Решение вариантов задач

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат.основы теории систем.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

4.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 195 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

5		− 8	12	−7	1	−1	5		8
	5							2
	5	− 9	12	−8	24	− 9		2	−1

4.2.Привести к нормальной жордановой форме и определить матрицы преобразования T матриц A вида:

	−1 1			−1				0		1		0
		0	1		; 4.2.2.		A =		0	0		1	;
4.2.1. A =				−4
		0 1		−3				−8 −12			−6

	−2 1			3				−2 0			0
4.2.3. A =		0	−2	5		; .4.2.	A =		5	−2	0
												.
		0 0							9 1
				−2							−2

Примеры и задачи

6.1. Дана матрица A =

, пользуясь свойствами

Решение задачи 4.1.В качестве примера произвольной матрицы A ЛО A возьмем матрицу 4.1.10, воспользовавшись при этом результатами изучения ее в предыдущем разделе в виде спектров собственных значений и векторов так, что можно записать

A =	−1		4	:σ{A}={λ	=1,	λ	2	= −5};ξ	=	2 ,ξ	2	=		1
		2		1			2	1			2
		2	− 3							1			−1

Задача			1:	Привести						матрицу				A		к диагональной						форме
1	0		с помощью матричного соотношения Λ = M −1AM , где
Λ =			с помощью матричного соотношения Λ = M −1AM , где
0 −	5
M = [M1										2			1		−1	2	1	−1		1	3	1	3
			=ξ1 M 2							2			1		−1	2	1			1	3		3
			=ξ1 M 2				=ξ2 ]= 1					−1 ; M				= 1	−1		=	1		− 2			,
																					3			3
тогда																					3			3
тогда					1		1
		−1			1	3	1	3			−1			4 2		1	1		0
Λ = M		−1			1	3		3				2	− 3		1	−1	= 0		− 5 .
Λ = M			AM =		1	3	− 2		3			2	− 3		1	−1	= 0		− 5 .
						3			3				A
Задача 2:				Привести матрицу									A	к	строчной сопровождающей

(фробениусовой) форме, для построения которой составим характеристический полином матрицы A

D(λ)= det(λI − A)=			(λ −λ )(λ −λ	2	)= (λ −2)(λ +5)= λ2 + 4λ −5.
			1	2
Сопровождающая форма AF исходной матрицы A принимает вид
0	1	, решим задачу ее диагонализации с помощью матрицы
AF =		, решим задачу ее диагонализации с помощью матрицы
5	− 4				матрицу A к сопровождающей
ВандТеперь		приведем	исходную		матрицу A к сопровождающей

(фробениусовой) форме AF с помощью матричных соотношений

A = M

M −1AMM −1 =

1 −1

−1

4 2

1 1

1 −1

= 0

−5 1

−1

−3 1

−1 1 −5

− 4

Поставленная задача решена.

Решение

задачи

4.2.на

примере

матрицы

4.2.1.

Характеристическое уравнение ∆(λ) = 0 исходной матрицы A дает для

нее

три

одинаковые

собственные

значения

λ1 = λ2

= λ3 = −1,

следовательно, алгебраическая кратность корня равна трем. Дефект

матрицы

-1

A − λI = A-(-1)I = 0

2 24

-2

равен

единице,

следовательно,

собственное

подпространство

N{A − (−1)I} является одномерным.

Поскольку собственное пространство, соответствующее собственному значению λ = −1, является одномерным, форма Жордана J состоит из единственного блока, отвечающего этому значению λ = −1 и принимает вид

			λ 1				0		−1		1		0
	J	=		0 λ			1	=		0 −1
	J	=		0 λ			1	=		0 −1			1 .
				0 0			λ			0	0
				0 0			λ			0	0	−1
	Уравнение							TJ = AT ,				записанное		в столбцовой	форме
					λ		1		0
[T	T		T		]	0	λ		1	= A[T		T	T ]	порождает	систему
1	2			3							1	2	3
						0	0
						0	0	λ

соотношений

λT1 = AT1; T1 + λT2 = AT2; T2 + λT3 = AT3.

Последовательное решение этих уравнений без использования процедуры обращения позволяет сконструировать матрицу T в форме

				1	0	0
T = [T	T	2	T	]= 0	2	−1	, в результате чего уравнение
1		2	3
					1
				0	1	−1

подобия TJ = AT приводит к искомому результату

1	0	0 −1	−1		1	−1 1	0	0	−1			1	0
J = T −1 AT = 0	2	−1		0	1	− 4 0	2	−1	=	0	−1		1 . ■

	1			0	1		1			0		0
0	1	−1		0	1	−3 0	1	−1		0		0	−1

5. ФУНКЦИИ ОТ ВЕКТОРА. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. ПРАВИЛА

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО АРГУМЕНТАМ ФУНКЦИИ

Определение 5.1 (О5.1). Пусть каждому вектору x линейного

действительного пространства Rn ставится в соответствие вполне определенное число из R . Тогда говорят, что в линейном пространстве

Rn определена скалярная функция от вектора F(x) : Rn → R . Определение 5.2 (О5.2). Функция F1(x) , областью определения

которой является линейное пространство Rn , а областью значений – совокупность действительных чисел R, называется действительной линейной формой (линейным функционалом), если выполняется соотношение

F1(α1x1 +α2 x2 ) =α1F1(x1) +α2 F2 (x2 )

(5.1)

для любых векторов x1 и x2 и любых действительных чисел α1

и α2 .

Пусть {e ,e

,...,e

} – естественный базис в пространстве Rn ,

x =[x

, x

,..., x

– вектор–столбец координат вектора

x в этом базисе,

тогда любая линейная форма F1(x) может быть

представлена в

следующем виде:

F1(x) =α1x1 +α2 x2 + ... +αn xn ,

(5.2)

где

αk = F1(ek ),k =

. Наоборот, при любых

действительных

1,n

числах α1, α2 , ..., αn

выражение (5.2) определяет некоторую линейную

форму в Rn .

Определение 5.3 (О5.3). Множество всех векторов x Rn , для которых F1(x) = 0, называется ядром линейной формы (функционала) и

обозначается N(F1) :
N(F ) ={x Rn : F (x) = 0}		(5.3)
1	1	En как скалярное
Линейную форму (5.2) можно записать в		En как скалярное
произведение
F1(x) = (x,α) = (α, x) ,		(5.4)

где α = [α1,α2 ,...,αn ]T .

Определение 5.4 (О5.4). Пусть L – некоторое подпространство

пространства Rn . Выберем в Rn произвольный вектор u, тогда множество векторов z=u+v, где v L называют плоскостью в

пространстве Rn . Вектор u называется вектором сдвига, а

подпространство L – направляющим подпространством этой плоскости.

Определение 5.5 (О.5). Гиперплоскостью H в пространстве Rn

называется плоскость размерностью n–1. Если L – ортогональное дополнение направляющего подпространства L гиперплоскости H и N

– любой его базисный вектор, то уравнение гиперплоскости можно записать в следующем виде:

(x, N) = (N, x) = b ,

(5.5)

где вектор N L есть нормаль к гиперплоскости H, b – действительное число.

