Высшая математика 1 курс

3

ÅñëèËèí

функциийность f(îéíîx; y) èîg(èíòx; ) èíòð ë ðèðó ìû î ë ñòè D, òî

ZZD

(af(x; y) + bg(x; y)) dxdy = a ZZD

f(x; y) dxdy + b ZZD

g(x; y) dxdy

о щихА итинутрнннихинт чок, и D интко ъ ин нио о лт ст й D1

è D2, òî

a b

êî

ðû

÷èñë .

ð ë

4

îñòü

éíî

ë ñ

é D1 è D2, í èì þùèõ

Åñëè f(x; y)

ðèðó ìî

îé è

ZZ

ZZ

ZZ

f(x; y) dxdy

D

f(x; y) dxdy = D

1

f(x; y) dxdy + D

2

5

Ò î

îö

éíî î

нинтр нстр л m 6 f(x; y) 6 M, то

Еслир мо лости Dнкып лняютсяо

mS 6

ZZ

D f(x; y) dxdy 6 MS

S ïëîù ü î ë ñòè D.

îéíî î

ð ë

6

Ò îð ì î

í ì

Åñëè f(x; y) ñðí ïð ðû íëÿ

î ë ñòè Dèíò, î ýòîé î ë ñòè í é òñÿ õîòÿ

û î í òî÷ê M0(x0; y0) òê ÿ,

÷òî

ZZ

f(x; y) dxdy = f(x0; y0)S

D

ZZ

S площ ь о л сти D. Число1

f(x; y) dxdy

í û òñÿ ñð

f(x0

; y0) =

S

D

í ÷ íè ì ô

ò

f(x; y) î ë ñòè D.

7

Ò î

î

î óë

îéíî î

Åñ

f(x; y) íèì

риру м я ункцииф ря ло л сти D, то jf(x; y)j т к

èíò ðëèð óì DèíòZZ

f(x; y) dxdy 6 ZZ

jf(x; y)j dxdy

D

68

D

ïðè÷8 ПустьВычислì ðñþî ëóíèñòüí [Da; bî]éíîрфункцииничî èíò'êðè1(ðx)ûìèë '÷2y(x=ð) 'í1ïðычисл),ðûy =íû'íè2(èx)',1ïîx(x=) торно6a, 'x2=(xb)î.,

Тоинт

ZZ f(x; y) dxdy =

Z

dx

' (x)

Z

f(x; y) dy

D

a

b

2

' (x)

тся по торным. В по тор-

Èíò(x ïðð ì

ïð îé ÷ ñòè ýòîé

рмулы

1

т м получ нный

рнутрльтыт

ðèðó òñÿ ïî x.

9 Ç ì ë

ì ííûõ

фойном

ð èíòë

ом инт р л сн ч л ычисля тся

ííèé èíò ð ë ïî ï ð ì ííîé y

плоскости тр),р функция f(x; y) н пр ры н о л сти

Dxy. Òî

Пустьн пр

ы но ифф р нциру мыинтфункции

(2)

x = x(u; v) ;

y = y(u; v)

èìíî î íî í ÷íî îòî ð þò î ë ñòü Duv

плоскос

í ë ñòü Dxy

OxyD

f(x; y) dxdy =Duv

f(x(u; v); y(u; v)) jJ(u; Ouv)j dudv

ZZ

íèÿ (2).

ZZ

yv

ÿêî è í îòî ð

yu

0

0

0 0

J(u; v) =

x

0

x

0

10

= xuyv

xvyu

к и н п р хо к полярным коо

ò ì

Äëÿ îто р ния п р хо к полярным коор ин т м r и '

ÿêî è í ð í

x = r cos ' ;

y = r sin '

11

Вычисл ни пл

J(r; ') = r

ипооскосл сти

с помощью ойно о инт р л

Площ ь S о л стиощD н

Oxy ычисля тся по формул

S =

ZZ

dxdy

D

69

12

Ïëîùр лВычислü ïîíèрхности,ïëîùz =èfïî(ííîéx; )рхности;óð (íx;íèyñ) 2ìпомощьюD

îéíî î èíò -

D о л сть н плоскости Oxy, н хо ится по формул

S =

ZZ

q

0

2

0

2

dxdy

13

1 + (zx)

