Высшая математика 1 курс

4

Ñ îéñò í îïð ë ííî î èíò ð ë

1.

Z

f(x) dx 0

= f(x)

2

Z

Z

f0

(x) dx = f(x) + C

3

Z

af(x) dx = a Z

f(x) dx ;

a = const

5

4.

(f(x) + g(x)) dx = Z

f(x) dx + Z

g(x) dx

Ò ëèö îñíî íûõ èíò ð ëî

x dx =

x +1

+ C ; ( =6

dx

= ln j j + C

+ 1

x

x

a

dx =

ax

+ C ; (0 < a =6 1) ;

e

= e + C

sin

dx = cos x + C ;

cosdxdx = sin x + C

dx

ln a

+

dx

=

1

x

x

1

x

= tg x + C ;

2

= ln tg

x

+

dx

= ln

ctgx

+ C

cos

2

4

sin

2

2

Z

dx

Z

p

a2

= 2a ln 1

x

a2

dx

=

6

x2

x + C ;

+ x2

a arctg a

+ C ;

Ç ì

ï ð ì ííûõ í

ïð ë ííîì èíò ð ë

a + x2

p

2

2 = arcsin a

+ C ;

p

2

= ln

x +

+ C

x

a + x

a

Åñëè í

í êîòîðîì èíò ð ëî I

Z

f(t) dt = F (t) + C ;

58

формулыниt =инт'(рx), мл ныIx'п: IрItx,мто!нíIîét

рпро л ыIxлноспрнномиффинтлир нцируыр л экмо и отло нтныр -

Z

f ('(xèíò)) '

0

(x) dx = F ('(x)) + C

7

Z

f ('(x)) d'(x) = F ('(x)) + C

ð ë

íè ïî

í î

ë ííîì

Для функций u(x)

v(x) þùèõ í

ры ны проинтоны , спр -

ли Интформулрироинт риро чнèстямпо ч стям

v(x) du(x)

8

ííûé

u(x) dv(x) = u(x)v(xïð)

Z

òî

è íè

Z

ê

[a; b]

ì

í ÷ ü

î

n îòð êî . Ð è íè ó

R ,Îïðè

льшую и

ëèíð xë

= x

x

îòð êî [x

; x ] ÷ ð

(ýòó

[x

; x ]

проиы

ольнуюинт трочкункциc и сост им инт р льную

сумму

= b,

n

Ìí

ñ

ò ÷ ê x , k = 0; 1; : : : ; n

kêèõ,1

÷òî a = x

< x

< : : : < x

личинуП сть

íë [a; b]þòòð íì

ô

ÿ y = f(x). Âî üì ì

к омоотр к

k

ò î

k

ì ð è íèÿ).

0

1

n

k 1

n

k

n

xk

= Xf(ck

Åñëè ïðè

k=1

ных сумм, который

! 0 ñóù ñò ó ò êî ÷íûé ïð ) ë èíò ð

н исит ни т и р и ния Rn, ни от ы ор точльк ck

2 [xk 1

; xk], òî

ò êîé ïð ë î î í ÷ òñÿ

Zb f(x) dx

(1)

a

и н ы тся опр л нным инт р лом от функции f(x) по отр ку [a; b].

Ò êèì

îð îì

b

n

Z

f(x) dx = lim

) x

Xf(c

k

k

a

!0 k=1

Если инт р л (1) сущ ст у т, то функция f(x) н ы тся инт риру мой

í îòð ê [a; b].

59

Ï îïð ë íèþ ïî þò

Zb f(x) dx ;

Za f(x) dx = 0

Za f(x) dx =

b

a

a

Дост точно усло

риру мости: Н пр ры н я н отр к [a; b]

функция f(x) инт риру инт этом о

ê .

9

à îì

ñê

й смысл

опр лтрнно о инт р л .

Опр тричл нный èíò ð ë

b

Z

f( ) dx

ñò ëÿ ò î îé

ë ð è÷

ê

a

é ôè ð, î ð íè÷ ííûõ

сумму о

р фиком функции y = f(x),

осьую

прямыми x = a

x = b, ïðè÷ ì

ïëîù

ð ï ë

ííû

íè

îñ Ox,

ñîùí êîì ìèíóñ.

10

Лини,йность опр л нно о

Если функции

( ) и (x) инт рируинт мыр лн отр к [a; b], то

ïëîù è

ð ñï ë ííû

ûø

îñè Ox, õî ÿò

ýòó ñó ìó

ñî í êîì ïëþñ,

Zb (Af(x) + Bg(x)) dx = A Zb f(x) dx + B Zb g(x) dx

a

a

a

ëÿ ëþ ûõ ÷èñ ë A è B.

11

А ити ность опр л нно о инт

Если c 2 [a; b] и функция f(x) инт риру рм лн [a; b], то

Zb f(x) dx =

Zc f(x) dx + Zb f(x) dx

12

a

a

íî

c

Ò î ì î îö íê îïð ë

èíò ð ë

Åñëè ðí [a; b] èì þò ì ñòî í ð íñò îm 6 f(x) 6 M, òî

b

Z

f(x) dx 6 M(b a)

m(b a) 6 a

60

13 Ò îð ì î ñð í ì

[a; bЕсли], чтофункцияспр лиf(xо)рн прнстb ðûî í í [a; b], òî ñóù ñò ó ò ò ê ÿ òî÷ê c 2

Число

Z

f(x) dx = f(c)(b a)

a

1

b

Z

f( ) dx

í û òñÿ ñð

f(c) = b a

a

÷ íè ì ôóíêöèè f(x) í îòð ê [a; b].

14

ð ì î íèìî óë

ð ë

Åñëè f(x) èíò ðèðó ìèíò [a; b], òî jf(x)j ò ê èíò ðèðó ì í [a; b],

Если ункция f(x) нипр рыинт

ð ëí îòð ê [a; b], òî èíò ð ë ñ ï ð ïðì

í-

причТмо

р нциро

Zb

f(x) dx 6 Zb jf(x)j dx

15

a

a

по п р м нному рхн му

ным Диффрхним пр лом

F (x) = Zx f(t) dt

ëó

a

я ля тся п р оо р ной ля функции f(x), т. .

0

x

10

F 0(x) =

Z

f(t) dtA

= f(x)

x 2 [a; b]

16

Формул

@a

í -Ë

ной [a; b] функции f(x),

Åñëè F (x)

Ньютои п р о р ных н пр р

òî ñïð ëè ñëí óþbù ÿ

ôîйрмулниц Ньютон -Л й ниц

Z

b

= F (b)û F (a)

a

f(x) dx = F (x)ja

61

17

ÅñëèÇ ìфункцияí ï ð ìf(xííîé)

îðû í íë ííîìîòð

èíò[a; b],

функция x = '(t)

н пр ры но ифф р нцирупрм прн отр к [ ;к ], причр лм a = '( ), b = '( ),

òî

Z b f(x) dx =

Z

f('(t))'0(t) dt

18

a

ë ííîì èíò ð ë

ïî

ïð

Если функции u(x) и v(x)

û íî èôô

нциру мы н отр к

[a; b],Инто спрриролиниформулч стяминт риропр

ÿ ïî

чрстям

Z

b

u(x) dv(x) = u(x)v(x)j íè

b

v(x) du(x)

b

Z

19

a

êî

a

a

ïð ëîì

ííûé èíò ð ë ñ

НН со стнный

инт р л с скон счным чнымпр лом

+1

ïî îïð ë íèþ ð í +1

Z

f(x) dx b

a

Z f(x) dx =

lim

Z

f(x) dx

ëè ñóù

a

b!+1

a

ó ò êî ÷íûé ïð

л пр ой ч сти этой формулы, то н со

ò, то р интсхо ящимся.

Ан ло ично опр ляются инт р л

Åñ ííûé

ð ë

í ы тся схо ящимся, сли этот пр л н сущ ст у-

è èíò ð ë

b

+1

Z1 f(x) dx

b

lim

c

f(x) dx +

lim

f(x) dx

Z f(x) dx =

Z

Z

1

a! 1 a

62

b!+1 c

20 ò ëî

ñî ñò ííûé èíò ð ë ñ ñêîí ÷íûì ïð ëîì

Н со стнный инт р л +1

dx

;

> 0

Z

ñ ñêîí ÷-

21 Ïðè í ê ñð í íèÿ í ñîñò ííûõ ëÿ èíò ð ëî

ñõî èòñÿ, ñëè

1

ëè 6 1.

> 1 è ð ñõî èòñÿ,

íûì ïð ëîì

< +1. Р ссмотрим инт р лы

Пусть 0 6 f(x) 6 g(x) при a 6

If

= Z

f(x) dx ;

Ig

=

Z

g(x) dx

+1

+1

I

a

õî

ÿ

a

ð ë I

, ïðè÷ ì I 6 I .

Åñëè

схо иться, то

ð ë I

f

р схо иться, то

õî èòñ

èíò ð ë I

.

èíò

-

22 Ïð

ëü

нияитс

ляинт

g

лоинтс сконый чным

ð ñð ëîìí

f

f

g

g

Åñëè f(x) > 0, g(ïðèx) > 0í êè a 6 x < +1 è ñóùñо устт конныхчный пр рл

òî èíò ð ëû

lim

f

=6 0

+1

!+1 g(x)

+1

Z

f(x) dx ;

Z

g(x) dx

ñõî ÿòñ

èëè ð

a

a

õî ÿòñÿ î í ð ì íí .

23

ñõ

имость н со ст нных инт р ло с скон ч-

ЕслиА солютнх итс ян со ст нный инт р л

íûì ïð ëîì

+1

òî ñõî èòñÿ è èíò ð ë

Z

jf(x)j dx

a

+1

(2)

Z

f(x) dx

a

при этом инт р л (2) н ы тся солютно схо ящимся.

