Высшая математика 1 курс

Ãë

1

1

ì

êîî

ñê ÿ îì

ïð

ò

плоск

трияосями коор

. Ò ÷ê

ï

н икулярных прямых.

O èõ ï

ñ ÷

систАня луитлитичлоямыоос ы ля

èõ

é è

îðè

û

òñÿ

÷ ëîì êîîð

т . О ну тиинкоо

í

ных осютйстио пол

þò

íò

-

íî

ïêë ðòî

льным счит ют

ï

í

ïð .

èò

îñü í

èíû

ослью

Ä

ñ

êîîð

кости сî

óõ

ìíî ï ð

сцисс

î î èí÷

Ox. Í

ò ê

лльниой

îñè, í

û

ìîé îñüþ îð èí ò

Ê î é

èò÷ê M ï

îñ

òè

ìíî î íî í ÷íî

ñîî

ò ó

ï þòð (x; y)

ми про кции очкиют оMитн р инOx

читOy соот тсттунно. П р ÿ êîîð è-

í îò îx í û òñÿ

ñöè

й тосчки

M,

ютор я коор инятслy ор ин той

è

í ÷

ì é Oy,

îë

êîî

льным с

í

ïð ë

ðõ.

йст ит льных чи

ë

прт точки M. ти

÷èñë

ÿþòñ

2

ì êîñ ð

ò

íè ê

ой точки M н

è ëó÷ Ox,

ы ст о о п ляринй

îñüþ. Ïîë

r = jOMj и п лярным

îîì ',

который р ин улу м

ó îñüþ Oxèó

îò-

точки M.

коор ин т сост ит и точки O,

û

îé ï ëþñ

Полярн сисит

плоскости н я

òñÿ

мя полярными коор

о т ми: п лярным

ð

ñîì,

êîì OM. Çí ÷ íè

у л ' опр л ны с точностью

î ñë ìî î 2 k (k

р ц ло число).

Д к рто ы и полярны коор ин ты точки M ся ны соотнош ниями

Åñ è íû

x = r cos ' ;

y = r sin '

рто ы коор ин ты (x; y) точки M, то полярный р иус и

ïîëярный у ол

êí õî ÿòñÿ è ñоотнош íèé

tg ' = y

ñ ó÷ ò ì òî î,

r = px2

+ y2

;

ê êîì ê ð íò ë èò òî÷ê M.x

3

Ð

ì ó óìÿ

òî

н плоско

формулсстояни

jABj =

p

÷êx1ìè) + (y2 y1)

Â

ê ðòî îé ñèñò ì êîîð èí ò

плоскости, р ñòèñ î

ì ó ó-

ìÿ òî÷ê ìè A(x1

; y1) è

(x2

; y2)

î î í

тся ч р jABj яниычисля тся по

2

2

9

4

íè

ïëîñ

îì

îø íèè

jAMДj :клjMBртоjы=отркоо, пркин нтыляютсочкия постиMформул(x; y), ннлящм йотнтр ок AB отнош нии

A(x1

; y1) è B(x2

x = x1

2

;

y = y1

2

; y2).

1+ x

1+ y

5

Î ù

ïðÿì é

плоскости

ÿ ïðÿì ÿíè

ïëîñêîñòè

òñÿ ê ðòî îé èñò ì êîîð èí ò

Ê

óð ííè ì

óð íни м прямой

плоскости. О р тно,

ñëè

которо

û òñÿ

линA Bйнымр ны нî рщимнн нулю, то ур н ни Ax + By + C = 0 т

6

ни прямой

Ax + By + C = 0

îòð

èì ò è

Ур нни прямой отр к

прямую

плоскости.

x

+ y = 1

Ç ñü (a; 0)

a

b

(0; b) точки п р скч хния прямой с ося и коор ин т.

7

Óð í

íè

прямой с

ëî ûì

ê

èöè

ì

ëè ïðÿì ÿ í ï ð

ëü îñè Oyîýôô, ò

ù óð í íè ì î

р шить относит льн

п р му нной y. В р ульто т нтоп лучим ур нонин

ïðÿ-

мойЕс у ло ым

коэффициллнтом

y = kx + b

ò í-

Ï ð ì

k, í

ы мый у л ым коэффици нтом прямой, он р

íñó ó ë

, êîòî

ÿ

ïðÿì ÿ î ð ó ò

üþ Ox. Ï ð ì òð b îð èí ò

Åñëè k1k2

= 1,óòî ' = =2.

10

8

Ó îë'ìì

ïðÿìûìè

н плоскости

точки птрр с

ч ния прямой с

îñüþ Oy.

y = k2x + b2

ïð

k1k2 =6

y = k1x + b1

è

1 опр ля тся формулой

k1

tg ' =

k2

1 + k1k2

9

кУслости

п р лл ль ости и п рп н икулярности прямых н плос-

Прямыия

y = k1x + b1

k1

è

y = k2x + b2

н плоскости п лл льны,

ñëè

= k2

и п рп н икулярны, сли

1

10

Ï

к прямых н пл

k1 = k2

ê ïð

í ïë êîстиостиэт

со окупность прямых н плоск сти,

прохПучоящих ч р

ííóþ òî

M0

(x0; y0). Ур н ни прямой с у лî ûì

коэффици ямыхо k и ннос

yïó÷êy0

= k(x

x0)

èì

ò è

A(x x0) + Bïó(y÷ê y0) = 0

О щ ур нт ни прямой и о нно о

ïèñû òñÿ ò ê

í-

11

Ó

ни прямой н плоскости, прохо

é ÷

íû

точки

Урр нни прямой н плоскости, ïðîõî ÿù й чящр р нны точки

M(x1

; y1) è N(x2; y2), èì ò è

y1

=

x

x1

y

12

Ð

y2

y1

x2

x1

точки о прям й

í

плоскости

Ð ñ

d ооточки M0

(x0; y0) опрямой Ax+By+C = 0 н плоскости

опр лсстоянитс п формул

d =

jAx0

+ By0

+ Cj

13

Ó

pA2

+ B2

íè îêðó íî òè

Урр ни окру ности ñ ö íòðîì òî÷ê M0(x0; y0) и р иусом R им т

è

(x x0)

2

+ (y y0)

2

= R

2

11

14

Ó

íè êðó í

òðè÷ ñêîé ôî

ñîì R ï -

р мУтррич нинскойокруформностиимоститцинтроп р мточк M0(x0

; y0) èðì

15

x = x0 + R cos t ;

y = y0 + R sin t ;

0 6 t < 2èó

jF1F2j ллипс= 2c

ôî

усным

ññòî ÿíòè îì.

оч к плоскости, сумм

р сстояний от

ê îé

îì í

òñÿ ìí

ñ

õ

êîò ðûõ î

õ

î÷ ê F1

è F2

сть остоянн

-

í , ð

я 2a. Точки F1

è F2

í û

ются фокус ми эллипс ,

рясстоянличи

16

К нонич ско ур ур нин эллèïñ

èïìñ ò è

К нонич ско

íè ýëë

= 1

x

+ y

a2p

a

2 b2

2

м л я п луось эллипс . К но

сь a ольш я полуось, b =

c

õî èò ÷

фокусы F1

( c; 0)ëëèïF2

(c; 0), т н ч коолкоор ин т н хо

ÿ

íè÷ ñ

óð

н ни описы т э

ñ ñèñ

ì

ð

ò, îñü Ox êî îðîé

Çñ ð èíêî î

к F1F2. Отнош ни e = c=a < 1 н ы инòñя эксц нтритсит -

прот м эллипстр.

ñêî

íè

17

a и b и с ц нтром

ПП р мтртричско ур

ни эллипýëëипсолуосями

òî÷ê M0(x0

; y0) èìò èóð í

y = y0 + b sin t ;

0 6 t < 2

18

x = x0 + a cos t ;

Ãèï ð ë

û

ÿ ìí

ò ÷ ê ïëîñ

òè, ìî óëü ð í ñòè

Ãèï

ð î îé í

ð ññòî

îò

ой итскот

ðûõ

ò î óõ

ííûõ

êîñ÷ ê F1

F2

ñòü ï

òî-

ÿíí ÿ

личин , р н я

2a. Ò

F1

è F2 í û

я фокус ми ип р ослы,

19

К ноничкс о

íè èï ð îëû

р сстояний jF1F2j = 2c

ôîчкиуным

ð ññò ÿíè þòñì.

