Высшая математика 1 курс

26

Á ñêîê è ÷íîë íòíûì ëû ïðèñêîíx ! ÷íîa ôóíêöì ëûии fфункции(x) g(x) н ы ются эк и -

ë

ñëè

lim

f

= 1

О нтными,о ч ни :

x!a g(x)

x ! a

Ïðèì ðû ýê

f(x) g(x)

ïðè

л нтных скон чно м лых функций

= (x) ñêîí ÷íî ì ë ÿ ïð

x ! a.

a

1

ln a

+ )

1 n

(1 cos è 2

2

e

sin

log

a

(1 +

) log

a

sin

1

arctg

27

tg

Б скон чно м лы функции

î èí êî î

ïîð

Го о ят, что функции f(x), g(x) скон чно м лыя ко ин ко о о по-

ðÿ ê ïðи x ! a и пишут

ïðè

x ! a

ñëè

f(x)f= O (g(x))

x!a g(x)

= K ;

0 < jKj < +1

28

lim

îí ÷íî ì ëû îë

ê î ïîðÿ

Ôó êöèÿ f(x)

ы тся функциыñîé

î

ûñîêо о поря к м лости по

ñð íÁíсию с функци й g(x) при x ! a, сли

Î î í ÷ íè :

lim

f

= 0

x!a g(x)

ïðè

x ! a

29

ры ностьf(x) = o (g(x))

л нФункциН опð стности этойфункцииочкитс

ÿ f(x) í û

ÿ ïð ðû íîé òî÷ê x = a, ñëè îí îïð -

lim f(x) = f(a)

x!a

38

30

ÿ f(x)îñòüí û òñÿ

ïð û íîé ñïð òî÷ê x = a, ñëè îí

опрФункцил

точк a и спр от нспри

f(a + 0) = x!lima+0 f(x) = f(a)

31

я f(x) н ыфункциия пр р ной сл точк x = a, сли он

îñòü

ñë

опрФункциНлпр рыточкн a и сл тс

îò í è

f(x) = f(a)

32

f(a

0) =

lim

ðèé í ïð ðû í

x!aû 0

òî÷ê

õ èìî

осчтот чно, чтоыостин функцииыл пр р ной спр чки сл это й

òîчкКрит. П

ýòîì

f(a) = f(a + 0) = f(a û 0)

x = a, í -

33

Äëÿ

î

ðû í

ы функция f(x) ыл

ðû íîé òî

функции н

î ñò

ÿ f(x) í

òñ

пр рымной н

ìíî ñò D, ñëè îí í ïð -

ры ФункцикН пр ой

остич

ýòî î ìíî ñ .

ïð ðû íûìè

34

òè÷ ñêûè

í í

ЕслиАрифмункции f(x), g(xйст) н приярыт ны то÷ê x = a, тофунêöèÿìè

f(x) g(x) ;

f(x) g(x) ;

f

35

g(x) (g(a) =6 0)

Ñîõð í íè

í ê

нпрры ной

ò ê í ïð ðû íû ýòîé òî÷ê .

Åñëè f(x) í ïð ðû òî÷ê x = a, è f(a) > 0 (f(a) < 0), òî ñóù ñò ó ò

ò ê ÿ

кр стность точки x = a, что

этойфункциио р стности f(x) > 0 (f(x) < 0).

36

этом отрфункцийк прости пртры ныхм с о о н и ольшк о и н имíüø î

1.

СФункциочйстния.

f(x),

í

í

отрчк к

[a; b], î ð è÷ í

ðû í ÿ

ê é ò

39

37

2.

ÿ

îòð

[a; b]

ÿ f( ) ïð

ò ýòîì îò-

н икольшлю о îñòüíí÷÷ñëîíè fêè(xîé)онтр[a;кb].[m; M], m инимим ньш , M

Если функция y = g(x) нпр ры

òî÷ê x = a, ô

ÿ z = f(y)

í ïð

û í

òî

y = g(a), о слфункциио н я ункция z = f(gункци(x)) пр ры н

òî÷ê x = a.

нинчк эл м нт рных функций

38

Í ïð ðûë

Осно ными эл м нт рными функциями я ляются

1

ñò

нн я функция y = x , лю о число.

2

x

, a > 0 =6 1

к тльн я функция y = a

3

ëî

рифмичск я функция y = log

a

x, a > 0, a =6 1

4

òðè î îì

÷ ñêè

функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x

5.

Îïðî

òðè îíîì

è÷ ñêè ô

y = arcsin x, y = arccos x, y =

arcctg x, y = arcctg x

Ôó êöèÿ

я эл м нт р ой, ункциисли о мо т ыть получ н с п

ì ùü

котнычно о чи л

трифм тич ских ст ий и суп рпо иций н ос-

íî íûìè

эл м нт тсрными функциями.