Определение 5.6 (О5.6). Квадратичной формой от n

действительных переменных x1, x2 , ..., xn		называется функция вида
F2 (x)	n n
F2 (x)	= ∑ ∑aij xi x j ,	(5.6)
	i=1 j =1
где aij	– действительные числа.

Если составить симметричную матрицу A из коэффициентов aij , называемую матрицей квадратичной формы, и рассматривать величины x1, x2 ,..., xn как координаты вектора x En в некотором

ортонормированном базисе (например, естественном), то квадратичная форма может быть записана как скалярное произведение или квадрат

евклидовой векторной нормы с весом A:

F (x) = (Ax, x) = xT Ax = (

)2 .

(5.7)

Рангом квадратичной формы F2 (x)

называется ранг ее матрицы

A. При замене переменных

x =Ty

форма

F2 (x)

становиться

квадратичной формой F2 (у) новых переменных

y1, y2 ,..., yn , причем

матрица B этой форме связана с матрицей A соотношением

B =T T AT ,

(5.8)

при этом если матрица T

неособенная, то ранг

квадратичной

формы не меняется.

Любую квадратичную форму F2 (x)

ранга r

можно неособенным

линейным преобразованием привести к каноническому виду.


F (y) =α		y2 +α			2	y2	+... +α	r	y2 ,	(5.9)
2		1 1			2	2		r	r
где αk , k =				– все отличные от нуля числа. Канонический вид
где αk , k =			1, r	– все отличные от нуля числа. Канонический вид
называется	нормальным видом,								если все коэффициенты αk	в (5.9)

равны 1 или –1. Число положительных коэффициентов в выражении (5.9) называется положительным индексом инерции, число отрицательных коэффициентов – отрицательным индексом инерции, а разность между ними – сигнатурой квадратичной формы.

Симметричная матрица A квадратичной формы имеет ортонормированную систему собственных векторов в евклидовом

пространстве En ,	соответствующих	собственным значениям
λ1,λ2 ,...,λn матрицы	A, которые все	являются действительными

числами. Поэтому матрица A квадратичной формы ортогонально подобна матрице с действительными собственными значениями матрицы A:

Λ = diag{λ	,λ	2	,...,λ	n	} =T T AT,(T −1	=T T ) ,	(5.10)
1		2		n
где T =[T1,T2 ,...,Tn ] – ортогональная матрица,							составленная из

столбцов координат ортонормированных собственных векторов матрицы A в том же базисе, в котором задана A.

Определение 5.7 (О5.7). Квадратичная форма F2 (x) = (Ax, x)

называется положительно определенной, если (Ax, x) > 0 при x ≠ 0 , и

неотрицательно определенной если (Ax, x) ≥ 0 при любых x En .

Аналогично определяются отрицательно определенная и неположительно определенная квадратичные формы. Если форма

F2 (x) принимает разные знаки при некоторых x En , то она

называется неопределенной. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны (критерий Сильвестра).

Пустьλ1 ≥ λ2 ≥... ≥ λn					–	собственные	значения положительно
определенной				матрицы	A ,	тогда для	всех векторов x En
справедливы неравенства
λ	n	≤	xT Ax	≤ λ .			(5.11)
λ		≤		≤ λ .			(5.11)
			xT x	1
			xT x

Определение 5.8 (О5.8). Если все собственные значения матрицы квадратичной формы имеют одинаковый знак, то форма называется

эллиптической, а уравнение xT Ax = c , где c − const , определяет в

пространстве E n гиперэллипсоид постоянного значения (уровня) c . Рассмотрим основные правила дифференцирования функций от

векторов и матриц по скалярным, векторным и матричным переменным.

1. Пусть A = A(q) – матрица, элементы которой суть функции

Aij = Aij (q) скалярной переменной q .Тогда производной Aq = ∂A(q) от

∂q

матрицы A(q) по q является матрица, составленная из производных

A	=	∂Aij ( q )	ее элементов по переменной q , что может быть записано

ij q		∂q

в форме

Aq = row{col(Aij ;i =1,m); j =1,n}.

Для производной от суммы и произведения матриц, зависящих от скалярной переменной q по этой переменной справедливы

представления

∂

{C(q) = A(q) + B(q)}= A + B

;

∂q

D =

∂

{D(q) = A(q) B(q)}= A B(q)

+ A(q) B .

∂q

Для

степенной

матричной

функции

f (A(q))= (A(q))p

от

квадратной

(n × n)

– матрицы

A(q), где

– целое положительное

число,

производная по скалярной переменной q вычисляется в силу

соотношения

∂

{(A(q))p }= Aq (A(q))p−1 + (A(q))Aq (A(q))p−2 + + (A(q))p−1 Aq .

∂q

Для

вычисления

производной

от

обратной матрицы

(A(q))−1 сформулируем и докажем следующее утверждение.

Утверждение

5.1

(У5.1).

Производная

∂

(A(q))−1 от обратной

∂q

матрицы

(A(q))−1

по скалярной переменной q вычисляется по

формуле

∂

(A(q))−1 = −(A(q))−1 Aq (A(q))−1 .

□

∂q

(5.12)

Доказательство утверждения строится на дифференцировании по

скалярному параметру

q матричного уравнения (A(q))−1 (A(q))= I ,

где I – единичная матрица, в результате которого получим

∂

{(A(q))−1 (A(q))= I

∂

(A(q))−1 A(q)+ (A(q))−1 Aq = 0.

∂q

Разрешение полученного матричного уравнения относительно

производной

∂

(A(q))−1 приводит к (5.12).

■

∂q

Пусть J = J (x)

– скалярная функция векторного аргумента

x =[x ,..., x

]T . Тогда,

обозначив символом оператор градиента, для

∂J

производной

от

этой функции по

векторному аргументу

∂x

градиента можно записать следующие представления:

∂J T

∂J

,...,

– вектор–столбец;

∂x

( x J )

∂J

– вектор–строка;

= ∂x

,...,

∂x

∂2 J

∂x2

∂xn∂x1

J =

∂

∂J

– (n × n) – матрица.

∂x

∂2 J

∂xn2

∂x1∂xn

3. Пусть y =[y (x), y

(x),..., y

(x)]T

– m – мерный вектор–столбец

скалярных функций от n – мерного вектора x (векторная функция от векторного аргумента), тогда

∂y1

∂ym

∂x

y = [

y ,

,...,

(5.13)

∂y

∂x

–

матрица

размерами

(n ×m).

