Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Герасимов Адаптивное управление

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

364.62 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Лабораторная работа № 4. Робастное управление линейным многомерным объектом по состоянию.

Цель работы: освоение принципов построения робастной системы управления многомерным объектом на основе метода функций Ляпунова.

Методические рекомендации. До начала работы студенты должны ознакомится с принципом построения алгоритмов робастного управления на основе стандартной модели ошибки с измеряемым состоянием. Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. Рассмотрим пример задачи робастного управления многомерным объектом с использованием эталонной модели. При этом воспользуемся результатами решения аналогичной задачи для объекта первого порядка (см. лабораторную работу №2).

Постановка задачи

Дан возмущенный объект, модель которого описывается уравнениями вида

x = Ax +b u +δ ,	x(0)	(4.1)
&
y = C x ,		(4.2)

где δ вектор возмущающих воздействий, удовлетворяющий неравенству δ(t) 2 ≤δ . Цель управления заключается обеспечении следующего целевого неравенства:

xM (t) − x(t)	2 ≤ ,	t ≥T,	(4.3)

где , T точность работы системы управления и время ее настройки соответственно, xM (t) эталонный сигнал, генерируемый моделью (3.4), (3.5).

Приведем два решения поставленной задачи, основанные на изученных в лабораторной работе №2 алгоритмах робастного управления и разработанного в лабораторной работе №3 базового алгоритма адаптивного управления.

Решение №1

Решение основано на законе управления (3.10) и модификации алгоритма (3.13), представленной в следующей статической форме:

θˆ = γxkT Pe ,	(4.4)
где γ > 0 коэффициент нелинейной обратной связи,	P матрица, определяемая из

решения (3.12), k = [0 0 L 0 1]T , e = xM (t) − x(t) ошибка управления.

Система управления замкнутая алгоритмом робастного управления (3.10), (4.4) обладает свойствами аналогичными свойствам алгоритма (1.6), (2.4) в системе управления объектом первого порядка (2.1). Анализ замкнутой системы может быть проведен на основе модели ошибки (3.11) и функции Ляпунова вида:

V =eT Pe .

Решение №2

Решение также основано на законе управления (3.10) и модификации алгоритма (3.13), представленной виде

&	(4.6)
θˆ = −σθˆ +γxkT Pe ,	(4.6)
где γ > 0 коэффициент адаптации, σ > 0 коэффициент линейной обратной связи,		P
матрица, определяемая из решения (3.12), k = [0	0 L 0 1]T , e = xM (t) − x(t)

ошибка управления.

Система управления замкнутая алгоритмом робастного управления (3.10), (4.6) обладает свойствами аналогичными свойствам алгоритма (1.6), (2.7) в системе управления объектом первого порядка (2.1). Анализ замкнутой системы может быть проведен на основе модели ошибки (3.11) и функции Ляпунова вида:

V = eT Pe + 21γ θ~Tθ~ ,

где θ~ =θ −θˆ вектор параметрических ошибок.

Порядок выполнения работы

1. На основе результатов, полученных при выполнени лабораторной работы №3, модифицировать алгоритм адаптации (3.13) и сформировать нелинейный закон робастного управления (3.10), (4.4) и закон адаптивного и робастного управления (3.10), (4.6). Построить в пакете Simulink модели соответствующих замкнутых систем управления, приняв в качестве возмущения следующую функцию:

δT (t) = [0.5sin10t + Λ(t) 0.2 cos12t + Λ(t)]T ,

где Λ(t) белый шум с ограниченным спектром, мощностью 0.00001 и интервалом

дискретизации 0.011.

2. Провести эксперименты с системой робастного управления, замкнутой алгоритмом (3.10), (4.4) для трех разных коэффициентов γ при δ(t) = 0 и δ(t) ≠ 0 .

По результатам каждого эксперимента построить траектории x(t) и xM (t) на одном графике, e(t) на другом.

3. Провести эксперименты с системой робастного управления, замкнутой алгоритмом (3.10), (4.6) для выбранного параметра σ и двух различных коэффициентов γ , принятых в п.п.2 при δ(t) = 0 и δ(t) ≠ 0 . Далее уменьшить параметр σ и повторить

предыдущий эксперимент для δ(t) = 0 и δ(t) ≠ 0 и одного из выбранных коэффициентов

γ .

По результатам каждого эксперимента построить траектории x(t) и xM (t) на одном графике, e(t) на втором и θ~(t) на третьем.

1 Для формирования сигнала “Белый шум” в пакете Simulink используется блок “Band-Limited White Noise”

Лабораторная работа №5: Параметризация модели объекта управления (способ

№1)

Цель работы: освоение способа параметрического представления выходной переменной и вектора состояния линейной стационарной модели объекта.