+ (zy)

éíî

èíò ð ë

Вычисл ни о ъ м D

ñòè

помощьþ

Î ú ì V

î ë ñòè òð õì îðíë î

ïðîñòð íñò , êîò îð ÿ î òñÿ óð í -

ниями

f(x; y) 6 z 6 g(x; y) ;

(x; ) 2 D

V = ZZ

(g(x; y)

f(x; y)) dxdy

D о л сть н плоскости Oxy, н хо ится по формул

14

ë íè

тройно D

èíò

рон й проиОпр оль ной точêòñ M (x ;y

; z ) 2 G нисостким èíò р льную сум-

Р ссмотрим о р

ч нную о л сть G простр н

. Ð î ü ì î ë ñ ü

G í n í

ê þùèхся яч к G , k = 1; : : : ; n. М ксим льный и и м

ÿ÷ ê G

û

я иом тромр л и

ÿ è î

òî í ÷

тся . Пусть

î ë ñòè G

ð ñ

ôóí

öèÿ f(x;

; z). Âû ð ì

îé

ÿ÷ ê G

ïî òî

ìó

k

k

k

k

k

k

k

k

n

V

ì G .

X

; yk

; zk

Vk

n = k=1 f(xk

иЕсит

íèî òú è ð è íèÿ

ë òè G í ÿ÷ éêè G , íè îýò û îð òî÷ ê

k

k

ë ñóìì ) n ïð ! 0 è îò ï

ë í

M

ëè ñóù ñò ó ò êîí ÷íûé

k

(x

; y

; z

) 2 G

, то он о о нопрч тся

k

(3)

k

k

k

k

ZZZ

f(x; y; z) dxdydz

G

z

ïî î ë ñòè G. Ò -

н ы тся тройным инт р лом от функции f(x;

êèì î ð îì

ZZZ

f(x; y; z) dxdydz = lim

Xf(x ; y

y;z ) V

!0

n

k k

k

k

G

k=1

70

15интЕсрлируf(x;òðè÷м y; z)этойнêèéïðî смыслрысти,н т. . ртройнéíè÷îнноййèíò мкнутой(3) ущо лстстиу Gт., то он

ОГъомV о л сти G тр хм трон м простр нсò ð ëычисля тся по формул

V = ZZZ

dxdydz

16

G

Лин йность тройно о инт р л

Если функции f(x; y; z) и g(x; y; ) инт риру мы о л сти G, то

= a ZZZ f(x; y; z) dxdydz

+ b ZZZ

g(x; y; z) dxdydz

ZZZ

(af(x; y; ) + bg(x; y; z)) dxdydz =

a b í êî

G

G

G

ðû ÷èñë .

17

îñòü

тройно

окъ ринлнио о л ст й G1 и G2, то

о щихА нутрити ннихн инточрк, и

Åñëè f(x; y; z)

èðó ìî èíò

îé è

ë ñò é G1 è G2, í èì þùèõ

ZZZ

f(x; y; z) dxdydz =

ZZZ

ZZZ

f(x; y; z) dxdydz

G

G

f(x; y; z) dxdydz + G

2

18

1

Т о м о оц нк тройно о

Åñëè

р о л сти G ыполняются н интр нстр л m 6 f(x; y; z) 6 M, то

mV 6

ZZZ

f(x; y; z) dxdydz 6 MV

V

î ú ì î ë

G

òè G.

î ë ñòè G,èíòî ýòîé î ë ñòè í é òñÿ õîòÿ

19

Åñëè f(x; y; z)ñðí

ïð ðû íëÿ

ð ì î

í ì

тройно о

ð ë

ы оТн оточк M0

(x0

; y0; y0) ò ê ÿ, ÷òî

ZZZ

f(x; y; z) dxdydz = f(x0; y0; z0)V

G

71

V î ú ì î ë fñòè(x0;Gy.0;Числоy0) = V1

ZZZ

f(

z) dxdydz

í û òñÿ ñð

G

÷ íè ì ôóнкции f(x;y; z) о л сти G.