39

Í ïð

ýë ì íò ð

ÿ ýë ì íò

í ÿ

яныхпрфункцийры к ой точк инт р л ,

хоЛюящ о ры оностьл ть опр л ния.

ÿ òñÿ í ïð ðû íîé, í û þòñÿ òî÷-

40

ТТочки и

êîòî

õ ô

ÿ

ê ìè ð ðû .

функциипя л о ро

41

֐

ТТочк x

ð= aðû

я точкой р ры п р о о ро функции f(x),

ñëè ñóù ñò óþò êîí ÷

ытс о ностоð ííèî ïð ëû f(a + 0), f(a 0), íî í

ыполняются соотношы ния

f(a + 0) = f(a 0) = f(a)

40

илихотя42 Трчкы ноxин=рскоa рыоч îñфункцтсиро.я ннихточкойпрòîðîëûî ðîf(тa ро+ 0)о,роf(a функции0) сущf(x)ст, слиу т

43

Òî÷ê óñòð íèì

функции

ëû f(a + 0), f(a 0) è

Åñëè ñóù ñò óþò êîночныр рыо н

оронни

òî òî÷ê x = a

ы тся точкой уостр нимо опр ры функции f(x).

f(a + 0) = f(a 0) =6 f(a)

н ыН клтся ннкляункциисимй ïòîòимптотой

икр фикфункцииункции.

44

î

ô

ð ô

ò ê ÿ ïðÿì ÿ, ÷òî ð ññòî íè

Пусть л

y = f(x) ñóù ñò

y = kx + b н о сущх имст ио остнияточно сущ ст о симптотыя ух пр ло

от т чки M(x; f(x)) р фик функции

î ýòîé

ÿì é

òð

íóëþ ïðè

ñêîí ÷íîì ó ë

÷êè M îò

ч л коопр ин

. Томитс к я

ïðÿì ÿ

45

Óñë èÿ

н клонной

н клонн я

симптот

Äëÿ òîî, ÷òî û

функции y = f(x) сущ ст о л

lim

f(x)

= k ;

lim (f(x) íèkx) = b

x!1

x!1

Ïðè ýòîì óê

x

ëû

ÿ ð

ïð

ïð

óò ûòü ð è÷íû ïðè x ! +1

ой н клонной ннысимпт

òû)

x ! 1 (ëя л ой н клонной ( симлïòî-

прямойртикстр мльнтс

кя нулю,симптотко коор фин

x

÷êè M

р мится к числу

òû).

Â

46

чки M(x; fфункции(x)) р ик функции о этой

y = f(x), ñëè ð ññò ÿíè

Ïðÿì ÿ x = a

û òñÿ

ðòèêx!a 0ëü

й р фик функции

íîé ñ

f(x)

ë òî÷ê x = a

о хнист о имртиконияльос

очно, что симптотых я инункциипр ло

a.

Ó î èÿ ñóù

í é

47

ÿ

ó ð ôèê ô

y =

яслущ ст о

íîé

симпто

ыл р н скон чности.

lim f(x)

41

48

Ï

î

0

(x) ô

è

= f(x)

òî÷ê x í û òñÿ ïð ë îòíî-

Пророио ной f

ø íèÿ ïðèð ù íè

функцииy = f(x +

x) f(x)

ê

èð

íèþ íð ÿ

íò x ïðè x ñ

ìÿù ìñÿ ê íóëþ

0

(x) =

lim

y

=

lim

f(x + x) f(x)

f

x

x

x!0

x!0

Испроль щуются т киумо о н ч ния проитро нîé

f0

(x) = y0

y

49 Äèôô ð

= y = dx

у мость функции

Функция f(нцирx) ы

ÿ

ôô ð íöèðó ìîé òî÷ê x, ñëè ïðèð ù -

ни функции

y = f(x + x) f(x)

ýòîé òî÷ê ïð ò èìî òñ è è

Äèôô ð

y = A x + o(x)

у мость f(x)

точк x р носильн точу, что у f(x) сущ -

т у т пронциро

í ÿ

ýòîé òî

. Ïðè ýòîì

Если ункция и

0

(x) = A

f

циручкм то

x, òî îí í ïð ð í ýòîé òî÷ê .

Î òí

óò ð ôôíè

í ð î:

нчкпр ры ности н слы у т ифф р н-

öèðу мость.

