Герасимов Адаптивное управление

В пособии приводятся методические рекомендации к выполнению лабораторных работ по курсу “Адаптивное и робастное управление”. Лабораторные работы направлены на изучение методов построения адаптивных наблюдателей состояния линейных параметрически неопределенных объектов и методов синтеза следящих систем управления по состоянию в условиях параметрической неопределенности модели объекта управления, а также генераторов задающего и возмущающего воздействий.

Пособие служит для выполнения лабораторного практикума при подготовке инженеров по специальности 220201.65 «Управление и информатика в технических системах», бакалавров и магистров по направлению: 220200.62 «Автоматизация и управление».

2

3

Введение

Целью работ является освоение методов адаптивного и робастного управления, основанных на аппарате функций Ляпунова. В ходе выполнения работ предусматривается изучение в качестве примеров простейших алгоритмов адаптивного и робастного управления объектами первого порядка, на основе которых последовательно синтезируются блоки регулятора, обеспечивающие компенсацию параметрической неопределенности модели многомерного объекта и моделей генераторов задающего и возмущающего воздействий. В отдельную работу вынесен метод построения адаптивного наблюдателя вектора состояния параметрически неопределенного объекта.

Перед выполненим лабораторных работ студентам необходимо освоить базовые курсы теорий линейных и нелинейных систем.

Для выполнения лабораторных работ необходимо предварительно изучить теоретический материал, относящийся к работе и освоить пакет программ MatLab версии не ниже 7.01 со средой моделирования Simulink версии не ниже R14.

Выполнение каждой работы включает проведение компьютерного моделирования, создание в печатной форме отчета (пояснительной записки) и защиту работы. Защита предполагает индивидуальную дискуссию преподавателя со студентом, в ходе которой выявляется качество приобретенных студентом знаний и навыков.

Отчет необходимо оформлять согласно правилам ГОСТ 2.105-95 ЕСКД . Отчет должен содержать:

1.Титульный лист, выполненный согласно образцу, представленному в приложении 1;

2.Цель работы;

3.Основные теоретические выкладки: формулы, диаграммы, схемы и т.п. с пояснениями;

4.Расчетную часть, в которой согласно порядку выполнения работы приводятся расчеты на основе формул либо листингов программ с пояснениями, результаты моделирования в виде схем и графиков. В обязательном порядке подписываются схемы, таблицы, листинги программ, скриншоты и т.п, а также оси графиков и диаграмм;

5.Выводы по выполненной работе.

4

Лабораторная работа №1: Принципы построения систем адаптивного управления невозмущенными объектами

Цель работы: освоение принципов построения систем адаптивного управления на основе решения задачи слежения выхода объекта первого порядка за эталонным сигналом.

Методические рекомендации. До начала работы студенты должны ознакомится с анализом устойчивости нелинейных систем методом функций Ляпунова. Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. Рассмотрим решение задачи адаптивного слежения, начиная с постановки, и заканчивая структурной схемой закмнутой системы.

Постановка задачи

Дан объект, представленный моделью вида:

неизвестный постоянный параметр.

Цель управления заключается в компенсации неопределенности θ и обеспечении следующего целевого равенства:

где g эталонный сигнал, λ > 0 параметр, задающий время переходного процесса

эталонной модели.

Решение задачи

Положим, что параметр θ известен. Тогда, взяв производную ошибки ε по времени, с учетом (1.1) и (1.3), получим:

Для экспоненциального стремления ошибки к нулю должно выполняться равенство:

ε& = −λε ,

которое с учетом (1.4) позволяет вывести закон управления

ε& = −λ xm + λ g −θ x −u = −λε ,

или

−λ xm + λ g −θ x −u = −λε = −λxm + λx .