Аналогично

определяется

производная

∂y1

∂x

y)T = [ x

ym ]T

∂x

( x

y1, x

y2 ,..., x

(5.14)

∂ym

∂x1

∂xn

4.Пусть z = z(x) и y = y(x) – векторы–столбцы размерности m , и

x– вектор–столбец размерности n . Тогда производная по x от

скалярного произведения векторов			z	и y (градиент скалярного
произведения) определяется следующим образом:
x (y, z) = ( x y )T z + ( x z )T y .								(5.15)
Примеры и задачи
5.1.* Записать квадратичную	форму			F (x) = 2x2 + 5x2				− 4x x	2	с
симметричной матрицей этой формы.				2		1	2	1	2
симметричной матрицей этой формы.
	3	2	0	−1
		2	1	0	2
5.2.* Привести матрицу A =	0		1	0		квадратичной формы
			0	32
−12			0	32
ортогональным преобразованием к каноническому виду.
TT T = I .								(5.16)
5.3.* Найти значение x , при котором положительно определенная
форма F2 (x) = (Rx , x) + 2(x,Sb) + C , где				R > 0, C = const			принимает
минимальное значение. Вычислить это значение.

5.4.* Вычислить производные от следующих скалярных функций от вектора x :

а) J = λT Ax ;		б) J = xT x ;			в) J = xT Ax .
5.5.*	Пусть	X	–	квадратная		матрица	размером		(n ×n) и
J (X ) = trX	– след		этой	матрицы, равный сумме				ее диагональных
элементов. Показать, что					∂tr(AX )
а) xtrX = ∂trX			= I ;	б)	∂tr(AX )	= AТ.			(5.17)
	∂X				∂X		F1(x)
5.6. Определить дефект линейной формы							F1(x)	на пространстве
Rn .
5.7. Показать, что любой вектор z пространства Rn может быть
представлен единственным образом в виде z =αx + y , где									y N(F1) ,

x – фиксированный вектор Rn , α – действительное число.

5.8. Определить расстояние µ(x, H ) от произвольного вектора

z En до гиперплоскости (n, x) = b .

5.9. Для каждой из квадратичных форм найти ортогональное преобразование T неизвестных, приводящее эту форму к каноническому виду, и записать полученный канонический вид:

а)	2x2	+ 5x2	+ 2x2					− 4x x			2	− 2x x							+ 4x	2	x	;
	1	2			3			1			2				1		3			2		3
б)	− 3x2 + 4x x			2	+		10x x		3		− 4x			2	x		;
		2	1	2				1	3					2		3
в)	− x2	+ x2	− 5x		2		+ 6x x					+	4x		2	x	3	;
	1	2		3				1	3						2		3
г)	2x2	+ x2 − 4x x				2		− 4x	2	x .
	1	2		1		2			2		3

5.10. Выяснить, являются ли положительно определенными следующие квадратичные формы:

а) x12 + 2x1x2 + 4x22 + 4x2 x3 + 2x32 ;

б) 5x12 + x22 + 5x32 + 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2 x3; в) 3x12 + x22 + 5x32 + 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2 x3.

5.11.Доказать, что положительно определенная матрица является неособенной.

5.12.Доказать, что если A – положительно определенная

симметричная матрица, то A−1 – также положительно определенная матрица.

5.13. Доказать, что если det(A)≠ 0, то AT A и AAT – положительно

определенные матрицы; если det(A)= 0, AT A и AAT – неотрицательно определенные матрицы.

3	1	1
5.14. Привести матрицу A = 1	0	2	квадратичной формы к

	2
1	2	0

каноническому виду и записать полученный канонический вид.

5.15. Доказать справедливость для любой симметричной матрицы

A спектрального разложения:

A = λ ξ ξT

+ λ ξ ξT

+ ... + λ

ξT ,

где

λ ,λ

,...,λ

– собственные

1 1 1

2 2 2

значения

матрицы

A:ξ1,ξ2 ,...,ξn –

ортонормированная

система

собственных векторов этой матрицы.

5.16.

Доказать,

что

xT Ax = tr(AxxT ),

где

tr обозначает

след

матрицы.

5.17. Вычислить производные от следующих функций:

а)

J (x) = (y − Ax)T Q(y − Ax), где QT = Q > 0;

б)

J (X ) = tr(AX T );

в)

J (X ) = tr(X T AX );

г)

J (X ) = tr(X −1);

д)

J (X ) = det(X )

5.18. Определить минимальное значение квадратичной формы

F2 (x) = (Rx, x) + 2(x,Su) + (u,Tu) , где R > 0; S,T – матрицы,

u – не

зависящий от x вектор.

Решение вариантов задач

− 4

Решение задачи 5.1. Матрица

исходной формы: A =

Любая действительная

матрица

может быть

представлена

виде:

A = Ac + Ak ,

Ac =

AT )

где

2 (A +

–

симметричная

матрица,

Ak = 2 (A − AT )

– кососимметричная матрица.

Поскольку для любого

вектора x

Ak x x ,

то

xT Ak x = 0,

поэтому имеем F (x) = xT Ac x , где

− 2

Ac в данном случае равна Ac =

−

Решение задачи 5.2. Вычисление корней характеристического

уравнения det[A − λI ]= 0

дает

следующие

собственные

значения

матрицы

A квадратичной формы:

λ1 = λ2 =1,

λ3 = 2 . Решив систему

уравнений (A − I )ξ = 0,

получим два ортонормированных собственных

вектора,

соответствующих

собственному

значению

λ = 1:

									T ,				= [0 1 0]T .
ξ	=	2		2	0		2	2	T ,		ξ	2	= [0 1 0]T .						Решив				систему					уравнений
1				2				2				2

(A − 2I )ξ = 0 ,						получим							третий			вектор				ортонормированной системы,
соответствующий										T			собственному										значению					λ = 2 :

ξ3	=		2 2 0 −					2					В			итоге						матрица				ортогонального
ξ3	=		2 2 0 −					2	2 .				В			итоге						матрица				ортогонального


																				2	2		0	2	2
преобразования равна T													= [ξ	,ξ		,ξ			0		2		1	0	2
преобразования равна T													= [ξ	,ξ		,ξ		]=	0				1	0			.
													1		2		3
													1		2		3			2			0 −	2
																				2	2		0 −	2		2
																					2					2

Матрица канонического вида формы равна Λ = diag{1,1, 2} так что

Λ =T T AT , при этом T T T = I .

Решение задачи 5.3. Рассмотрим решение данной задачи методом, не связанным с вычислением производных. Дополним форму F2 (x) до

полного квадрата:

xT Rx + 2xT Sb + c = xT Rx + 2xT RR−1Sb + bT ST R−1Sb + c −

(5.18)

− bT ST R−1Sb = (x + R−1Sb)T R(x + R−1Sb) + c − bT ST R−1Sb

Из выражения (5.18) и положительной определенности матрицы

R следует, что данная квадратичная форма принимает минимальное

значение

при

x + R−1Sb = 0,

откуда

получим

xmin = −R−1Sb

= c − bT ST R−1Sb .

2 min

Решение задачи 5.4.

а) Положим AT λ = C , тогда исходную функцию можно записать в

виде J = CT x . Согласно выражению (5.13) имеем

J =

(CT x) =

(C x +... + C

) = C ,

1 1

откуда получаем

x J = AT λ

(5.19)

б) Поскольку xT x = (x, x) то

x (x, x) = ( x xT )x + ( x xT )x = 2( x xT )x .

Но

x xT = I ,

поэтому

окончательно получим

x J = 2x

y = Ax ,

(5.20)

в)Положим

тогда

можем

записать

J = xT Ax = (Ax, x) = (y, x) . Согласно выражению (5.15)

x J = x (yT x) = ( x yT )x + ( x xT )y .

Но

(Ax)T

y ,...,

] = AT

по формуле

(5.13),

x xT = I , поэтому в итоге получим x J = AT x + Ax . Если матрица A симметричная, то будем иметь

x J = 2Ax .	(5.21)
Решение задачи 5.5.
а) Поскольку, trX = x11 + ... + xnn , то из формулы (5.13) имеем
xtrX = x x11 +... + x xnn = I .
б) Поскольку tr(AX ) = a11x11 + a12 x21 + ... + ann xnn , то
xtr(AX ) = a11 x x11 + ... + ann x xnn .	(5.22)

Но x xij есть матрица размером (n ×n), имеющая единственный

отличный от нуля и равный единице элемент, стоящий в i -й строке и j -м столбце. Сложив все слагаемые правой части выражения (5.22),

получим требуемый результат.

6. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ. МАТРИЧНАЯ ЭКСПОНЕНТА

Рассматривается (n ×n) – квадратная матрица A, на которой конструируются функции от матрицы f (A) трех типов: скалярная

функция от матрицы, векторная функция от матрицы и матричная функция от матрицы.

Определение 6.1 (О6.1). Скалярной	функцией (СФМ)	от
квадратной матрицы A называется функция	f (A) , которая реализует

отображение f (A) : Rn×n R, где R – множество действительных чисел.

Примерами скалярных	функций	от матрицы явля-
ются: f (A) = det(A), f (A) = tr(A),	f (A) = C{A},	f (A) =	A	– детерми-

нант, след, норма и число обусловленности матрицы соответственно, СФМ является квадратичная форма f (A) = xT Ax.

Определение 6.2 (О6.2). Векторной функцией от квадратной матрицы A называется функция f (A) , которая реализует отображение

f ( A ) : Rn×n Rn, где Rn – n–мерное действительное пространство.

Примерами векторных функций от матрицы (ВФМ) являются
такие, как f (A) = col{λi ;i =1,n}, f (A) = col{αi ;i =1,n}	– векторы,

построенные на элементах алгебраических спектров соответственно собственных значений {λi ;i = 1,n} и сингулярных чисел {αi ;i = 1,n} матрицы A.

6.1. Матричные ряды и матричные функции от матриц

Матричная функция от матрицы (МФМ) реализует отображение f ( A ) : Rn×n Rn×n. Исходное определение матричной функции от

матрицы задается следующим образом.

Определение 6.3 (О6.3). Пусть f (α) – скалярный степенной ряд (многочлен) относительно скалярной переменной α .

f (α) = a	0		+ a α + a α 2 + ... + a					p	α p .		(6.1)
			1	2
Тогда скалярный ряд f (α ) порождает матричную функцию											f (A)
от матрицы A в виде матричного ряда, если в представлении (6.1) для
f (α) скалярную переменную α заменить на матрицу A так, что											f ( A )
запишется в форме						A2 + ... + a				A p
f (A) = a	0	I + a A + a			2				p		(6.2)
			1
Поставим задачу построения перехода от исходного
представления			МФМ		f (A)		в		форме (6.2) к ее минимальному

представлению, то есть к представлению матричным многочленом минимальной степени. Начнем решение этой задачи с теоремы Гамильтона–Кэли(ТГК).

Утверждение 6.1 (У6.1) (Теорема Гамильтона–Кэли).

Квадратная (n × n)- матрица A с характеристическим полиномом

D(λ) = det(λI − A) = λn + a λn−1	+ a	2	λn−2	+...+ a	λ + a	n	, обнуляет
1		2			n−1	n

свой характеристический полином так, что выполняется матричное соотношение

D(A) = An + a An−1 + a

An−2 + ... + a

n−1

A + a

I = 0,

(6.3)

где 0 – (n × n) нулевая матрица.

□

Доказательство

справедливости

сформулированного

утверждения осуществим для случая матрицы

A простой структуры,

характеризующейся

алгебраическим

спектром

σ{A}= {λi : λi

≠ λj ;i ≠ j;Jmλi

= 0;i =1,n}

вещественных и

некратных

собственных значений так,

что на нем может быть сконструирована

диагональная

матрица

Λ = diag{λi ;i =

Если

теперь

1,n

воспользоваться матричным соотношением подобия (2.30), то матрицу

A можно представить в форме A = MΛM −1 , что в свою о чередь для (6.3) позволяет записать

D( A ) = M {Λ n+ a1Λn−1 + a2Λn−2 + ...+ an−1Λ + an I}M −1 =

■

= M diag{λin + a1λin−1 + a2λin−2 + ...+ an−1λi + an I;i =1,n}M −1 = 0.

Теорема Гамильтона-Кэли позволяет ввести следующие определения.

Определение 6.4 (О6.4). Многочлен (степенной ряд) ϕ(α)

относительно скалярной переменной α	называется аннулирующим
многочленом квадратной матрицы A, если выполняется условие
ϕ(A) = 0			(6.4)
Очевидно, аннулирующим многочленом матрицы		A в	силу
теоремы Гамильтона-Кэли является	в первую	очередь	ее

характеристический полином. Ясно, что существует множество

аннулирующих многочленов матрицы A степени большей, чем n . Но могут существовать аннулирующие многочлены степени m < n .

Определение 6.5 (О6.5). Аннулирующий многочлен ψ (α)

наименьшей степени m со старшим коэффициентом при αm , равным единице, называется минимальным многочленом матрицы A.

Построим	разложение	многочлена f (α) (6.1), задающего
матричную функцию f (A)		от матрицы в форме (6.2), по модулю
минимального	многочлена	ψ (α) матрицы	A,	представив	его
выражением
f (α) =ϕ(α)ψ (α) + r(α),					(6.5)
где многочлен r(α) имеет степень deg(r(α)) меньше степени
deg(ψ (α)) = m	минимального многочлена		ψ (α)	матрицы	A.

Выражение (6.5) позволяет дать следующее определение матричной функции от матрицы.

Определение 6.6 (О6.6). Пусть многочлен f (α) относительно

скалярной переменной α допускает представление в форме (6.5), тогда матричная функция f (A) может быть задана в минимальной форме

f (A) = r(A) .

(6.6)

Заметим, что основной проблемой при задании матричной функции от матрицы в форме (6.6) является вычисление многочлена

r(α) .