К нонич ско ур ур нин ипо с

ëû èì ò è

xð î y

= 1

a

2

2

b

12

луПхкоосритсbройьюм=я.трОтнпрохac2íðøaûèí2íè. ÷Îíîòñÿîeòð= c=aïèфокусыкйс>ûòF11èòFí2òF.льной1ы(ипc;р0)тсяполуи эксцFосью,2(c;ñèñ0)нтрисп,т рìнитмчêîîðтртломbкооринипмнимò,ðèíîñüîëûéò ïîíOx. -

20

Àñèìптоты èï ð îëû

è

y = b x

Прямы

y = b x

a

a

н ы ются симптот ми ип р олы

y2

= 1

x2

Ïðè

íèè

a

b

î÷êè èï ð îëû í ñкон чность, р сстояни от этой точки

î î íîéè

симптот стр мится к нулю.

21

Ï

ë

òñÿ ìí

т о то к плоскости, р ноу л нных от

îëîé í

ой точки F и ы нн й прям й L. Точк

F н ы тся фокусом, прям я

L ннПиррктр сой п р олы.

22

îíè÷

êî

íèî ñ

ðî ííóþ ïð

ñü Ox, ñ ,

ð ê F C î î

÷èì óðp. Ï íèì ÿìóþ,ïîñ

×Êð í

ôîêó

ïðî

ì ïð

полын икулярную и

ктрис

ò-

н чим точку пс

÷ íèÿ ýòîé

ям й с ир ктрисой

й C. Длину

îòð

F C

ð ñ ÷ ëî êîîð

ï òð.

 ò êîé

систямую

ук ро ин т п р оинуло

èì ò óð í

íè

2

ир ктрисы x = p=2,

í û ê

ìî

îíè÷ ñ

. Пр инэтом, ур н ни

п р носП р нллч лькоор ин т O инточку O (a; b) с яинны

сл инующими сооòíî-

коор ин ты фокнус , очким

y

= 2px

, ð íû F (p=2; 0).

ò

23

Î í

íûé ï í ñ

ìû êîîð

ð î

òüñÿ

ó

í

ê ðòî ñèñ

ìð îорсин

ìî ò

. Êîî

èí òû (x; y) êîîò ÷êè

M

ñò èñò ì Oxy

êîîð

òû (x ; y ) îé

óþ

ðòî ó ñ ñ

ó

ð

т O0xOxy0 0 при помпрщио п р

û ëüíî î ï ð

точки

M

сист мт O x y при п р лл льном с и осллй коор ин

è

шосниями

0

0

0

0

0

0

x = x0

+ a ; 13

y = y0

+ b

24

Ïî

ìû

îî

ò

р ороты. Коорся ин ру

О нк рторотк рту

истму коом ркоо

т O0тx0Oxy0 примоп мощит

(x; y) точки

M ñòè

ì Oxy

0

0

) т й точки M

ñè-

êîîð èí òû (x

; y

ò ì

0

0

y

0

прсипо

ðîò îñðé èí ó îë ' îêðó íïð÷ îë êîîð èíòü

ñ ÿ íòû

O

x

ñуюл ующими соотн шот ниями

0

0

0

0

sin ' ;

cos '

25

x = x

cos ' y

y = x

sin ' + y

íè êðè îé òî

î ïîðÿ ê

ÎÎ ù óðóð íèí êðè îé

торо о проря к им т и

26

Ï

Ax

2

+ Bxy + Cy

2

+ Dx + Ey + F = 0

íè î ù

íèÿ

é òîðî î ïîðÿ ê ê ê -

Ïðè ï

х к по хо оящурй но ой систкрим окоор ин т о щ ур н ни

кри ойриторо о

ïîðÿ ê2

2

нонич

скому

è ó

ù òñÿ

Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0

òñ

ó ò

è î

ÿ ê ê í íè÷

êîìó

è

, которому соо

ë

ý

ñ,

èï ð îë , ë

.

ï ð

ë , ëè î

èëè î íò ïðÿì ÿ,

ò ÷ê , ëè

ïó

ìí

è

èòñÿ

óýò . Í

ï ð îì ýò ï ñ

Èñ ìî

р оитсни

упром щьюллипо

лирото

î ìñÿñ

îò ñë

ìî î, ñ ï ð ù î ïðîè ò -

ни коор инпрт xоy .

осУ ол оп протт о' опр оля тся формулой

0

0

tg 2' =

A

B C

ëè A =6 C,

ì

' = =4. Н ором эт п при помощи

è A = C

пср лл льн опр р нос прихо им

к иском му ур

íèþ.

û þòñÿ îñ

ìè ò ñ

ññ,

îðð èí ïïëèêютс. Коорнст

н ты (x; y;Oz) точки

Ä

ñ

ñòì

ð èí ò

трпросн

îñ îèò è

õ

î

M пр к лртояются к к коор

òû ïðî êöèé ýòîé

î÷êè í

и коор инимнт.

27

ñè

ì êîî

просын ч

ð

ÿ ÷ ð Ox, Oy,

-

í ÷ ë ì

òñ÷ ò

. Îñè

î

п рпДнк икул рных чи л ых ос й (н

мых осями коор интр т) с о щим

Плоскости Oxy,

Oyz öèOzy èíû

ются коор ин тными плоскостями.

14

ìÿ28

ÂòîÐ÷ê ìè A(îéx1;ñèñòyì1; z1м) уикооB(óìÿx2ин; y2точк; z2), омиотрн чнпростттся, ðч нстр ояниjABj ми ычисляу у-

тся п сстоянифортмул jABj = p

(x2

x1)2

+ (y2

y1)2

+ (z2

z1)2

íèè jAMj : jMBîòðj = èí,ê

прострляютсянст формул м

îø íèè

29

íè

òû

ííîì

ÄÄê ëðòî û êîî

÷êè M(x; y; z),

ÿù é

îòíтр ок AB отнош -

x =

1 +ïð ;

y =

1 + y

2

;

z =

1 + z

2

A(x1; y1

; z1)

x1 +

x2

y1

+

z1 +

B(x2

; y2; z2).

è

ïðî êöèè P ýò й точки н

îîð-

поЦилиярíûì ðè÷ð í ò

r = jOP j

30

è êîîð èí òû

с я ны соотнкоошчкинс ями

простр ст мо н

îïð ëè ü ïï

ò é z

Ïî

ò

èí òíóþ ïëîñ

òü Oxy. Â

(r; '; z)

û þòñÿ öè

ликич сê

êîîð èíî ò ìè ò

M

. миД кличинырто н и цилин рич ски

коолининрты

точкими

31

x = r cos ' ;

y = r sin ' ;

z = z

Ñô ðè÷ ñê êîî

òû

ò

Oxz è OMz. Â ëè÷

íû (r; '; )

îòð

м OMличину ломи:'

ïëîñ

ðè÷

x = r cos ' sin èí;

y = r sin ' sin ;

z = r cos ó

ùè

ê ÿ ñ ñò ì êîîð èí ò ò ïîë

ни точки M сл

ìè òð ìÿ ñ

ð

ññò ÿíè ì r = jOMjî, ó ëîì

ì

îñü óþOz è

í û þòñÿ

ðè÷ ñêèì

êîîð èí

ìè òî

M. Ä ê ðòî û

è ñô ðè÷ -

скиСфкоор инсфты

точки с я ныу соотнкосшямин ямчки

32

ðû

ÿ í

ë ííûé îòð î AB, ó

òîðî î

A

ð ññì

êòîð ì í

ð

òñÿ û ê òñí ÷ ë ,

î

ê ê

êîí ö êòîð . Â êòîð î î-

í ÷ êòñÿ

!

ëè î î

îé÷ê

é ~a. Äëèí îòð ê AB í û ÷ê òñÿ

AB,

моуВл

м иликт орк ABк

è î î íïð÷ í òñÿ jABj (èëè j~aj).

!

óê!î

15

33

ð îñòü

ро . Р нст о кторо

ны рны,ВКоллинютсякт имы,коютллино инщир конымикто. Вмноктойулипрыямойинн ыприлиютсялннияпр.р ными,лл льныхслипрямыхони коллин -

34

Еслитср ктоин ~a

èì ò

í ÷ ëî òî÷ê B(x1

; y1

; z1) è êîí ö òî÷ê

Êîî

òû êòîð

í ÷ ëî êîîð èí ò, ò. . ïð ñò

èòü

Åñëè ïîì ñ

í ÷ ë

êòîð ~a

î í

ë

îòð êî

OA, òî

р ин ты (x; y; z) точки A н

-

þòñÿ êîî

ннымтить