Лекции / семестр4 / Лекции МП-2 (Альшина) / Pr11

§33. Спектральный анализ.

1. Пусть у нас есть сигнал, описываемый на сегменте [-l,l] функцией f(x), и ее периодическим продолжением за пределами этого сегмента. (Периодический сигнал.)

В случае дополнительных условий на функцию (достаточно кусочной гладкости) это сигнал можно представить его рядом Фурье

,

где набор чисел {a₀,a_k,b_k} или {c_k} определяются видом функции f(x), например

.

Т.о. сложного вида периодический сигнал является суперпозицией (суммой) гармонических сигналов с частотами _k=k/2l=k/T и амплитудами {a₀,a_k,b_k} или {c_k}. Более того, как было показано, частичная сумма этого ряда является наилучшим среднеквадратичным приближением для f(x).

Для периодического сигнала спектр дискретен, т.е. состоит из (быть может) бесконечного набора частот, но обязательно разделенных некоторыми промежутками.

2. Если же мы возьмем непериодический сигнал, описываемый абсолютно интегрируемой функцией f(x), то, как было показано выше, для кусочно гладких функций такой сигнал представим своим интегралом Фурье

,

где

Т.о. для описания непериодического сигнала понадобятся гармонические сигналы с непрерывным набором частот. Такой спектр называют непрерывным.

Представление сложного вида функции в виде суперпозиции гармонических сигналов (рядом или интегралом Фурье) называется гармоническим или спектральным анализом.

3. Определение. Спектральной функцией ряда Фурье называется отношение коэффициентов Фурье к приращению частоты =1/2l

COMPLEX.

Амплитудным спектром называется модуль спектральной функции , фазовым спектром называется ее аргумент, взятый с обратным знаком .

Смысл этих определений поясняет следующее представление ряда Фурье.

,

т.е. гармоники суммируются с фазовым сдвигом и амплитудами, задаваемыми в соответствии со спектром.

На графиках обычно наносят только ординаты соответствующие  и  в дискретном наборе точек с абсциссами _k. Графики представляют собой набор линий и от того спектр периодического сигнала иногда еще называют линейчатым.

4. Определение. Спектральной функцией интеграла Фурье называется g() – прямое преобразование Фурье

.

Ее модуль называется амплитудным спектром, а величина – фазовым спектром.

Примеры.

1. Построить амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала

.

_k=k/2l=k/T=k/3

2. Построить амплитудный и фазовый спектры уединенного импульса следующей формы

Физики давно считали, что всякое сложное периодическое движение (механическое, электрическое или электромагнитное) распадается на гармонические колебания того же периода. Фурье-анализ дает этому факту строгое математическое обоснование. Физики же широко используют гармонический анализ, он, например, лежит в основе радиосвязи. Выделение отдельных гармоник из спектра сигнала осуществляется физиками при помощи различного типа резонаторов. Но чаще приходится решать другую задачу – восстановление исходного сигнала по его спектру. Потому как приемные устройства, как правило, фиксируют амплитуду гармонического сигнала определенной частоты, т.е. спектр.

Займемся теперь математическими приложениями гармонического анализа.

3