ур ость функции н мно

50

Äèôô ð

öèð

ÿ f(íöèðx) û

ÿ è

р нциру мой (нстпр ры но ифф р н

ìîé) í

н котором

ìíî ñòôô D, ñëè

ê îé òî÷ê x 2 D ñóù -

ст Функцит (н пр

0

(x).

û ÿ) ïðî òñ î í ÿ f

51

Ïðèð ù íè

функции

ы ют ифф р нци лом исимой п р м ой и

î î í ÷ þò ÷ð ð

dx. Дифф р нци лом функции y = f(x) точк xнн ы-

ютДиффыр нинци л

= f

0( )dx

И формулы

dy= dy + o(dx)

ñ

ò,

î èôô

íöè ë dy = f

0

(x)dx функции y = f(x) это л н я

52 Çíà ÷îì

ïðîè èéî íîéсмыслf (x0)ïðîèфункцииî íîéy = f(x) òî÷ê x0 ð íî ó ëî î-

му коэфф ци нту

ñ

0

(x0)

р фику этой функции,

льной k = tg ' = f

ïðî

îé

р точку M0(x0

; f(x0)).

функции

53

Ó

íè

íîé ê ð ôèê

Урр нтричк льной к р фику функции y = f(x) о точк

M0(x0; f(x0)) èìòê ñ èò ëü

0

(x0)(x x0)

y f(x0) = f

54

Äèôô ð íöè ë dy = f

0)dx р н прирнци лщ нию ор ин ты с т льной

Г ом трич с ий смысл

ð

(x0; f(x0)) ïðè ïðèð ùê íèè ð ó-

к р фику функции y = f(x) точкифф M0

0

ì íò , ð îì dx = x x0.

55 Ì õ íè÷

кий смысл п р ой прои о н й

Åñëè x = x(t)

ô

я, описы ющ я кон и ния м ри -

ной точки, то пср я проункцио н я x (t) сть скорость этой точки т момльнт

ð ì íè t.

0

ных функций

56 Ò ëèö ïðîè î íûõ îñíî íûõ ýë ì

C

0

= 0

x

0

íò ð

x

)

x

x

0

= e

x

0

e )

=

1 + x2

)

= a

ln a

1 + x2

(arctg x)0

(arcctg x)0

=

ln x)0

1

log

x)0

=

1

x

x

x

a

0

cos

0

siln

x

1x

os

1x

sin x)

tg x)

=

tg x) =

2

1

2

1

sin x)0

2

2

=

p

os

p

1

x

1 x

43

1

ïðîè57 ПустьÏðо ныCил. Топостоянниффспр нцироя лиf(xы),слg(x)ующифункциипр илу которыхифф р сущнцирост уютния

0

0

íèÿ

0

0

g(f(x))р тилочк x0 им т пронцироо ную, р ную

Cf) = Cf

(f + g) =

+ g

(fg)0

= f0g + fg0

f

0

=

fg0

2 f0g

(g0 =6 0)

58

g

Ï

ôô ð

ñë

gîé ôóí öèè

функция z =

y) èì

ïðîè î íóþ ò ÷ê yíèÿ0 = f(x ). Òî ñëî í ÿ

Пусть функцèÿ y = f(x)

0

ì

ò ïðîè î

òî÷ê

x0,

ÿ

0

0

59

Ïðîè î

z

(x0) = g

(y0)f (x0)

î ð òíîé

Åñëè x = x(yí) ÿ

функция, офункциир тн я y = y(x), то

x0

(y) =

y

0

1

60

Ï

í ÿ

(x(y))

î ííîé

ôóíê2 (a; böèè), ÿ íî í óð í íè ì

Ãî ðîèî ÿò, ÷òîî

функци

y = f(

), x

F (x; f(x))

0

(1)

F (x; y) = 0 ëè ëÿ ñÿõíx 2 (a; b)

ò

ñ

(1) -

Äëÿ

ычисл ния прои о н й функции y = f(x) сл

è

ð

ê ê

ñëî íóþ

функцию

î x, ó ò мо и птлучо ннпроо

урффн ния

ûð èòü f (x).

(x), òî

Åñëè ïð

ýòîì x = '(t)

инт р л ( ; ) им ттричо тную t = '

61

Ï

нциро н я функции, нной

ï ð ì

ñêè

0

опр роил н но я функциия

y =

(t) ;

t 2 ( ;

)

1

Пусть

ñ íû ô x = '(t) ;

y(x) =

44' 1(x)

yн(x)ы ычислям я функцитс п формулй, нной п р м трич ски. Прои о н я функции

Если функциолляf(x н

y0(x) =

'0

(t)

t=' 1(x)

нциру м

ïðè

62

ðû í

í

îòðê [a; b], èôô

Ò îð ì Ð

x 2 (a; b) è f(a) = f(b), òî ñóù ñòó ò ïî êð éí é ì ð î íð ñò öèîí ðí ÿ

точк c 2 (a; b), т. . точк пркоторой

f

0(c) = 0.

