Задача 4. Пучок монохроматичного світла падає нормально на плоску поверхню. Потік енергії Ф = 0,5 Вт. Сила тиску на поверхню

дорівнює F = 3 нН. Визначити коефіцієнт відбиття.

Задача 5. Обчислити радіус п’ятої орбіти в атомі водню і визначити швидкість обертання електрона на цій орбіті.

Розв’язання

Відповідно до теорії Бора умова стаціонарних орбіт в атомі водню визначається співвідношенням

стала Планка, n – головне квантове число ( n =1, 2, 3,…), яке відповідає

При обертанні електрона навколо ядра сили взаємодії між електричними зарядами ядра і електрона надають останньому доцентрове прискорення. Згідно другому закону Ньютона

180

Відповідно знаходимо за формулою (5) з урахуванням числового значення (7) швидкість електрона на п’ятій орбіті атома водню

υ5 = 0, 45 Мм/с.

Задача 6. Найменша напруга на рентгенівській трубці, при якій з’являються Kα -лінії в спектрі характеристичного рентгенівського

випромінювання дорівнює Umin = 8 кВ. Визначити, з якого матеріалу виготовлений антикатод цієї трубки. Обчислити частоту ν і енергію фотона, який належить до Kα - лінії в спектрі характеристичного

випромінювання матеріалу антикатода.

Розв’язання

Рентгенівське випромінювання з’являється при бомбардуванні антикатода трубки електронами, які випромінюються катодом, за рахунок енергії, що губиться при гальмуванні електроном. Величина кванта ω не може перебільшувати енергію електрона. Тому квант випромінювання з’явиться тоді, коли його енергія дорівнюватиме мінімальній енергії електрона, який бомбардує антикатод.

Отже,

181

Якщо енергія електрона достатня, щоб проникнути в глибину електронної оболонки атома, то він здатний вибити електрони, які належать електронним шарам атома. При цьому на фоні суцільного рентгенівського спектра з’являються лінії характеристичного випромінювання.

Частота лінії Kα -серії підпорядковується закону Мозлі

h

де h = 6,63 10−34 Дж·с.

Розрахунок дає

ν=19,3 фГц.

Задача 7. Електрон рухається зі швидкістю υ = 212 Мм/с. Визначити

довжину хвилі де Бройля електрона. Порівняти її з комптонівською довжиною хвилі.

182

Розв’язання

Оскільки швидкість електрона дорівнює υ = 212 Мм/с= 2,12 108 м/с,

приходимо до висновку, що імпульс електрона теж релятивістський і має вигляд

1−υc22

де m0 – маса спокою електрона. Підставляючи (1) в формулу де Бройля, маємо

Застосовуючи співвідношення невизначеностей, знайти кінетичну енергію електрона в атомі водню.

Якщо діаметр атома l , тоді електрон буде знаходитися в атомі в межах області з невизначеністю

x = 2l .

Тоді співвідношення (1) можна записати

Невизначеність імпульсу не може перебільшувати значення самого імпульсу, тобто

183

нормувальний коефіцієнт хвильової функції, яка описує стан протона у потенціальній ямі; 3) імовірність того, що протон знаходиться в ямі в

якій рухається протон ( m =1,675 10−27 кг), рівняння (1) набуває вигляду

184

Рисунок 6.1

За межі потенціальної ями протон потрапити не може, тому імовірність виявлення його зовні дорівнює нулю. А з умови безперервності випливає, що хвильова функція Ψ повинна бути рівною нулю і на межах ями, тобто

і знаходимо, що це можливо лише при

kl = ±nπ ( n =1, 2, 3,…) (10) (випадок n = 0 не може бути реалізованим, бо це означає, що протон

ніде не знаходиться).

З рівнянь (5) і (10) знаходимо

185

дорівнює

A =1,45 105 м-1.

186

3. Знайдемо імовірність того, що протон знаходиться в потенціальній ямі в межах 5l ≤ x ≤ 25l .

Враховуючи, що протон перебуває у збудженому стані ( n = 5 ), хвильова функція, яка описує його стан, згідно (13) і (15) має вигляд

Імовірність виявлення протона в заданих межах ями знайдемо за формулою

6.3 Задачі для самостійного розв’язання

6.1 Вважаючи, що муфельна піч випромінює як абсолютно чорне тіло і розсіює стінками 70% потужності, визначити температуру її внутрішньої поверхні при відкритому оглядовому отворі площею S = 20 см2, якщо потужність, яка споживається піччю, дорівнює P =1,4 кВт.

Відповідь: T =1386 К.

6.2 Термодинамічна температура абсолютно чорного тіла зросла у 3 рази. Визначити, у скільки разів збільшилась при цьому його енергетична світність? У скільки разів і як змінилася довжина хвилі, яка відповідає максимуму його випромінювальної здатності?

Відповідь:1) Re2 = 6561 раз; 2) Зменшилась у 3 рази.

Re1

6.3 Енергія, що випромінюється за час t = 2 хв. з оглядового віконця площею S =10 см2 плавильної печі, дорівнює W = 8 кДж. Визначити температуру печі.

Відповідь: T =1025 К.

187

6.4 Куля радіусом R = 8 см випромінює як сіре тіло. Потужність

чорного тіла. Термодинамічна температура тіла при цьому зменшилась у три рази. Знайти початкову і кінцеву температури і довжини хвиль, на які приходяться максимуми випромінювальної здатності на цих температурах. У скільки разів змінилась випромінювальна здатність?

Відповідь: 1) T1 = 9,66 кК, T2 = 3,22 кК;

2)λ1 = 300 нм, λ2 = 900 нм;

3)r1 = 243 . r2

6.6Довжина хвилі, на яку приходиться максимум випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла, зменшилась у три рази при збільшенні

його температури від T1 до T2 . Визначити, у скільки разів і як зміниться

площа, що обмежена графіком функцій випромінювальної здатності тіла від довжини хвилі.

Відповідь: збільшиться у 81 раз.

6.7 Куб, ребра якого a = 20 см, нагрітий до деякої сталої температури. Випромінювальна потужність куба P = 2 кВт, коефіцієнт чорноти α = 0,2 . Знайти температуру куба.

Відповідь: T = 930 К.

6.8 До мідного циліндра довжиною l = 4 см і діаметром d = 2 см підводиться тепло потужністю P = 0,2 Вт, в результаті чого температура циліндра підтримується сталою і рівною t =17°C . Визначити температуру

простору, оточуючого циліндр. Поглинальна здатність міді αT = 0,6 . Відповідь: t0 = −5°C .

6.9 По дроту діаметром d =1мм протікає струм I = 5 А. Температура дроту підтримується сталою і рівною t = 727°C . Питомий опір дроту

188

ρ = 9,2 10−7 Ом м. Температура оточуючого дріт середовища t =17°C .

Знайти поглинальну здатність дроту, вважаючи його поверхню сірою. Відповідь: αT = 0,165 .

6.10 Зірка масою m =1,98 1030 кг і радіусом R = 6,95 108 м

випромінює як абсолютно чорне тіло. Максимум випромінювальної здатності зірки приходиться на довжину хвилі λ = 480 нм. Знайти її

максимальну випромінювальну здатність r(λ,T )max і час t , за який зірка втратить свою масу внаслідок випромінювання електромагнітних хвиль.

Відповідь: 1) r(λ,T )max =1,04 1024 Вт/м.

2)t =1,24 1013 років.

6.11На вольфрам падає світло з довжиною хвилі λ = 200 нм. Визначити найменшу затримуючу напругу, при якій фотострум припиниться, якщо робота виходу з вольфраму A = 4,52 еВ.

Відповідь: U3 =1,695 В.

6.12 Затримуюча напруга для калієвої пластинки U1 = 0,91 В. Робота виходу електронів з калію A1 = 2,2 еВ. При тих самих умовах для іншої пластинки затримуюча напруга дорівнює U2 = 3 В. Визначити роботу

виходу з цієї пластинки. Відповідь: A2 = 0,113 еВ.

6.13 Максимальна швидкість електронів, які вириваються з деякого металу світлом з довжиною хвилі λ = 500 нм, дорівнює υmax = 540 км/с. Визначити червону межу фотоефекту.

Відповідь: λ0 = 750,5 нм.