Основной способ вычисления многочлена r(α)в силу (6.5)

опирается на то, что r(α) является остатком от деления			f (α) на
минимальный многочлен
r(α) =rest	f (α)	.	(6.7)

ψ (α)
Если f (α) не является рядом или многочленом вида			(6.1), а

является произвольной аналитической функцией со значениями на алгебраическом спектре собственных значений матрицы A , то формирование матричной функции f (A) от матрицы A, опирается на

представление f (α) в соответствии с интерполяционной схемой Лагранжа в виде мультипликативной структуры из двучленов (α −λi )

или в соответствии с интерполяционной схемой Ньютона в виде ряда по степеням двучленов (α −λi ) , число членов которых определяется

минимальным многочленом ψ (λ). Для реализации интерполяционной

схемы Лагранжа, которая в случае размещения интерполяционных узлов на собственных значениях λi матрицы A, приобретает название

интерполяционной схемы Лагранжа–Сильвестра, требуется знание значений f (λi ) . Для реализации интерполяционной схемы Ньютона

требуется знание значений		f (λi ), f ′(λi )... f (mi −1) (λi ) .
Если минимальный многочлен ψ (α) степени m в силу его
определения записать в форме
Ψ(α) = (α −λ )m1 (α −λ	2	)m2 ...(α			−λ		r	)mr ,	(6.8)
1
где m1 + m2 +...+ mr = m , {λi ;i =								} σ{A},
						1,r
то можно построить представление для функции f (α) в форме
f (α) = r(α) ,									(6.9)
где r(α) – интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра
или Ньютона, сформированный на алгебраическом спектре									σ {A}
собственных значений {λi ;i =				}	матрицы A, характеризующийся
			1,r

степенью меньшей степени m минимального многочлен ψ (α) , а потому удовлетворяющий условиям (6.5), (6.7).

Рассмотрим случай, когда нули минимального многочлена (6.8) являются простыми, т.е. при m1 = m2 =... = mr =1, минимальный

многочлен и характеристический совпадают так, что выполняются

равенства

ψ (α) = D(α)

и r = n ,

тогда

представление

f (α)= r(α) в

форме

интерполяционного

многочлена

Лагранжа–Сильвестра

принимает вид

(α − λ )...(α

− λ

)(α

− λ

)...(α − λ

)

r(α) = ∑

i−1

i+1

f (λi ) .

(6.10)

(λi − λ1)...(λi

− λi−1)(λi

− λi+1)...(λi − λn )

i=1

Матричная функция от матрицы для случая некратных

собственных значений матрицы A принимает с использованием (6.10)

вид

(A −λ I)...(A −λ

I)(A −λ

I)...(A −λ

−1

i+1

f (A) = r(A) = ∑

f (λi ).

(6.11)

(λi −λ1)...(λi −λi−1)(λi −λi+1)...(λi −λn )

i=1

Теперь допустим, что характеристический многочлен D(α) имеет кратные корни, но минимальный многочлен ψ (α) , являясь делителемD(α) , имеет только простые корни

ψ(α) = (α − λ1)(α − λ2 )...(α − λm ).

Вэтом случае интерполяционный многочлен r(α) совпадает с

точностью до замены числа членов n на m с представлением (6.10). Как следствие матричная функция f (A) от матрицы A принимает вид

m	(A −λ I)...(A −λ	i−1	I)(A −λ	i+1	I)...(A −λ	m	I)
f (A) = r(A) = ∑	1	i−1		i+1		m		f (λ i) .	(6.12)
f (A) = r(A) = ∑	(λ i−λ1)...(λi −λ i−1)(λ i−λ i+1)...(λ i −λm )							f (λ i) .	(6.12)
i=1	(λ i−λ1)...(λi −λ i−1)(λ i−λ i+1)...(λ i −λm )

В заключение рассмотрим общий случай, когда минимальный многочлен матрицы A имеет вид (6.8). Для случая кратных нулей минимального многочлена, то есть когда он имеет вид (6.8),

представление r(α) в форме интерполяционного многочлена

Лагранжа–Сильвестра, содержащего элементы интерполяционной схемы Ньютона, принимает вид

r mi

∂( j−1)

f (α)

ψ(α)

r(α) = ∑∑

|α=λ

( j −1)!

∂α( j−1)

(α)

= =

(α −λi )

i 1 j 1

где для компактности записи использовано обозначение

(λ ) =

ψ (α)

(α − λ )mi

α =λi

Если ввести обозначение

αi

, j =

∂( j −1)

f (α)

( j −1)!

∂α j −1

ψk (α) α =λi

то выражение (6.13) для f (α) =

r(α) принимает вид

(6.13)

(6.14)

r(α) = ∑r {α i,1	+α i,2	(α −λi ) +...+α i,m (α −λi )mi −1}ψi (α) .	(6.15)
i=1		i
i=1
Если воспользоваться представлением (6.15), то для МФМ можно
записать	{α i,1I	+α i,2 (A −λi I) +...+α i,m (A −λi I)mi −1}ψi (A).
f (A) = r(A) = ∑r	{α i,1I	+α i,2 (A −λi I) +...+α i,m (A −λi I)mi −1}ψi (A).	(6.16)
i=1		i
i=1

Если матрица A представляет собой (n ×n) − жорданову клетку, порождаемую собственным значением λ0 кратности n , так что матрица A принимает вид

λ0		1	0 ...	0
	0	λ0	1 ...	0
	0	λ0	1 ...	0
		.	. ...	.	,	(6.17)
A = J = .		.	. ...	.	,	(6.17)
.		.	. ...	.
	0	0	0 ...	1
	0	0	0 ...	λ0
	0	0	0 ...	λ0

то интерполяционный многочлен r(α ), так как минимальный

многочлен матрицы A (6.17) имеет вид ψ (α) = (α − λ )n , для функции

f (α) полностью

строится

по интерполяционной схеме

Ньютона и

определяется выражением

f (n−1) (λ0 )

r(α) = f (λ0 ) +

f ′(λ0 )

(α

−λ0 ) +...+

(α −λ0 )n−1.

(6.18)

(n −1)!

f (A) от матрицы

В силу (6.18), (6.5), (6.7) матричная функция

A = J принимает вид

f (n−1) (λ0 )

r(J ) = f (λ0 )I +

f ′(λ0 )

− λ0 I) +...

(J − λ0 I)n−1 =

(n −1)!

f ′(λ0 )

f ′′(λ0 )

(n−1)

(λ0 )

f (λ0 )

...

(n −1)!

(6.19)

′

(n−2)

(λ0 )

...

(n − 2)!

...

f ′(λ0 )

...

f (λ0 )

Рассмотрим

теперь

случай,

когда

матрица

имеет

вид

где

Ji −

(mi × mi )

– жорданова

клетка,

A = diag Ji ; ∑mi

= n ,

i =1

кратности mi ,

порождаемая собственным значением λi

так

что

матрица A принимает вид

	λi		1	0	0
		0	λi	1	0
		0	λi	1	0		r
									,	(6.20)
A = diag Ji =							; ∑mi = n		,	(6.20)
		0	0	0	1			i=1
		0	0	0	1
		0	0	0	λ
						i

тогда в силу (6.18) и (6.19) матричная функция f (A) от матрицы A (6.20) принимает вид


		f (λi )

			0
f (A) = diag			0
f (A) = diag	f (Ji ) =
		.
			0
			0
			0
			0

f′(λi ) 1!

f (λi )

f′′(λi ) 2!

f′(λi ) 1!

...

f (n−1) (λi )

(n −1)!
(n −1)!
f (n−2) (λi )		r
		r
(n −2)!		;∑mi = n .(6.21)
.		i=1
	f ′(λi )

1!
	f (λi )
	f (λi )

Из определения матричной функции от матрицы во всех формах следуют ее основные свойства:


Свойство 6.1 (СВ6.1). Матричная функция от матрицы f( A)
сохраняет геометрический спектр			{ξi ;i =		} собственных векторов ξi
				1,n
матрицы A: Aξi = λiξi , так что выполняется соотношение
f (A)ξi = f (λi )ξi ,			(6.22)
где	f (λi ) = λfi	– собственные значения матрицы f( A), удовлетво-
ряющие	ее характеристическому		уравнению det{λf I − f (A)} = 0 и
вычисляемые как		функция f (λ) на спектре σ{A}={λi ;i =					}
						1,n

собственных значений матрицы f( A).

Свойство 6.2 (СВ6.2). Матричная функция от матрицы f( A) сохраняет матричное отношение подобие в том смысле, что если

матрицы A и B подобны, т.е.B =T −1 AT , то f (B) = T −1 f (A)T .

(6.23)

Свойство 6.3 (СВ6.3). Матричная функция от матрицы f( A) сохраняет блочно-диагональную форму матрицы A в том смысле, что,

если A = diag{A1 A2 ... Aµ}, то
f (A) = diag{ f (A1) f (A2 ) ... f (Aµ )}.	(6.24)

6.2. Матричная экспонента, способы ее вычисления. Алгоритм Д. Фаддеева разложения резолвенты в задаче

вычисления матричной экспоненты

Теперь распространим полученные выше результаты на задачи формирования способов аналитического представления и вычисления

матричной экспоненты eAt , параметризованной непрерывным временем t , исходное задание которой в форме (6.1) порождено

скалярной экспонентой eαt или exp(α t) , записанной в форме

бесконечного скалярного ряда

eαt =1 +α t +	(α t)2	+	(α t)3	+ ... +	(α t)p
	2!		3!		p!
и принимает вид			(At)3		(At)p
eAt = I + At +	(At)2	+	(At)3	+ ... +	(At)p
	2!		3!		p!

∞	(α t)k
+ ... = ∑		k!
k =0		k!
∞		(At)k
+ ... = ∑		k!
k =0		k!

(6.25)

Следует заметить, что аналогичным образом может быть задана любая матричная функция от матрицы, для скалярного прототипа которой известен ряд ее представляющий.

В связи со сказанным и проведенными выше исследованиями, а также упомянутыми свойствами матричных функций от матриц, перечислим основные способы вычисления и построения аналитических представлений матричной экспоненты.

1. Численный способ, основанный на переходе от непрерывного

времени t к дискретному k , выраженному в

числе

интервалов

дискретности длительности ∆t так,

что

t = ( ∆t )k , в результате чего

матричная экспонента eAt получает представление

eAt = eA∆tk = (eA∆t )k

= (

)k ,

(6.26)

где

матрица

= eA∆t

при

правильном

выборе

интервала

дискретности ∆t задается конечным числом ( p +1)

членов степенного

матричного представления

A∆t

A = e

= I + A∆t +

(A∆t)

+...+

(A∆t)

(6.27)

При чем, если p ≥ n , то с помощью (6.7) ряд (6.27) может быть

приведен к минимальной форме т.е. матричному ряду степени m −1, а в случае ψ (α) = D(α) к матричному ряду степени n −1. Для вычисления

интервала дискретности ∆t можно воспользоваться соотношением

∆t = 0.05n(	tr(A)	)−1.	(6.28)

2. Способ	диагонализации		матрицы A, именуемый иначе
способом собственных значений.			Способ применим к матрицам A

простой структуры так, что ее спектр собственных значений имеет вид

σ{A}= {λi : λi ≠ λj ;i ≠ j; Jmλi = 0;i =

}, а

потому

оказывается

1,n

справедливым матричное соотношение

приведения

подобия

MΛ = AM , где Λ = diag{λi ;i =

1,n

Тогда матричная экспонента принимает вид

e At = M eΛt M −1

= M diag{eλit ;i =

}M −1 ,

(6.29)

1,n

где

M = row{Mi =ξi = arg (Aξi = λiξi );i =

(6.30)

1,n

то есть M – матрица собственных векторов матрицы A.

3. Способ, основанный на приведении к нормальной форме

Жордана матрицы

A. Способ применим к

матрицам

A, спектр

содержит

собственных значений которых σ{A}= λi ;i = 1,r;∑mi = n

i=1

r кратных собственных значений λi кратности mi каждый. Для этого

случая оказывается справедливым матричное соотношение приведения подобия TJ = AT , где

T = row {Ti = [Ti1 = ξi ;Ti2

= (A −λi I )+Ti1...Tim

= (A

−λi I )+Tim −1];i =

1,r

здесь ξi – собственный вектор матрицы

A, соответствующий

собственному значению λ

: ξ

= arg{Aξ

= λ ξ

;i =

}; (*)+ – операция

1,r

i i

псевдообращения матрицы (*).

	λi		1	0 ...
		0	λi	1 ...

			. . ...
J = diag Ji = .
	.		. . ...
		0	0	0 ...
		0	0	0 ...

. r

. ; ∑mi

i =1

1 λi

= n .

В результате для матричной экспоненты eAt можно записать eAt =TeJtT −1 , где матричная экспонента eJt имеет вид

λ t

teλit

t2eλit

tn−1eλit

e i

...

−1)!

teλit

λ t

tn−2eλit

e i

...

(mi

eJt = diag eJit =

...

− 2)!

;∑mi = n .

i=1

λ t

...

te i

...

λ t

e i

4. Способ

преобразования

Лапласа

(6.31)

заключается

вычислении

обратного преобразования Лапласа от резолвенты (sI − A)−1 в форме

eAt = L−1{(sI − A)−1}

(6.32)

Способ поддерживается алгоритмом Д.Фаддеева разложения резолвенты без ее обращения на основе представления

(sI − A)−1 =		1	[∆(sI − A)]T =	sn−1H0 + sn−2 H1 +...+ Hn−1			,

	det(sI − A)			sn + a1sn−1 +...+ an−1s + an
где (n ×n)		– матрицы Hi (i =				−1) и коэффициенты
					0,n

характеристического уравнения вычисляются с помощью рекуррентной процедуры алгоритма Д.Фаддеева:

H0 = I,

a1 = −tr(AH0 )

H1 = AH0 + a1I,

a2 = −tr(AH1) / 2

(6.33)

.......................

..........................

Hk = AHk −1 + ak I,

ak +1 = −tr(AHk ) / k

С использованием

матриц

Hk (k =

0,n −1) для резолвенты

(sI − A)−1 можно записать в форме

(sI − A)

−1

sn−1

H0 +

sn−2

H1 +

... +

Hn−2

Hn−1 .

D(s)

(6.34)

Матричная экспонента (6.32) с использованием (6.34) получает представление

−1

sn−1

−1

sn−2

−1

= L

H0 + L

+... + L

Hn−1 .