т к линт рируниминтG и

20

Ò îð ì î

î óë ò îéíî î èíò ð ë

Åñ f(x; y; z)

ðиру м я функция о л сти G, то jf(x; y; z)j

ZZZ f(x; y; z) dxdydz

6 ZZZ

jf(x; y; z)j dxdydz

21

Âû÷è

G

éí î èí

G

ычисл ни по торных

íè

ð ë

ðí

2

Пусть осл сть G

òð íñò

î ð

с рху п рхностью z =

(x;интy), сни у птропросхностью z =

1

(

y)

кци й которой я ля

ÿ

о л сть D нр лплоскости

. Дру ими слоничми,прол сть G тся услотси-

ÿìè

î

1(x;Oxy) 6 z 6

2(x; y)x;

(x;

) 2 D

Òî

ZZZ

ZZ

2

(x;y)

f(x; y; z) dxdydz =

dxdy

Z

G

G

1

(x;y) f(x; y; z) dz

Если о л сть D плоскости Oxy тся н р нст ми

òî

a 6 x 6 b ;

'1(x) 6 y 6 '2

(x) ;

(x; y) 2 D

b

'

(x)

2

(x;y)

ZZZ

dx

2

dy

f(x; y; z) dz

f(x; y; z) dxdydz = Z

Z

Z

G

a

'

(x)

1

(x;y)

22

Ç ì

р м нных тройном

1

ð ë

Пусть н пр ры но ифф р нциру мыинтфункции

(4)

x = x(u; v; w) ;

y = y(u; v; w) ;

z = z(u; v; w)

72

л стьимнGxyzо

просн трчнонсот о рOxyzют, офункциял сть Gfuvw(x; y;прострz) н прнстры нOuvwо нл стио -

Gxyz

. Òî í ZZZ

f(x;

z) dxdydz =

ZZZ

G yz

= Guvw

f(x(u; v; w)y;y(u; v; w); z(u; v; w)) jJ(u; v; w)j dudvdw

J(u; v; w) =

x

x

x

y0

y0

y0

ÿêî è í òî ð

íèÿ (4).

zu

zv

zw

ñêèì êîî

ò ì

23

êî

ï

õî

Для цилии н ричр ских

кооцилинин т (ричr; '; z) с я нныхр инс к рто ыми коор-

ин т ми формул ми

y = r sin ' ;

z = z

ÿêî è í ð

x = r cos ' ;

J(r; '; z) = r

24

êî è í ï ð õî ê

ðè÷ ñêèì êîîð èí ò ì

Для сф рич ских коор инсфт (r; '; ) с я нных с к рто ыми коор и-

í ò

формул ми

2

ÿêî ìèí ð í

z = r cos

x = r cos ' sin ; ;

y = r sin ' sin ; ;

25

Êóñî

î êè

J(r; '; ) = r

sin

ëè

è

î

îñòè

û

òñÿ ë

êîé, ñëè ó

Êð

ÿ÷í ïëîñ

простр

ò í

í

ê é î

косущ ст у т

с т льрхня. Кри я

í û òñÿ

лчккой, сли

ìî íî êðè èòüû íê êîн чно числко л ких пои рхност й.

òî

Ï è ðõíîñòü

прости

íñò

û

òñÿ

ë

é, ñëè ó í

îé

ñóù ñò ó ò÷ê ñ ò ëüí ÿ ïëîñ

сть. По рхность н ы тся

кусочно

73

êð

ûõ.

26

ÎÎ

íñòü

ë

è è

простр нст

í

û òñÿ

íîñ îé, ñëè

нлю ойыхо

мк утыйпр

кослынтуро

òè. ùèé

ýòîé î ë ñòè ìî í

стянуть точку

Пусть G

ë ñ

G

простр нст . Го орят, что

î ë ñòè G íî

ск лСк олярп л ,о

ëè

ù ñ

нн я функция

Ан ло ичносо я н я

л лнисть онятся и нт плоскости.

