запись Если то Пересечение определяется следующим образом:

Существование пересечения обосновывается аксиомой Мы пишем или просто

Аксиома бесконечности

.

Эта аксиома утверждает существование хотя бы одного бесконечного множества.

Введём ещё одно обозначение ( – равенство по определению):

Очевидно, знак обозначает “существует единственное...”

Аксиомы подстановки

.

где

Эта аксиома утверждает, что если при фиксированных формула однозначно определяет как функцию от то для любого множества совокупность всех значений функции на элементах из также образует множество. Отметим, что – это не одна аксиома, а бесконечная серия аксиом.

Аксиомы выделения

.

Это группа аксиом, позволяющих в любом множестве выделить подмножество, определяемое условием

Аксиома степени

.

Здесь постулируется существование множества всех подмножеств данного множества.

Аксиома выбора

Эта аксиома уже встречалась в разделе 2.2. Здесь мы её приведём в более сильной формулировке. Пусть – семейство множеств, занумерованных множеством и при всех Декартовым произведением называется отображение такое, что при всех Аксиома выбора утверждает, что если множество непусто и каждое непусто, то декартово произведение также непусто. Иными словами, в каждом множестве можно выбрать по одному элементу. Так как семейство множеств – это отображение то аксиому выбора можно записать так:

если то

Фраза “ является отображением ” расшифровывается так:

Если, пользуясь аксиомой расписать условие затем расписать и и, наконец, с помощью расписать равенства вида мы получим формулировку аксиомы выбора на языке логики предикатов.