Лекции / семестр4 / Лекции МП-2 (Альшина) / Pr10
.doc§33. Разложение функции в интеграл Фурье.
Определение. Для кусочно-непрерывной, абсолютно интегрируемой на всей числовой прямой f(x) назовем предел
разложением функции f(x) в интеграл Фурье.
Такой “хитрый” предельный переход при симметричном стремлении пределов интегрирования к бесконечности приводит к “хитрому” несобственному интегралу, называемому несобственным интегралом в смысле главного значения (valeur principale) и обозначаемому
.
Очевидно, что если существует несобственный интеграл в обычном понимании (при произвольном стремлении верхнего и нижнего приделов к бесконечностям), то существует и интеграл в смысле главного значения. Обратное, вообще говоря, не верно, например - не существует, но существует его главное значение .
Возникает вопрос о существовании такого разложения и о его связи с самой функцией f(x). Ответ на этот вопрос дает
Теорема 33.1. Если f(x) кусочно-непрерывная, абсолютно интегрируемая на всей числовой, то в данной точке выполнено равенство
.
Т.о. разложение Фурье сходится к самой функции в точках ее непрерывности и к полусумме предельных значений в точках разрыва первого рода.
Доказательство.
Поскольку g() - непрерывная функция (по Лемме 1), то при любом конечном A>0
.
В силу равномерной по сходимости интеграла в квадратных скобках можно поменять порядок интегрирования.
.
Вспомнив представления для экспоненты по формуле Эйлера
.
Внутренний интеграл разобьем на два
и .
Тогда
.
Следовательно, при любом A>0
.
Поскольку
и ,
то
,
.
Вычитая полученные равенства, получим
Оценим каждый из интегралов в правой части при A. Оба интеграла, стоящие в одной строке оцениваются одинаково. Возьмем произвольное >0.
Для всех достаточно малых >0
при , тогда
при всех
-
Аналогично при всех
- кусочно непрерывная функция при и в силу Леммы Риммана , т.е. для выбранного нами >0 1: 1
-
Аналогично .
-
для всех , где
-
Аналогично
-
(как остаток сходящегося несобственного интеграла ), поэтому A2: при A>A2
Т.о. при A>max{A1, A2}
.
Что и доказывает теорему.
Итак, если доопределить функцию f(x) в точках разрыва полусуммой предельных значений, для абсолютно интегрируемой кусочно гладкой f(x)справедливо представление в виде в интеграла Фурье
, где
Замечания.
-
Эти два равенства хоть и похожи, но содержат принципиальные различия. Первый интеграл, вообще говоря, существует лишь в смысле главного значения, второй же является обычным несобственным интегралом. Второе равенство является определением функции g() (его не нужно доказывать), а в первом равенстве содержится утверждение, что интеграл равен исходной функции (доказательство необходимо).
-
Представление функции ее интегралом Фурье может быть записано разными способами. Например, заменой , получаем (как в задачнике Е-Д)
, где
-
Напомним, что функция удовлетворяет условию Дини, если
-
существуют оба односторонних предела
и
-
для какого-либо положительного оба интеграла
и
сходятся абсолютно.
Требование кусочной непрерывности в условии доказанной теоремы можно ослабить и заменить его условием Дини.
§33. Косинус- и синус -преобразования Фурье.
Для функции четной либо нечетной формулы преобразования Фурье упрощаются.
-
У четной функции f(x)=f(-x) – преобразование Фурье так же четная функция.
-
прямое косинус преобразование Фурье.
-
обратное косинус преобразование Фурье.
-
У нечетной функции f(x)=-f(-x) – преобразование Фурье так же нечетная функция.
,
прямое синус преобразование Фурье.
обратное синус преобразование Фурье.
Замечание. Синус- и косинус преобразования Фурье могут быть записаны разными способами. Например, заменой , получаем (как в задачнике Е-Д):
- прямое косинус преобразование Фурье. - обратное косинус преобразование Фурье. |
- прямое синус преобразование Фурье. - обратное косинус преобразование Фурье |
Примеры.
-
Представить интегралом Фурье >0.
Функция четная, поэтому
Т.о.
-
Представить интегралом Фурье финитную функцию
.
-
Разложить в интеграл Фурье
Сначала получим вспомогательную формулу
Т.о. .
Определение. Свертку Фурье определим для абсолютно-интегрируемых и кусочно-гладких функций f1(x) и f2(x) как
.
Теорема о преобразовании свертки Фурье.
Пусть для абсолютно-интегрируемых и кусочно-гладких функций f1(x) и f2(x) и , тогда преобразование свертке равно произведению преобразований .
Доказательство.
Изменение порядка интегрирования возможно в силу равномерной сходимости несобственных интегралов в преобразовании Фурье, которая следует из Леммы 1.