Методические рекомендации. До начала работы студенты должны ознакомиться с параметризованным представлением линейных стационарных моделей “вход- состояние-выход” [Ник Фрад] и построить схему моделирования параметризованного объекта. Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. Параметризацией модели объекта или просто объекта называется представление его выходной переменной или вектора состояния в виде произведения матрицы, содержащей параметры объекта, на матрицу известных функций. В случае, если выходная переменная является скаляром, то ее параметризованное представление будет представлять собой скалярное произведение двух векторов.

Для пояснения принципа составления параметризованных форм моделей рассмотрим простую задачу. Дан объект управления первого порядка:

x = −ax +bu, x(0)
&	(5.1)
	(5.1)
y = x,
где a , b параметры объекта, x переменная состояния,	y выходная переменная.

Необходимо представить (5.1) в параметризованной форме.

Применим к правой и левой частям уравнения состояния оператор передаточной функции

H (s) =

где s оператор Лапласа, k

s + k

положительная константа, и получим

s + k

[x]= − s + k [ax]+ s + k [bu].

Проводя простейшие алгебраические преобразования, получаем:

[x]= −a

[x]+b

[u],

s + k

+ k

s ± k

[x]= −a

[x]+b

[u],

s + k

+ k

x =

[x]− a

[x]

[u]= (k − a)

[x]+b

[u],

s + k

+ k

s + k

Введем обозначения:

ξ0 =

[x],

v0 =

[u]

s + k

и заменим x на y . После чего получаем

y = (k − a)ξ0 +bv0 .

(5.2)

Рассуждая аналогичным образом, можно построить параметризованое представление для объекта n -ого порядка, представленного в форме “вход-выход”:

y(n) + a

n−1

y(n−1)

+ a

n−2

y(n−2)

+... + a

y = b um +b um−1

+... +b u ,

(5.3)

m−1

Выберем гурвицеву передаточную функцию вида:

H (s) =

K (s)

sn +kn−1sn−1 +kn−2 sn−2 +... +k0

Полагая начальные

условия

y(i) (0) ,

i =

равными нулю, применим

оператор

0, n −1

передаточной функции к правой и левой частям уравнения (5.3). Проводя ряд алгебраических преобразований, получаем общее параметризованное представление регулируемой переменной:

n−1

y = ∑(ki

− ai )

[y]+ ∑bi

[u]

K (s)

K(s)

или

i=0

y =θT ω ,

(5.4)

где

= [k0 − a0 , k1 − a1, ..., kn−1 − an−1,b0 ,

b1, ..., bm ]T ,

θT

ωT

[y],

[y], ...,

sn−1

[y],

[u],

[u], ...,

[u] T .

K (s)

Решим задачу параметризации вектора состояния модели “Вход-состояние-выход”

вида:

x = Ax +b u,

x(0),

(5.5)

y = C x,

где матрицы модели “вход-состояние-выход” представлены в канонической форме:

− an−1		1	L 0

A = − an−2		0	0 ,	bT = [0, 0,..., 0,bm ,bm−1,..., b0 ],	C = [1, 0, L, 0].
	M		O 1
	− a0	0
	− a0	0	0

Полагая начальные условия x(0) равными нулю, применим к правой и левой частям уравнения состояния модели (5.5) оператор матричной передаточной функции вида

Φ(s) = (sI − A0 )−1 ,

где I единичная матрица размерности n ×n , A0 гурвицева матрица представленная в канонической форме:

	− kn−1		1	L	0
A	= − kn−2		0	O	0
0		M		O	1
		− k0	0		0

Далее проведем алгебраические преобразования:

(sI − A0 )−1[x&]= (sI − A0 )−1 A[x]+ (sI − A0 )−1b[u],

(sI − A0 )−1 s[x]= (sI − A0 )−1 A[x]+ (sI − A0 )−1b [u],

(sI − A0 )−1 (s ± A0 )[x]= (sI − A0 )−1 A[x]+ (sI − A0 )−1b [u],

(sI − A0 )−1 (s − A0 )[x]+ (sI − A0 )−1 A0 [x]= (sI − A0 )−1 A[x]+ (sI − A0 )−1b [u], x = −(sI − A0 )−1 A0 [x]+ (sI − A0 )−1 A[x]+ (sI − A0 )−1b [u],

x = (sI − A0 )−1 (A − A0 )[x]+ (sI − A0 )−1b [u].	(5.6)
Учитывая определения матриц A , A0 и равенство	y = x1 (в силу определения
матрицы C ), имеем:

		− k		1	L	0		− a
(A − A )[x]=			n−1						n−1
(A − A )[x]=	− − kn−2			0	O	0	+ − an−2
0		M			O	1		M