D(s)

(6.35)

Запишем характеристический многочлен D(s)

в форме

D(s) = (s

− λ )m1 (s − λ )m2 ...(s − λ )mr ,

тогда становится справедливым представление

k 2

= ∑

+...+

;k = 0,n

−1.

(6.36)

D(s)

s −λ

(s −λi )

Тогда

−1

−1 λ t

= ∑ βk1 +

βk 2t +

+ ...+

t i

e i

;k =

0,n −1.

D( s )

(

)

i 1

−1

(6.37)

Подставляя (6.37) в (6.35) окончательно получим

e At

∑Hn

−1−k ∑

βk1

+ βk 2t + ...+

t mi −1

λit ;k =0,n

−1.

−1)!

k=n−1

i=1

5. Способ Лагранжа–Сильвестра. Интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра в зависимости от свойств минимального многочлена ψ(α )определяется выражениями (6.11),(6.12),(6.16)

которые после замены функции f (λi ) на eλit , A на At , λi наλit дают представлдение матричной экспоненты eAt .

Примечание 6.1 (П6.1. Если (n ×n)–матрица A является нильпотентной индекса ν так, что выполняется условие Aν = 0, то

матричная экспонента e At , задаваемая в силу определения бесконечным рядом (6.25), имеет конечное число членов, равное индексу нильпотентности ν . При эт ом все остальные члены ряда (6.25), содержащие матрицу A в степени ν и выше оказываются равными нулю.

6.3. Обращение матриц с помощью теоремы Гамильтона–Кэли

Теорема Гамильтона–Кэли обнаруживает привлекательные алгоритмические возможности для решения практических задач, связанных с необходимостью обращения матриц. Действительно, запишем матричное соотношение (6.3), представляющее собой аналитическое содержание теоремы Гамильтона – Кэли, в форме

a	I + a	n−1	A + a	n−2	A2 + + a An−1	+ An = 0.	(6.38)
n		n−1		n−2	1

Умножим выражение (6.38) на матрицу A−1слева, тогда получим

an A−1 + an−1I + an−2 A + +

Разрешим полученное матрицы A−1в форме

A−1 = −(an )−1(an−1I + an−2 A + +

a An−2	+ An−1 = 0.	(6.39)
1
соотношение относительно		обратной

a1An−2 + An−1)= −(an )−1 An−1 + n∑−1ai An−1−i . (6.40)

i=1

В результате чего получим алгоритмическую базу обращения матриц. Обращение матриц с помощью приведенного матричного соотношения обладает тем положительным свойством, что (6.40) нечувствительно к обусловленности обращаемой матрицы. Слабым моментом обращения матриц с помощью выражения (6.40) является необходимость знания коэффициентов характеристического полинома. Поэтому предлагаемая процедура обращения не вызовет заметных сложностей для случая разреженных матриц, и особенно удобно пользоваться ею при обращении матриц заданных в сопровождающей (фробениусовой) форме, потому что коэффициенты характеристического полинома в явном виде присутствуют в ней.

матричной функции от матрицы найти алгебраические спектры собственных значений и геометрические спектры собственных

векторов			МФМ		f (A) , порождаемые	следующими скалярными
функциями:
			а) f (α) =1+ α; б) f (α) = −2 + α; в) f (α) = 5 + α; г) f (α) = α2;
			д) f (α) = −10 − 7α + 4α2 + α3; е) f (α) =125 + α3.
	6.2.Найти матричную экспоненту eAt					способом,	основанным на
приведении				к	нормальной форме	Жордана	для матрицы
		0	1	0
A =		0	0
A =		0	0	1 ;
	−8		−12	−6

6.3. Найти eAt методами собственных значений (диагонализации матрицы A )и с помощью преобразования Лапласа для матриц:

	8 − 8		− 2		− 3 1			0
a) A =		− 3		A =		1	− 3	0
	4		− 2 ; б)
		− 4	1			0	0
	3							− 3

6.4. Найти eAt методом собственных значений (диагонализации матрицы A ) и с помощью преобразования Лапласа для матриц:

		0		1 1				−1			− 2 3
а)	A = 0			0 1 ;			б) A =		0		1	−1 ;

			0	0		0		−1			−1	2
			0	0		0		−1			−1	2

в)		2		− 2				σ		ω
в)	A =					;	г) A =				;
		0		−1			− ω			σ
6.5. Вычислить eAt						любым методом для матриц примера 6.3
6.6. Вычислить eAt						численным методом для матриц:
	8 − 8				− 2			− 3			1	0
a) A =							б) A =		1		− 3 0
a) A =	4 − 3				− 2 ;		б) A =		1		− 3 0
					1				0		0
	3 − 4				1				0		0	− 3
	0 1			1			−1 − 2				3
в) A = 0 0				1 ; г)			A = 0		1		−1

		0 0		0			−1		−1		2
		0 0		0			−1		−1		2

							96

2	− 2
д) A =	0	.
0	0

Подготовив схему вычислений в соответствии с соотношениями (6.26), (6.27) и (6.28), положив в разложении матричной экспоненты

eA∆t (6.28) p = 4 и построив его минимальное представление с использованием (6.7), полагая ψ (α) = D(α).

6.7.При каких свойствах матриц A и B справедливо eA eB =eB eA ? 6.8. Доказать справедливость следующих равенств:

а) eA(t +τ ) = eAt eAτ б) e−At = (eAt )−1

в)

= Ae

= e

г)

e( A+В)t = eAt eВt , если AB = BA.

д)∫eAt dt = A−1(eAt − I) = (eAt − I)A−1 при det(A) ≠ 0.

6.9. Пользуясь соотношением (6.40) обратить матрицу

− a

A =

для

следующих вариантов значений ее

− a2

− a1

незаданных элементов:

а)a3 =10;a2 = 7;a1 = −4;б)a3 = 6;a2 =11;a1 =12 ;в) a3 = −15;a2 = 23;a1 = −9

Решение вариантов задач

Решение задачи 6.2. Характеристический

многочлен

D(α)

матрицы

A имеет вид D(α) = (α + 2)3 так,

что собственное значение

λ = −2

характеризуется

кратностью

m = n = 3. В

свою

очередь

характеристическая

матрица

A − λI = A + 2I

обладает

нуль–

пространством N{A + 2I}

размерности

rN =1, которому принадлежит

один

собственный

вектор

ξ = (1,−2,

4)T . В связи

со сказанным

нормальная форма Жордана матрицы A принимает канонический вид

−2

(6.17)

записывается

форме J

−2

. Матрица T

−2

отношения подобия TJ = AT , так что A =TJT −1 , имеет представление

					1	0.8573	0.5442
T = T =ξ;T		=(A +2I )+ T ;T =(A +2I )+ T		= −2		-0.7142	-0.2314	.
1	2	1 3	2
					4	-0.5713	-0.2517
					4	-0.5713	-0.2517

		Тогда в силу свойства 6.2,																				а также представления (6.31) eJt
искомая матричная экспонента eAt																						принимает вид
														−2t					te	−2t		1		t	2	e	−2t
												e							te					t		e
		eAt =TeJtT −1 =T													0				e−2t			2te−2t								T −1 =
																								e−2t
															0					0				e−2t