5

Таким образом, задача синтеза регулятора сводится к задаче нахождения функции θˆ(t) , которая обеспечит устойчивость замкнутой системы и цель управления (1.2). Для

нахождения θˆ(t) проведем ряд алгебраических преобразований и воспользуемся методом функций Ляпунова. Подставим последнее выражение в модель (1.1):

x& =θ x −θˆx −λx + λ g =θ~ x −λx + λ g ,

где θ~ =θ −θˆ параметрическая ошибка. Сформируем модель ошибки управления:

ε& = x&m − x& = −λ xm + λ g −θ~ x + λx −λ g = −λε −θ~ x

Исходя из условия асимптотической устойчивости замкнутой системы или положения равновесия ε* = 0 , что эквивалентно цели (1.2), алгоритм, генерирующий функцию θˆ(t) имеет вид:

Нетрудно видеть, что производная функции Ляпунова будет отрицательной:

V& = −λε2 < 0 ε ≠ 0.

Алгоритм, формирующий оценку θˆ называется алгоритмом адаптации, а параметр γ коэффициентом адаптации.

Таким образом, алгоритм адаптивного управления, обеспечивающий цель (1.2), представляется настраиваемым регулятором (1.6) и алгоритмом адаптации (1.9). Алгоритм наделяет замкнутую систему следующими свойствами:

1.Устойчивость замкнутой системы;

2.Асимптотическое стремление ошибки ε к нулю;

6

8

Лабораторная работа №2: Принцип построения систем адаптивного и робастного управления возмущенными объектами

Цель работы: освоение принципов построения систем адаптивного и робастного управления на основе решения задачи слежения выхода возмущенного объекта первого порядка за эталонным сигналом.

Методические рекомендации. До начала работы студенты должны ознакомится с анализом устойчивости нелинейных систем методом функций Ляпунова. Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. Рассмотрим пример задачи адаптивного и робастного слежения выхода возмущенного объекта за эталонным сигналом. Приведем несколько решений поставленной задачи. При этом воспользуемся результатами, приведенными в лабораторной работе №2.

Постановка задачи

Дан объект, представленный моделью вида

&

где δ ограниченное возмущение, удовлетворяющее неравенству δ(t) ≤δ .

Цель управления заключается в обеспечении следующего целевого неравенства:

где , T точность работы системы управления и время ее настройки соответственно, xm (t) эталонный сигнал, генерируемый моделью (1.2). Предполагается, что параметры

и T можно изменять в соответствии с требованиями, предъявляемым к системе. Приведем три решения поставленной задачи.

Решение №1

В качестве решения расмотрим просинтезированный в работе №1 регулятор (1.6) и (1.9) и аналогичным образом построим модель ошибок:

Далее проведем анализ устойчивости замкнутой системы с помощью функции Ляпунова (1.8) с учетом последнего выражения и алгоритма адаптации (1.9).

≤ − λ2 ε2 + 21λ δ 2 ≤ − λ2 ε2 + 21λ δ 2

9

Из полученного неравенства следует асимптотическое стремление ошибки ε к некоторому ограниченному множеству, определяемому верхней границей сигнала

возмущения δ и параметром λ . При этом точность системы управления может быть увеличена путем увеличения λ . Однако из приведенного анализа не следует

ограниченности сигнала θˆ . Если продолжить анализ и предположить, что в случае, когда переменная x отделена от нуля (например, при решении задачи стабилизации), а ошибка ε уходит в окрестность и остается в ней на постоянном ненулевом уровне, то

θ&ˆ = −γxустεуст = C = const ,

откуда следует

θˆ = Ct

и неограниченный рост оценки θˆ с течением времени.

Таким образом, представленный регулятор (1.6) и (1.9) в общем случае не является робастным по отношению к внешнему возмущенению, что мотивирует необходимость модификации алгоритма (1.9).

Решение №2

Представим модификацию алгоритма (1.9) в следующей статической форме:

Статическая зависимость гарантирует ограниченность сигнала θˆ в случае, если ошибка ε ограничена. Проанализируем устойчивость замкнутой системы управления со статической связью (2.4) и регулятором (1.6). Выберем функцию Ляпунова

и возьмем ее производную. Учитывая (2.4) и модель ошибки (2.3), проведем алгебраические преобразования: