Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
32
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
223.23 Кб
Скачать

§33. Разложение функции в интеграл Фурье.

Определение. Для кусочно-непрерывной, абсолютно интегрируемой на всей числовой прямой f(x) назовем предел

разложением функции f(x) в интеграл Фурье.

Такой “хитрый” предельный переход при симметричном стремлении пределов интегрирования к бесконечности приводит к “хитрому” несобственному интегралу, называемому несобственным интегралом в смысле главного значения (valeur principale) и обозначаемому

.

Очевидно, что если существует несобственный интеграл в обычном понимании (при произвольном стремлении верхнего и нижнего приделов к бесконечностям), то существует и интеграл в смысле главного значения. Обратное, вообще говоря, не верно, например - не существует, но существует его главное значение .

Возникает вопрос о существовании такого разложения и о его связи с самой функцией f(x). Ответ на этот вопрос дает

Теорема 33.1. Если f(x) кусочно-непрерывная, абсолютно интегрируемая на всей числовой, то в данной точке выполнено равенство

.

Т.о. разложение Фурье сходится к самой функции в точках ее непрерывности и к полусумме предельных значений в точках разрыва первого рода.

Доказательство.

Поскольку g() - непрерывная функция (по Лемме 1), то при любом конечном A>0

.

В силу равномерной по  сходимости интеграла в квадратных скобках можно поменять порядок интегрирования.

.

Вспомнив представления для экспоненты по формуле Эйлера

.

Внутренний интеграл разобьем на два

и .

Тогда

.

Следовательно, при любом A>0

.

Поскольку

и ,

то

,

.

Вычитая полученные равенства, получим

Оценим каждый из интегралов в правой части при A. Оба интеграла, стоящие в одной строке оцениваются одинаково. Возьмем произвольное >0.

Для всех достаточно малых >0

при , тогда 

при всех

  1. Аналогично при всех

- кусочно непрерывная функция при и в силу Леммы Риммана , т.е. для выбранного нами >0 1: 1

  1. Аналогично .

  2. для всех , где

  3. Аналогично

(как остаток сходящегося несобственного интеграла ), поэтому A2: при A>A2

Т.о. при A>max{A1, A2}

.

Что и доказывает теорему.

Итак, если доопределить функцию f(x) в точках разрыва полусуммой предельных значений, для абсолютно интегрируемой кусочно гладкой f(x)справедливо представление в виде в интеграла Фурье

, где

Замечания.

  1. Эти два равенства хоть и похожи, но содержат принципиальные различия. Первый интеграл, вообще говоря, существует лишь в смысле главного значения, второй же является обычным несобственным интегралом. Второе равенство является определением функции g() (его не нужно доказывать), а в первом равенстве содержится утверждение, что интеграл равен исходной функции (доказательство необходимо).

  2. Представление функции ее интегралом Фурье может быть записано разными способами. Например, заменой , получаем (как в задачнике Е-Д)

, где

  1. Напомним, что функция удовлетворяет условию Дини, если

  1. существуют оба односторонних предела

и

  1. для какого-либо положительного  оба интеграла

и

сходятся абсолютно.

Требование кусочной непрерывности в условии доказанной теоремы можно ослабить и заменить его условием Дини.

§33. Косинус- и синус -преобразования Фурье.

Для функции четной либо нечетной формулы преобразования Фурье упрощаются.

  1. У четной функции f(x)=f(-x) – преобразование Фурье так же четная функция.

-

прямое косинус преобразование Фурье.

-

обратное косинус преобразование Фурье.

  1. У нечетной функции f(x)=-f(-x) – преобразование Фурье так же нечетная функция.

,

прямое синус преобразование Фурье.

обратное синус преобразование Фурье.

Замечание. Синус- и косинус преобразования Фурье могут быть записаны разными способами. Например, заменой , получаем (как в задачнике Е-Д):

-

прямое косинус преобразование Фурье.

-

обратное косинус преобразование Фурье.

-

прямое синус преобразование Фурье.

-

обратное косинус преобразование Фурье

Примеры.

  1. Представить интегралом Фурье >0.

Функция четная, поэтому

Т.о.

  1. Представить интегралом Фурье финитную функцию

.

  1. Разложить в интеграл Фурье

Сначала получим вспомогательную формулу

Т.о. .

Определение. Свертку Фурье определим для абсолютно-интегрируемых и кусочно-гладких функций f1(x) и f2(x) как

.

Теорема о преобразовании свертки Фурье.

Пусть для абсолютно-интегрируемых и кусочно-гладких функций f1(x) и f2(x) и , тогда преобразование свертке равно произведению преобразований .

Доказательство.

Изменение порядка интегрирования возможно в силу равномерной сходимости несобственных интегралов в преобразовании Фурье, которая следует из Леммы 1.

Соседние файлы в папке Лекции МП-2 (Альшина)