63

Ò îð ì Ë

í í îòð

[

b], ифф р нциру м при

Если функция fр(xн) пр

x 2 (a; b), òî ñóù ñò ó ò ïî êð éí é ì ð îíê

òî÷ê c 2 (a; b) ò ê ÿ, ÷òî

64

ì

f(b)

û f(a) = f0

(c)(b a;)

ìû ïðè x 2 (a;Êîøèb) g (x) =6 0

ëÿ

ñûõ x 2 (a; bòð),

о сущ ст у т по кнцирйн й

ì ð Ò îðí òî÷ê c 2 (a; b) ò ê ÿ, ÷òî

íû í î

ê [a; b], èôô ð

ó-

Если функции f(x) и g(x) н пр р

0

f

f

= f0

g(b) g(a)

(c)

65

Ï

g

о Лопит ля-Б рну

î÷êè x =

a ôóí öèè f(x)

g(x)

Пусть ил

которой о р с

îñòè U

g(x) =6 0

U. Если функции f(x)

ëëèg(x)

я ляются

î íî ð ì ííî

ñò ó ò ïð ëûìè,

lim

f

ûòü, ñ ì é òî

x = a, ïó òü

è

ð

нциру мы сю

, ðîì , ìî ò

конффчно

ì

ли о скотнчно ольшими при x ! aчкипри этлим осущс-

òî ñóù ñò ó ò ò ê ïð ë

x!a g0

(x)

f

x!a g(x)

ïðè÷ ì

lim f

lim

f

0

= lim

(x)

Ïð èë

x!a g(x)

x!a g

Лопит ля-Б рну ли прим нимо и том случ , ко a пр ст -

ëÿ ò ñî îé î èí è ñèì îëî 1, +1, 1.

45

66

ÏðîÏ

í í2-ÿ 2-ï ðÿè ê

т функцииûñî èõy = f(xÿ) íêîû òñÿ ïðîè î í ÿ

т проиой прои о ной, т. .

00

0

(x))

0

ù ,

è î

f

(x) = (f

ïðîè î íîé) í û òñÿ ïðî-

é n- î ï îëðÿ ê (èëè n-é

Воои о н япротпрои но ной поря к (n 1), т. .

f

(n)

(x) =

f

(n 1)

(x)

0

Äëÿ ïðîè î íîé n- î ïîðÿ ê ôóнкции y = f(x) исполь у тся т к о о-

í ÷ íè

ny

67

ский смысл

n = f(n)(x)

íîé

dxðîé ïðîè

Åñëè x = x(t) ô

ÿ,

тописы ющ я

кон и ния м т ри льной

точки, тох ничто я проункцио н я x (t) сть ускор ни

этой точки мом нт

ð ìÌíè t.

ð

00

68

Äè

n-

= (x

ïîðÿ ê

dx

xíöè0)

ën-ÿ ñò ïêíü

ïðèð ù íèÿ ð óì íò .

í û òñÿ

Äèôô ð íöè

n- î ï îðÿ

функции y = f(x)

î÷ê x0

ûð íèô

n

dny = f(n)(x0)dxn

69

n

ðìóë

î

Ò

f

00

x )

ñïð ëè

формуйл рТсйлfî0ð

ключи-

Если функция y = f(x) им

ïðîè î íû

î (n + 1) ïîðÿ

т льнФо

í êîò

ой ок тн сти точки x0, то

ëÿ

с х x и этой ок р стности

: : : +

f

(x )

(x x0) + o ((x x0)

)

f(x) = f(x0) +(n)

0

n

2! 0

n

+

(x x0)2 + : : :

n1!

или эк и л нтной фоðì ÷ ð èôô ð íöèëû

ñü y0

= f(x0).

1!

2!

46

n!

y = y0 + dy + d y

+ : : : + d y + o (dxn)

70

точны

óñëî

íñ

рФуДостDнкцияR, fy(слиx=1) <ляf(xнлю2)ияы(сых xтс1 ; x2 2ннD, f(щx1)йр>(уf xст2))ю.функцииВощx1 й)р стx2 ющислмно у т-

óòû þùè ô

û

íö

функциями.

(x) > 0 ïðè

Если функция f(x)

è

ò

м ннымиюинт р

ë

(a; b) è f0

x 2

( ; b),

функциия f(x) оою

(a; b)ó; ûñëè íèÿf (x) <