27

î ïîë

u = f(x; y; z)

28

 êòî í ïð îë

но кторно поотл . Ан ло ично опр л -

òî î

, ÷ò

î ÷ê òè G

ïðîи Крио льнуюолинточку c (x ; y ; z )

линсостк им

èнт р льную

сумму

Åñ

ê é ò

î ë ñòè G ïîñò ë í ñ

òñò è êòîð

èíò = Xf(x

; y

; z

) l

~

~

~

íè

ÿòñÿ

~a(x; y; z) = ax(x; y; z)i + ay(x; y; z)j + az(x; y; z)k

í ïëîñкости.

29

ð ë ï ð î ðî

m û ð ì î íó

ì

ния ийныйо о ч

òñÿ

. Í

îé

ó m

ê

Пусть

ê

простр нст

îí ô

ÿ f(x; y; z). Âû îð

é

ò ÷ ê m , k = 0; 1; : : : ; n (m , m

н чункцилоко

ö êðè îé)

íè

R . Ì î ñèì

ëü

ÿ è

0

õîð

[m

; m ]

û òñÿ è ì ò-

n

k

k

k

n

k

kn

1

k

1

k

k 1

k

k

k k

k

l

ë í

m

m . k=1

î î í ÷ òñÿ

í éíûì èíò ðëîì ï ðî î

ðîû îî êðè îé è

k

k

1

k

ë ñóìì

n

при ! 0 н исящий ни

Если сущ ст утикон чный

îò è ð

è

íèÿ R , íè

ò

ð ò ÷ ê c , ò

îí í

û òñÿ êðè îëè-

ò êèì î ð îì

n

ïð

k

Z

Z f(x; y; z) dl

f(x; y; z) dl = lim

n

; y

; z

) l

Xf(x

k

k

k

k

!0 k=1

74

30 Дост точны усло

ñóù ñ

î

î î èíò ð -

криЕсëîëèïнфуйныйð îêöèÿîèíòðîf(x;ðèy;ëzèÿï) îрнспроéñòрыро н ниякускричн олинкойн кри ой , то

ñóù

ó ò.

Z

f(x; y; z) dl

ë ï ð î î ðî

í

èñèò îò í ïð ë íèÿ è-

Êðèò îëèí éíûé

íèÿ

îëü êð

éèíò, ð

îñò ëü

îì

î ñ îéñò í ë è÷íû

ñ îéñò ì

31

1. Если кри ия окриполиноскости интн

и л р фик функции y = y(x),

Вычислони

éíûé

ð

ï ð î î

ðî

îïð ñ ë ííî

èíò ð ë .

x 2 [a; b], òî

Z

b

Z

q

f(x; y) dl = a

f(x; y(x))

1 + (y0(x))2

dx

2. Если кри я простр нст н п р м трич ски ур н ниями

òî

Z

x = x(t) ;t

2

y = y(t) ;

z = z(t) ;

t 2 [t1

; t2]

2

Z

f(x(t); y(t); z(t))

q

2

2

f(x; y; z) dl = t

1

(x0(t))

+ (y0(t)) + (z0(t)) dt

о ичн я формул им т м сто ля функции f(x; y), опр л ííîé

Анплоской кри ой

y = y(t) ;

t 2 [t1; t2

]

32

x = x(t) ;

Пусть

ê

èíò ð ë

ðî î ðî .

ó

ê

é

йный простр нст то но ктоЦиркн по

Âû î

òî÷ ê m , k = 0; 1 : : : ; n (m , m

íî ÷

ляцияо кон ц кри ой)

Крит олинини оR . М ксим льн я и лин хор [m

; m ] í û òñÿ

~

~

~

~a(x; y; z) = ax(x; y; z)i + ay(x; y; z)i + az(x; y; z)k

n

k

75

0

1

k ë1

k

è ì òðîì ð

íèÿ è î î í ÷ òñÿ . Í

îé

ó m

k 1

m

k

û ð ì

ну прои ольную т чку ck(x n; yk; zk)

ñîñò

им инт р льную сумму

=

X

~a(x

; y

; zê) ~l

!

n

k=1

k

k

l