		− k0		0				− a0
		− k0		0		0		− a0

1	L 0		x
			1
0		0	x2	=
	O	1	M
0
0		0	xn

kn−1 − an−1

kn−2		− an−2	y.
		M
	k0	− a0
	k0	− a0

Подставляя последнее выражение в (5.6), окончательно имеем:

					0
	kn−1	− an−1				M
	kn−1	− an−1				M
x = (sI − A )−1				)−1			[u]=
x = (sI − A )−1	kn−2	− an−2 [y]+ (sI − A		)−1		0	[u]=
0			0
		M			bm
		− a0
	k0	− a0				M

					b
						0
n−1			m
= ∑(ki − ai )(sI − A0 )−1 en−i [y]+ ∑bj (sI − A0 )−1 em− j [u],
i=0			j=0

где eiT = [0,..., 0, 1, 0,..., 0]T . В итоге получаем параметризованное представление вектора
i
состояния объекта:
n−1		m
x = ∑(ki − ai )(sI − A0 )−1 en−i [y]		+ ∑bj (sI − A0 )−1 em− j [u],
i=0		j=0
или с учетом определения θ
n−1	m
x = ∑θi+1	(sI − A0 )−1 en−i [y]+ ∑θj+1+n (sI − A0 )−1 em− j [u], ,		(5.7)
i=0	j=0

Следует отметить, что для параметризации вектора x достаточно измерять входную и выходную переменные. По сути выражение (5.7) представляет собой наблюдатель состояния аналогичный известному в классической теории управления наблюдателю Люенбергера.

Для удобства моделирования в пакете программ Simulink векторные передаточные функции (sI − A0 )−1 en−i можно представить как выходы блока State-Space библиотеки Linear, в котором в качестве матриц A , b , C , d задаются A0 , en−i , единичная матрица размерности n ×n (функция eye) и нулевой вектор из n соответсвенно.

Порядок выполнения работы

1. На основе исходных данных, приведенных в таблице 4.1, построить в программе Simulink модель объекта в каноничекой форме (5.3). Обеспечить возможность задания

начальных условий	y(i) (0), i =			в
		0, n −1. Рассчитать элементы вектора θ

параметризованной модели (5.4). Построить эту модель в Simulink.

Врезультате моделирования потроить график выходных переменных y моделей

5.3и 5.4 при ненулевых начальных условиях модели объекта (5.3).

2. На основе исходных данных, приведенных в таблице 4.1 построить в программе Simulink модель объекта (5.3). Обеспечить возможность задания начальных условий

xi (0), i =1, n . Построить параметризованную модель (5.7) в программе Simulink.

Провести моделирование при ненулевых начальных условиях модели (5.3). Построить два графика, отражающих поведение переменных состояния моделей 5.3 и 5.7. На первом графике показать переменные x1 , на втором переменные x2 .

3.Сделать выводы по каждому пункту работы.

	Таблица 5.1. Варианты заданий
		Коэффициенты			Коэффициенты			Сигнал для проверки
	передаточной функции				Коэффициенты			Сигнал для проверки
Вар.	передаточной функции					фильтра		параметризованной
Вар.		объекта ( n =		2 )		фильтра		параметризованной
		объекта ( n =		2 )				модели
	a1	a0	b1	b0	k1		k0	модели
	a1	a0	b1	b0	k1		k0
1	1	1	1	2	0,2		0,01
2	2	1	1	3	0,02		0,01
3	3	1	1	4	0,4		0,04
4	4	1	1	5	0,08		0,04
5	5	1	1	6	0,6		0,09
6	1	2	1	7	0,18		0,09
7	2	2	1	8	0,8		0,16
8	3	2	1	9	0,32		0,16
9	4	2	2	3		1	0,25
10	5	2	2	4		0,5	0,25
11	1	3	2	5	1,2		0,36
12	2	3	2	6	0,72		0,36
13	3	3	2	7	1,6		0,64
14	4	3	2	8	1,28		0,64
15	5	3	2	9		2	1	u = sin t + 0.5cos 2t
16	1	4	3	4		2	1
17	2	4	3	5		4	4
18	3	4	3	6	2	2	4
19	4	4	3	7		6	9
20	5	4	3	8	3	2	9
21	1	5	3	9		8	16
22	2	5	4	5	4	2	16
23	3	5	4	6		1	0,25
24	4	5	4	7		0,5	0,25
25	5	5	4	8	1,2		0,36
26	1	6	4	9	0,72		0,36
27	2	6	5	6	1,6		0,64
28	3	6	5	7	1,28		0,64
29	4	6	5	8		2	1
30	5	6	5	9		2	1
					27

Лабораторная работа №6: Синтез адаптивного наблюдателя состояния линейного объекта

Цель работы: освоение процедуры синтеза адаптивного наблюдателя линейного объекта.

