Высшая математика 1 курс

44 Ó î îë' ì ó

кткторр ми~a,.~bÍ ïð ëÿющитс

соотнêосинусыш ния

45

Óñëî

ï

cos ' =

j~aïjj~bjð ëë

í

ух кторо

н икулярн

~

Óñëî è èÿï ðï

улярности ух кто

:

ктостиры ~a = (ax; ay; az) и

улярны

ости и олькро то

, êî

b = (bx; by; bz) ï ððï~

~a b = 0

(êî

axbx + ayby + azbz = 0

Усло и п р лл льностиик

ðíîñòè)

óõ

ро: кторы

~

~a = (ax; ay; az) è b = (bx; by; bz) ï ð ëë ëüíû òî ëüèêòîëüêî òî , êî

~

ëëèí

a

a

a

46

Ï

~a =

b

bx

=

by

=

bz

=

êòîð

~

Пр рокцикцияктор ~a н н пр л ни ктор b, р н я j~aj cos ', ычисля-

тся по формул

prb~a =

~

~a b

~

47

ê

jbj

Косинусы у о

ð

í

Ox, Oy, Oz

, ,

кткто

м ~a и осями коор

í ûÍ þòñïð нляющияющиосинусыì косинус ми ктор ~a. Отм тим, что

j~aj

= (cos ; cos ; cos )

ó

cos2

+ cos2 + cos2

= 1

48

кторно

~

кторо

~

ë íè

 êòî í

ì ï îè

íè ì î êò

~a è íèÿb û òñÿ êòîð ~c

= ~a b,

опр Опрля мûé óñëî

ÿìè:

~

1

~c~ï ðï

óëÿð

~

êò ì ~a è b

2

j~cj = j~ajjbj sin ',

'

лпроим у

~a è b

3.

~

í ðèêóþò ïð

óþ

éêó êòî

, ò. . ñëè í ÷ î ê-

òîð ~a, b, ~c

то о ~a, b и ~c по мститьу оо

÷êó,

êò

êð ò÷ éø é ï îðî

ë êò ð

~

í ëþ òñÿ ñ êîíö íóêòтро ~c про схмиро ящèм проти ч со ой

~a ê b

ñòð ëêè.

18

49

В кторно

ни кторо

ê ðòî ûõ êîîð èí ò õ

Åñëè ~a = (ax; a~ïðîèy; z~) ~b = (bx; by; bz), òî

~

i

j

k

= (aybz azby; axbz + azbx; axby aybx)

a

a

~a b = a

1

bx

by

bz

50

éñòb = b

2

~a

~

~

кторно о прои ния

(b + ~c) =

~a

b + ~a

~c

3

~

~

~

~

( ~a) b = ~a ( b) = (~a

b)

остро ннко о н , кт р х ~a и b, р н

5.

ë

ü S

ï ð ëë ë ðìì

4

~

èí íû ò

ëü

òî

~

~

кторы ~a и b ко

êî ~a b = 0

51

Ñì îóëþ èõ êòîð îî

è ,

íèÿ S = j~a bj

ù ë íè

ñì

ïðî

кторо

но скОпрлярннымомупрои шниюнн

îêò

~a í

êòîð b

~c,òñ. .

прои шниннычисля тся

ê ê

опрпроилит ль тр ть о поря ê

~

Ñì ø

è

ì

~

я число ~a b~c, р -

~a, b èíèÿ~c û

~

~

~

~

~

52

Ñì

~a b~c = ~a

(b ~c)

ò õ

î ïðîè íè

êòî

ê ðòî ûõ îî

Åñëè ~a

= (ax; ay; az), b

= (bx; by; bz), ~c

= (cx

; cy

; cz), òî èõ ñìð èíø ííî

1. ïðè ï ð ñò íîøê

~

ух спроимно ит л й см ш нно прои ни м ня-

~

a

a

a

b

b

b

~a b~c =

53

Ñ îéñò ñì

ííî î

cx

cy

cz

íèÿ

ò í ê

~

~

~

~

~

~

2

~a b~c = b~a~c

= bc~a = ~c b~a = ~c~a b =

a~c b

è) î-

кторы ~a, b и ~c

компл н рны (т. . п р лл льны оной пл ск

3.

ñëè

кткоры ~a

b è ~c í

компл н рны, то н них мо но построить

è òî ü

òî ~ êî

~

~a b~c = 0

ï ð ëë ë ïèï , , î î ú ì V

= j~a b~cj.

19

~

Ëþ54

ÎÎÿùèìплоскостьù óðóðííèíèì

òðëïëAxêîñò+îñòèByí+ ûCzòñ+òñÿýòèìD =ëèí0óðéíî íèóðì. íè

55

Ó

н ни пл кости,

õ

ÿù é ÷

точку п р

M0(x0

; y0; z0),

ëÿð

é

ннэтпросй лоскости, и пр п ннуюляр

é ÷êî-

При этом ур н нищпросл кости им тси

ïðí

èêó

íî

òè

му ктору

полность

î

ëÿ òñÿ ò

é

Полони

ï îñ

òð í ò

ðîì N = (A; B; C),

êîò ðûé í û

ÿ íîðì

нымн икпркторонымплоскоскти.

56

~

пл кости,

õî

й ч льр нную точку п

Ó

A(x x0) + B(y

y0) + C(z z0) = 0

Óð

íè

ë

A(x

x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0

ко ти, прохпроящ йящч р точку M (x0; y0; z0) и п р л-

л льной

умни коллин

рнымр мктор м N1 = (A1

; B1; C1) è N2

= (A2; B2; C2),

ì

ð ûòüí

ïèñ íîñ

è

ëë ëü î óì

êòî

~

N2.

~

î Aò, B, C êîîð èí òû êòîð N = N1

57

Ð

~

~

~

т точки о плоск

Ð ñ ññòî

d от точки M0

(

0; y0

; z0)остиплоскости Ax + By + Cz + D = 0

ычислятсоянип фîðìóë

jAx0 + By0

+ Cz0

+ Dj

58

Ó

d =

pA2

+ B2

+ C2

плоск

Ó î îë' ì у умя плостямикостями

A2x + B2y + C2z + D2 = 0

1

1

1

1

~

~

=

ð í ó ëó ì ó èõ íîðì льными ктор ми N1

= (A1; B1; C1) è N2

(A2; B2; C2) è îïð ëÿ

я соотнош ни м

òñ

2

2

A1A B1B2 + C1C2

~

~

2

2

cos ' =

=

p

p

jN1jjN2j

A

1

+ B

1

+ C

1

2

+ B

2

+ C

2

A

20

59 ÓñÓñëîî è èÿï ðïëëð ëьностил льностиплоскосè ïò ðïé: í èêï óëÿðоскостиости плоскост й

A21x + B21y + C21z + D21

= 0

п лл льны то и только то , ко кîëëèí ðíû èõ íîðì ëüíû ê-

~

~

= (A2; B2; C2), ò. .

òîðû N1 = (A1; B1; C1) è N2

A2

B2

C2

Óñëî ï ðï

1 =

1 =

1

улярны

улярности ïëîñêîñò й: плоскости п рп

то и тольконтоик , ко п рï н икулярны их норм льны нкторыик

N1 è

~

, ò. .

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

~

N2

60

Ïð

ч ни м которых и слу ит

эти ур нийни

опрпрострляютнст плоскости, п

Прямям я

ïðîñ

ìî ò ûòü í ñèñò ìîé óõ ëèí éíûõ

óð í

A2x + B2y + C2z + D2 = 0

61 Ï ð ì

ñê

1

1

1

1

éð ñ

точкой M0(x0

; y0

; z0) иурпрн ляющим кòором ~s = (m; n; p),кпкор ллниль-

ным прямой.тричП этом

просям я т тсямсл уюпрострщими

нстр м трич скими

íí ÿ ïðÿì ÿ.

òð

íèñ

пролнîñ ü

ïð

ëÿ òñÿ

é-

ó ü

Ï ë íè

прямойо

ур н ниями

8

x0

mt

< x

t 2 R

: y

y

nt ;

62

ñêî

z

= z0 + pt

íñò

ни прямоé

ППямр ям простр нст

x

ìî ò ûòü ò ê

ïрострн л ующими к нони-

ч скими ур тричн ниями

x0

= y y0

= z z0

ñü M0(x0; y0

; z0) точкур

ч нр которую прохо ит прям я, ~s = (m; n; p)

m

n

p

н пр ляющий ктор прямой.

21

63

ÏðÿìУрннын, прохониточкипрямойящ я ч р прострннынст ,чкипрохоM1(xÿù1; y1;éz1÷) èðM2(x2; y2; z-2),

пр ст ля тся ур н ниями

y

y1

z

z1

x x1

64

Ó

x2

x1

= y2

y1

=

z2 z1

èõ í ïð -

Ó î

' ì ó ïðÿìûìè ïðîñòð íñò í ó ëó ì

форму ол

= (m1; n1; p1) и ~s2 = (m2; n2; p2) и ычисляу тся по

ляющими ктор ми ~s1

j~s

jj~s

j

m1m2

+ n1n2 + p1p

p

cos ' =

1 2

=

2

2

2p

65

Ó

m

1

+ n

1

+ p

1

m

2

+ n

2

+ p

2

'

прям й и лоскостью

Ó î

упрямой с н ïр ляющим ктором ~s = (m; n; p) и плоско-

ñòüþ ñ íîëðìльным êòîðîм N = (A; B; C) опр ля тся и соотнош ния

~

A

Am + Bn + Cp

sin ' =

j~sjjNj

=

p

+ B + C

p

m + n + p

66

рхности

~

2

2

2

2

2

2

ðî î ïîð

í

þòñ

êè

î ñò

òî÷ ê

ППорхностями

ðî î ïîðÿ

прострнст , коор интоты которыхя ку олы т оряют

ур мннию и

67

Ax2

+ By2

+ Cz2 + Dxy + Eyz + F zx + Gx + Hy + Kz + L = 0

íè÷

è óð í íèÿ ïî

é

îðî

ï

ò

ÿê

Ïðè ïîìîùè ï

орото

è ï ð

льрхносто о п р н

îñ é êîîð

óð Ê íèí

по рхности торо о

ïîðÿ ìî ò ûòü ïð î ð ÿî

êíî

ê ïðî-

стому к нонич скому и ó. Осноллны к нонич скиос

ур н нияинн с ния

22

1

ñ è

Ëèíï

Ãë

2

трицы

ð

íèÿéí ýëÿ ì íòî

ðèöû A = faij g

(îïð

ñ

îï ëí

ýë ì íò aij

ê

ðð òíî

лит ль (коn 1)- о полнряк , получ

ìûé

ìî

ëèò ля трицы A

путАлм ычр ички ния строкини

ñòîë ö ,

ëñî ðùèõïð ííûé ýë ìíò).

яются формул й Aij

= ( 1)

i+j

Mij,

Mij

минор эл м нт aij

2

Îïð ëèò ëèì òîðî î ïîðÿ

я число

í û

a112

ê

= a11a22 òña12a21

a12

òîðî òñÿ ê ð òíîé ò ëè-

ль поря к n это число,

Опрц й числитл, им ющ й n строк и n стол цко

1

112

12

:

2

=

an1

an2

: : ann

: : : : : : : : :

: : : : :

Îï ëèò ëü ð í ñóììëèòïðîè

ýë ì íòî ê êî î-íè ó ü ñòîë -

aij

ý ì íòû î

ëÿ.

ц (строки) н их л пр ич ски ополннийя

n

n

= XaikAik

= XakjAkj

È

это формулы с

ó

k=1

k=1

ëèò ëÿ ïîðÿ ê n ñ î-

, что ычисл ни о

èòñÿ ê

ычисл нию опр

л й поряк (nпр1).

Âûï

í íû ñë

слитой т опр

ëè ë é:

3

1

éñò