Лекции / семестр4 / Лекции МП-2 (Альшина) / Pr14

§27. Основные понятия операционного исчисления.

Операционное исчисление - это аппарат интегральных преобразований, позволяющий заменить операции дифференцирования и интегрирования функции действительной переменной (известной или неизвестной, заданной или искомой) на алгебраические операции с параметрами интегральных преобразований.

Понятие преобразования Лапласа.

Класс рассматриваемых функций действительной переменной, называемых оригиналами f(t), определенные при -<t<, обладающие следующими свойствами

1) f(t)0, при t<0

2) f(t)- кусочно-непрерывна при t>0, т.е. для  конечного [a,b] f(t) имеет лишь конечное число разрывов I рода.

3)  M>0 и a'>0 : |f(t)|<Me^a't при t

Определение. Функция, удовлетворяющая условию 3) называется функцией ограниченной степени роста. inf a'=a - показатель степени роста.

Замечание. Требование кусочной гладкости избыточно и может быть ослаблено, например, до локальной интегрируемости и класс оригиналов тем самым может быть расширен (например может быть оригиналом), но для упрощения доказательств всех теорем будем требовать кусочной гладкости.

Класс А(а)- класс функций ограниченной степени роста.

Примеры 1. f(t)=tⁿ A(0), a=0, т.к. tⁿ<Me^a't для  a'>0.

2. f(t)=exp(2t²) А(а) для  a.

3. f(t)=sint exp(2t)  A(2)

Определение. Преобразованием Лапласа функции f(t) класса А(а) называется функция комплексной переменной F(p), определяемая соотношением . Если  F(p), то обозначают f(t)F(p) и говорят, что f(t)-оригинал, F(p)-изображение.

Для каких p  F(p) ?

Теорема 27.1 Если f(t)A(a), то F(p)  при Re p>a и в области Re px₀>a интеграл сходится равномерно по р.

Доказательство.

Возьмем для  x>a; Re p=x>a. Очевидно, |f(t)|<Me^at. Оценим

при Re p=x>a  F(p).

Существование доказано. Для доказательства равномерной сходимости интеграла по параметру р в области Re px₀>a можно воспользоваться достаточным мажорантным признаком Вейерштрасса.

Т.к. |f(t)|<Me^at, x₀>a, то всюду в области Re px₀>a, причем мажоранта не зависит от р. 

Каковы свойства F(p) – функции комплексного переменного?

Теорема 27.2. В области Rep>a (f(t)A(a)) F(p) C^(Re p>a).

Доказательство. Разобьем область t[0,) на произвольные отрезки конечной длины. Число отрезков бесконечно, длина каждого - конечна!

Функциональный ряд из аналитических функций (они аналитичны, т.к. производные по параметру p непрерывны) равномерно сходится к F(p) в силу равномерной сходимости интеграла при Re px₀>a. Такой ряд сходится к аналитической функции, более того его можно почленно интегрировать и дифференцировать под знаком интеграла по параметру p. В силу произвольности x₀

F(p) C^(Re p>a).

Замечание. Т.к. u^(k)_n(p) =>F^(k)(p) при Re px₀>a, то

§28. Свойства изображений.

Найдем изображения ряда элементарных функций про помощи определения.

1. Единичная функция Хевисайда -

, причем (t)А(0)  F(p)C^(Re p>0).

Замечание. Всюду в дальнейшем будем под функцией f(t) понимать произведение f(t)(t). Тем самым свойство 1) из определения оригинала будет автоматически выполнено.

2. Показательная функция

f(t)=e^t при Re p> Re  ;

3. Степенная функция

f(t)=t^;

Здесь введено стандартное обозначение - гамма-функция, часто встречающийся в различны областях математики несобственный интеграл, зависящий от параметра. Свойства гамма-функции хорошо изучены, в частности, для целочисленных значений параметра, она явно вычисляется , применяя n раз интегрирование по частям.

Т.о.

, а вместе с ней и образ степенной функции, существует для . Заметим, что при степенная функция не удовлетворяет свойству 2) в определении оригинала (при t0 терпит разрыв II рода). Тем ни менее преобразование Лапласа для нее существует, и весь аппарат операционного исчисления для нее работает. Это говорит лишь о том, что класс оригиналов может быть расширен.

t^А(0)  F(p)C^(Re p>0).

Следующие свойства изображения помогут находить преобразования Лапласа от более сложных функция, не прибегая к непосредственному интегрированию.

1. Линейность изображений имеет место в силу линейности интеграла

=F(p) при Re p> max a_i

Это свойство позволяет найти изображения тригонометрических функций.

Re p> |Im |

Re p> |Im |

a₀+a₁t+a₂t²+…a_ntⁿ

2. Подобие. Пусть при Re p>a, тогда,

Доказательство. Re p>a

3. Теорема запаздывания. Пусть при Re p>a, тогда запаздывающая функция

Доказательство.

Re p>a

Пример.

1)Изображение прямоугольного импульса.

2. Пилообразный импульс

3. Ступенчатый импульс

+….

4. Теорема смещения. Пусть при Re p>a, тогда помножение оригинала на экспоненту соответствует смещению аргумента изображения

Изображение существует при Re(p-)>a

Доказательство.

5. Изображение производной. Пусть f(t) и f'(t) удовлетворяют условию существования изображения. Пусть при Re p>a. Тогда .

Доказательство.

.

Аналогично, если удовлетворяет условиям существования изображения и при Re p>a. Тогда .

Формула особенно упрощается, если . Тогда .

Используя формулы изображения производных любое линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами сводится к алгебраическому уравнению для изображения.

6. Изображение интеграла.

Пусть при Re p>a. Тогда .

Доказательство.

7. Изображение свертки. Определение. Сверткой двух функций f₁(t) и f₂(t) называется

Справедливость последнего равенства легко проверить, сделав замену переменной интегрирования t-=t’.

Пусть при Re p>a₁ и при Re p>a₂. Тогда изображение их свертки равно произведению изображений

при Re p>max{a₁,a₂}.

(теорема Бореля о свертке)

Доказательство.

Сначала покажем, что свертка двух функций с ограниченными степенями роста так же является функцией с ограниченной степенью роста и может быть оригиналом изображения Лапласа.

Итак, и , тогда их свертка

Показатель степени роста свертки a=max{a₁,a₂} очевидно равен максимальной степени роста функций f₁(t) и f₂(t).

8. Интеграл Дюамеля.

Пусть при Re p>a₁ и при Re p>a₂. Тогда при Re p>max{a₁,a₂} верно соотношение

Доказательство.

.

9. Дифференцирование изображения.

Пусть при Re p>a. Тогда .

Доказательство.

9. Интегрирование изображения.

Пусть при Re p>a. Тогда .

Доказательство.

Полезно иметь перед глазами следующую таблицу изображений и их свойств. Она поможет и при нахождении изображений и при обращении преобразования Лапласа.

Оригинал	Изображение	Условия существования
		Re p>0
n>0		Re p>0
et		Re p> Re 
		Re p> |Im |
		Re p> |Im |
		Re p> Re 
		Re p> Re 

1. Линейность

2. Подобие ,

3. Теорема запаздывания

4. Теорема смещения

5. Изображение производной

6. Изображение интеграла

7. Дифференцирование изображения

8. Интегрирование изображения

9. Изображение свертки

10. Интеграл Дюамеля

Примеры: Найти изображения функций.

1. , (Re p>0)

2. , (Re p>-1)

4. , (Re p>0)

5. , (Re p>1)

6. , Re p>-1)

;

7. 

Найти оригиналы изображений.

8. 

9. 

10. 

11.