Методические рекомендации. До начала работы студенты должны ознакомится с принципом параметризованного представления вектора состояния линейного объекта (см. лабораторную работу №5) и с построением алгоритмов адаптации на основе стандартных моделей ошибок [Ник Уш]. Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. На основе результата, полученного в разделе “теоретические сведения” лабораторной работы №5, рассмотрим задачу адаптивного наблюдения вектора состояния параметрически неопределенного линейного объекта.

Постановка задачи. Дан объект управления:

					x = Ax +b u,			x(0),
					&				(6.1)
									(6.1)
					y = C x,
где x недоступный					прямому измерению вектор состояния,				u , y измеряемые
значения входа и выхода объекта,
	− an−1		1	L 0

A =	− an−2		0	O	0 ,	bT	= [0,	0,..., 0,bm ,bm−1,..., b0 ],	C = [1, 0, L, 0],
		M		O	1
		− a0	0
		− a0	0		0

ai , i = 0, n −1, bj , j = 0, m неизвестные коэффициенты модели.

Цель управления заключается в построении векторной оценки xˆ такой, что

lim	x(t) − xˆ(t)	= 0 .	(6.2)

t→∞

Для решения задачи используется параметризованное представление выходной

переменной (5.4) и вектора состояния (5.7). Заменим в (5.4) параметры θ на оценки θˆ и сформируем настраиваемую модель объекта:

yˆ =θˆT ω ,

(6.3)

где yˆ оценка переменной y . Введем в расмотрение ошибку наблюдения:

ε = y − yˆ

и, учитывая (5.4), (6.3), получаем:

ε =θ~T ω ,

(6.4)

где θ~ вектор параметрических ошибок. Последнее выражение представляет собой стандартную статическую модель ошибок, на основании которой при помощи функции

Ляпунова V =θ~Tθ~ / 2γ строится алгоритм адаптации вида:

&	(6.5)
θˆ = γωε ,

где γ > 0 коэффициент адаптации. После замены в (5.7) параметров θ на их оценки θˆ , получаем оценку вектора состояния:

n−1	m
xˆ = ∑θˆi+1	(sI − A0 )−1 en−i [y]+ ∑θˆj+1+n (sI − A0 )−1 em− j [u].	(6.6)
i=0	j=0

Таким образом, адаптивный наблюдатель, обеспечивающий выполнение условия (6.2), состоит из настраиваемой модели (6.3), алгоритма адаптации (6.5) и алгоритма оценивания вектора состояния (6.6).

Алгоритм адаптации (6.5) наделяет систему наблюдения следующими свойствами :

1.Все сигналы в системе ограничены при условии устойчивости объекта и ограниченности входного воздействия u ;

2.Ошибка ε стремится к нулю асимптотически;

3.Параметрические ошибки θ~ стремятся к нулю, если вектор ω удовлетворяет условию неисчезающего возбуждения (3.14). Условие (3.14) в конечном итоге зависит от частотной насыщенности сиггнала u , который должен содержать “достаточное” количество гармоник.

4. Если ошибки θ~ стремятся к нулю, то оценка вектора состояния xˆ стремится к x асимптотически.

Порядок выполнения работы

1. На основе результатов, полученных в лабораторной работе №5, промоделировать адаптивный наблюдатель вектора состояния объекта (6.3), (6.5), (6.6). Коэффициент адаптации γ выбрать экспериментальным путем. Построить два графика

моделирования. На первом отобразить переменные состояния объекта x и их оценки xˆ . На втором графике параметрические ошибки θ~ .

2.Повторить эксперимент при u = sin t + 0,5cos 2t + 0,4 cos 4t + 0,2 cos8t .

3.По результатам моделирования сделать выводы.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.201618.8 Кб150Вступительный экзамен.docx
#
25.04.2019470.6 Кб10Вторые 16.docx
#
14.04.2015559.85 Кб19Высшая математика 1 курс.pdf
#
07.11.201912.72 Mб66Г.Д.Шандыбина, В.А.Парфенов. Информационные лаз...doc
#
21.03.2016416.08 Кб11Генезис науки. Структура познания.( дополнение к лекциям).pdf
#
14.04.2015364.62 Кб103Герасимов Адаптивное управление.pdf
#
14.11.201930.89 Кб0Германия.docx
#
13.11.2019578.56 Кб2ГИА Информатика 1.doc
#
20.03.2016384.45 Кб15Гибкие системы оплаты труда в РФ.docx
#
18.08.201911.85 Mб79ГИТ_ЛХ_2012.doc
#
22.11.2019503 Кб1Гл2 Качество жизни.doc