63

24

Если функция f(x)

ïð ðûëíîòïðèí îa 6 x < bííîè f(b)функций= 1, òî ïî îïð -

л ниюН нсо ст нный инт р л от н о рр ничнной функций р н

Zb f(x) dx =

lim

0

Zt f(x) dx

ëè ñóù

ó ò êî ÷íûé ïð

t!b

÷ ñòè ýòîé

рмулы, то н с

ë ïðî

ò, то р интсхо ящимся.

a

a

ñííî é

Àí ëî è÷íî îïð ëÿ òñÿ í ñî ñò ííûé èíò ð ë ôîò í î ð

Åñ ííûé

ð

í û òñÿ

õ

ящимся,

ñëè ýòîò

ë í

ñóù

ò ó-

функции

ñëó÷ ëf(a) = 1. Â ñëó÷ , êî f(c) = 1,

ïð c 2 (a; bíè÷) òî÷ê

ð ðû , èì ìb

f(x) dx =

lim

t

1 f(x) dx +

lim

b

Z

t1

Z

t2

Z f(x) dx

a

!c 0 a

!c+0t

25 т лонный н со ст нный инт р л от н 2î ð íè÷ ííîé ôóíê-

öèè

Í ñî ñò ííûé èíò ð ëb

dx

Z

;

> 0

26

Ï

(b x)

ð -

í ÿ ëÿ í ñî ñò ííûõ èíò ð ëî îò í

ñõî èòñÿ, ñëè

a

ëè

> 1.

< 1 è ð ñõî èòñÿ,

ничри нныхнк срфункцèé

Пусть 0 6 f(x) 6 g(x) при a 6 x < b и f(b) = g(b) = 1. Р ссмотрим

èíò ð ëû

If

=

Zb f(x) dx ;

Ig = Zb g(x) dx

I

a

ÿ

a

ð ë I

, ïðè÷ ì I

6 I .

схо иться, то схо

Åñëè èíò ð ë I

g

р схо иться, то р хоитситсяинтинт

ð ë I .

f

g

f

64

g

27

ПустьлоПр отf(льныйx) >о 0, приg(x)í>ных0кприсрфункцийaн6íè<я b ляи f(нb) со= gст(b) =нных1. Еслиинтсущр -

ст у т кон чный рпрничл

lim

f

=6 0

òî èíò ð ëû

g(x)

x!b

Zb

g(x) dx

Zb f(x) dx ;

ñõî ÿòñ

a

a

èëè ð õî ÿòñÿ î í ð ì íí .

ííûõ íò ð ëî îò í î ð

28

Ïó òü ôó êöè

ñõî

мость

í

f(x) н пр ры н сопристa 6 x < b è f(b) = 1. Åñëè ñõî èò-

ся нАо солютнст ныйяинт р л

Zb jf(x)j dx

нич нных функцèé

aZb f(x) dx

(3)

òî ñõî èòñÿ è èíò ð ë

ïðè ýòîì

íò ð

a

лютно схо ящимся.

(3) í û òñÿ

èê ìè ôóíê-

29

Вычисл ни

ïë

î ð íè÷ ííîé

f(x), y = g(x), f(x) 6 g(x),

и о умял сти,прямыми

= a, x =рb фычисля тся по

Ïëî

ь о л лсти, ощр н ч нн й р фик ми н пр ры ных функций y =

öèé

S = a (g(x) f(x)) dx

формулщ

b

30 Вычисл ни пл

Z

éíî

ñ

ñ êòîð

Ïëî

ü êðè îëèí éí

ð

онноктор ой р фик функ-

öèè r = r('), 6 ' 6 îù,

и'криr олинп ярныничкоорин уты, ычисля тся по

формулщ

,

S = 1

Z

r2

(') d'

2

65

нр скльно

Ãë

6

1

ë

счислх п р мнинныхфункций

ойнолько èíò

ûé

ë ñòü D

n нип р с к ющихся

ð ëéêè D , k = 1; : : : ; n. Ì êñ

è

è ì

ÿ÷

ê D

í û òñÿ÷ è ì òðîì ð

íèÿ è î í ÷ òñÿ

. П сть Интол с

Dнич н функция f(x; y). Вы р м к ойим

ÿ÷ ê

D

РОпрссм

èì î ð

íóþ î ë ñòü D í

плоскос

Oxy. Ð

ì î -

по о нтрой проти ольной точк

M (x ; y ) 2 D

и сости им èíòорьльную

сумму

k

k

k

k

k

k

k

n

S

ïëî

D .

n

X

; yk

Sk

= k=1 f(xk

îò ï

ë í

ëè ñóù ñòó ò êîí ÷ ûé

ë ñóìì) n ïð ! 0 è

иЕсит

íè îò ùè

üð è ÿ

îïðë ñòè D í ÿ÷ éêè D , íè îýò û îð òî÷ ê

M

(x

k

) 2 D

k

k

; y

, òî îí î î íè ÷ òñÿ

(1)

k

k

k

k