				1				0 0								0			1 0									0				0 1			1
		=T			0 1 0						e	−2t	+				0 0 1					te	−2t			+				0 0 0					1	t		2	e	−2t			−1	=
		=T			0 1 0						e		+				0 0 1					te				+				0 0 0					2	t			e		T			=
																																			2

			0					0 1								0			0 0									0				0 0
			1				0.857					0.544
							-0.714					-0.231
		= −2					-0.714					-0.231
			4				-0.571					-0.252
			4				-0.571					-0.252
	1 0		0						0		1 0									0		0 1					1
		0 1 0				e	−2t	+		0 0 1						te		−2t	+		0	0 0					1			2	e	−2t
		0 1 0				e		+		0 0 1						te			+		0	0 0					2		t		e
																											2

0 0			1						0		0 0									0		0 0
		0.048					−0.095					0.190							1		0	0								2		1	0								4	4		1	1
		−1.430						−2.431													1			−						0		2	1			−			+ −8			−8		−2	1	−
		−1.430						−2.431				−0.838 = 0									1	0 e			2t +					0		2	1	te			2t		+ −8			−8		−2	2	t2e	2t .
																																													2
								4.005				1.001									0											−12										16		4
		4.004						4.005				1.001							0		0	1						−8				−12	−4							16		16		4
		Поставленная задача решена.																																													■

7. МАТРИЦЫ ОСОБОЙ КОНСТРУКЦИИ	Отформатировано: Отступ: Первая
	строка: 1 см
7.1.Кронекеровские матричные структуры, область применения и	Отформатировано

свойства

Приступим к изучению кронекеровских (прямых) матричных структур, которые используются при решении матричных уравнений и описании процессов с перемножением переменных. Если компоненты кронекеровских матричных структур квадратные, то квадратной является и сама кронекеровская матричная структура, вычисление собственных значений которой осуществляется на основе свойств матричной функции от матрицы, но уже по более сложной схеме.

Определение 7.1(О7.1). Кронекеровским произведением двух

векторов x

y ,

x Rn , y Rm ,

называется

вектор

x y ,

составленный

из

сепаратных произведений {xi y j ;i =

; j =

} их

1,n

1,m

элементов так, что становится справедливым представление

x y = col{xi y j ; i =

; j =

}, x y Rnm .

(7.1)

1,n

1,m

Примечание 7.1(П7.1). Очевидно, кроме кронекеровского

произведения

x y

двух векторов может быть

построено

также

произведение

y x этих же векторов,

причем, в общем случае эти

произведения оказываются не коммутативными так, что x y ≠ y x ,

хотя наборы компонентов у них одинаковые.

Определение 7.2(О7.2). Если размерности векторов x и y одинаковы, то на их кронекеровском произведении x y может быть

построено согласованное сужение этого произведения	(x y)S ,
задаваемого представлением:
(x y)S = col{xi yi ;i =1,n}.	(7.2)

Примечание 7.2(П7.2). Согласованное сужение кронекеровского векторного произведения x y может быть осуществлено с помощью

оператора сужения с матрицей S вида
S = diag{[01×(i−1) 1 01×(n−i)];i =1,n}	(7.3)
так, что становится справедливой запись:
(x y)S = S (x y) .	(7.4)

В качестве свойств кронекеровского произведения векторов рассмотрим правила дифференцирования кронекеровских векторных произведений по скалярному параметру, которым является время.

Свойство 7.1(СВ7.1). Дифференцирование векторной кронекеровской структуры в виде их кронекеровского произведения векторов осуществляется по правилам дифференцирования сложной функции, представленной в мультикативной форме так, что:

	d
			∆	•
			(x(t) y(t))=(x(t) y(t)) = x(t) y(t) + x(t) y(t) .							(7.5)
	dt
Определение 7.3 (О7.3). Кронекеровским произведением
прямоугольных матриц				A Rn×m , B R p×q					называется	матрица
(A B) размерности (np ×mq) , составленная в силу соотношения
		A B = col{row(Ai, j B; j =				);i =		}.		(7.6)
					1, m		1, n

Примечание 7.3 (П7.3). Кронекеровское произведение произвольных прямоугольных матриц не обладает свойством

коммутативности так, что
A B ≠ B A	(7.7)
Определение 7.4 (О7.4). Кронекеровской суммой	квадратных

матриц A Rn×n и B Rm×m называется матрица (A B) , размерности (nm × nm) , составленная в силу соотношения

A B = A IB + I A B ,	(7.8)
где I A , I B - единичные матрицы,	согласованные по размерности

соответственно с матрицами А и В.

Примечание 7.4 (П7.4). Для кронекеровской суммы квадратных матриц А и В, а в общем случае произвольного числа матриц, существует альтернативное название – преобразование Сильвестра матриц, что записывается в форме

∆	∆
A B = A I B + I A B =Si{A, B}.		(7.9)

Для случая трех квадратных матриц А, В, С кронекеровская сумма или их преобразование Сильвестра будет записано в форме:

Si{A, B,C} = A B C = A IB IC + I A B IC + I A IB C . (7.10)

Отметим, что как и кронекеровское произведение матриц, кронекеровская сумма не коммутативна.

Кронекеровские матричные структуры, введенные выше, обладают следующими свойствами.

Свойство 7.2 (СВ7.2). Алгебраический спектр собственных значений кронекеровского произведения A B квадратных матриц

A Rn×n и B Rm×m как матричной функции от матриц обладает тем свойством, что его элементы образованы попарными произведениями собственных значений кронекеровски перемножаемых матриц:

σ{A B} ={µk : det(µI − A B) = 0;µk = λAiλBj ;i =1,n; j =1,m;k =1,mn}.(7.11)

Свойство 7.3 (СВ7.3). Алгебраический спектр собственных значений кронекеровской суммы A B квадратных матриц A Rn×n и

B Rm×m как матричной функции от матрицы обладает тем свойством, что его элементы образованы попарными суммами собственных значений кронекеровски суммируемых матриц:

σ{A B} ={νl :det(νI − A B) = 0;νl = λAi + λBj ;i =1,n; j =1,m;l =1,mn}. (7.12)

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 195 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.11.201820.26 Mб64Магнитные и электромагнитные 2011.doc
#
06.11.201922.45 Кб7Манипуляции массами и психоанализ.docx
#
01.07.202557.56 Кб1маркировка итмо.docx
#
29.08.201954.19 Кб4МАРКС-БУЛГАКОВ.docx
#
20.03.201656.32 Кб6Марокко.doc
#
14.04.20154.21 Mб91Мат.основы теории систем.pdf
#
14.04.20153.5 Mб40мат_модели_logistics.pdf
#
01.03.20251.72 Mб0матан 12-23.docx
#
22.07.201930.45 Кб3матан.docx
#
14.04.2015857.82 Кб12математика +.pdf
#
21.03.20162.39 Mб44Математика типовик 3 модуль.pdf