6.14 Робота виходу із срібла A = 4,7 еВ. На пластинку із срібла падає монохроматичне світло з довжиною хвилі λ = 208 нм. Визначити максимальний імпульс, який передається поверхні срібла при вилітанні електрона.

Відповідь: pmax = 6,08 10−25 кг·м/с.

189

6.15 На поверхню вольфраму (робота виходу A = 4,52 еВ) падає γ -

випромінювання з довжиною хвилі λ =1 пм. Визначити максимальну швидкість фотоелектронів, які вириваються з поверхні вольфраму.

Відповідь: υmax = 287 Мм/с.

6.16 На абсолютно чорну поверхню S = 2 м2, яка розташована перпендикулярно падаючим променям монохроматичного світла,

щосекунди падає N = 8 1019 фотонів. Тиск, який спричиняє світло на поверхню, дорівнює p = 0,1 мкПа. Визначити довжину хвилі світла.

Відповідь: λ = 265,2 нм.

6.17 Тиск монохроматичного світла з довжиною хвилі λ = 400 нм на ідеально відбиваючу поверхню, розташовану нормально до падаючого випромінювання, дорівнює p = 0,2 мкПа. Визначити число фотонів, які

падають на поверхню площею S = 80 см2 за одну секунду. Відповідь: N = 4,85 1017 .

6.18 При розсіянні вузького пучка монохроматичного рентгенівського випромінювання на розсіючій речовині виявилось, що довжини хвиль розсіяного під кутами Θ1 = 45°і Θ2 = 90° випромінювання

відрізняються у два рази. Визначити довжину хвилі падаючого випромінювання, вважаючи, що розсіяння відбувається на вільних електронах.

Відповідь: λ =1,01пм.

6.19Фотон розсіявся на вільному електроні, який знаходився у стані спокою. В результаті цього довжина хвилі розсіяного фотона збільшилася на 15%, а кінетична енергія електрона віддачі складала 45 кеВ. Визначити

енергію фотона до розсіювання на електроні. Відповідь: ε = 0,346 МеВ.

6.20В результаті ефекту Комптона фотон з енергією ε = 0,5 МеВ при

зіткненні з вільним електроном розсіявся під кутом Θ = 60o . Знайти енергію ε' розсіяного фотона.

Відповідь: ε' = 0,312 МеВ.

6.21 На четвертій орбіті атома водню рухається електрон. Визначити орбітальний магнітний момент електрона.

190

Відповідь: pm = 3,69 10−23 А·м2.

6.22 Електрон переходить із збудженого стану в основний і випромінює фотон з довжиною хвилі λ =102,6 нм. Визначити, на якій

орбіті знаходився електрон. Обчислити радіус цієї орбіти і орбітальний механічний момент електрона, коли він знаходився на даній орбіті.

Відповідь: 1) n = 3 ; 2) r3 = 47,61нм; 3) L = 9,45 10−34 Дж·с.

6.23 Визначити швидкість і частоту обертання електрона на четвертій орбіті атома водню та еквівалентний струм.

Відповідь: υ4 = 0,55 Мм/с; ν =1,03 1014 Гц.

6.24Визначити період обертання електрона на третій орбіті атома

водню.

Відповідь: 4,1фс; I = 39 мкА.

6.25Частота світла, яку випромінює атом водню при переході

електрона на рівень з головним квантовим числом n = 3 , дорівнює ν = 3,29 1014 Гц. Визначити, у скільки разів змінився при цьому радіус

орбіти електрона. Відповідь: у 10 разів.

6.26 Електрон обертається в атомі водню з частотою ν = 8,22 1014 Гц.

Визначити, на якій орбіті знаходиться цей електрон. Відповідь: n = 2 .

6.27 Атом випромінює фотон з довжиною хвилі λ = 486 нм. Визначити зміну орбітального механічного моменту електрона при переході із збудженого стану в основний.

Відповідь: L =1,14 10−35 Дж·с.

6.28 При зменшенні різниці потенціалів у три рази короткохвильова межа суцільного рентгенівського спектра змінилась на 50 пм. Знайти початкову і кінцеву довжини хвиль короткохвильової межі даного спектра.

Відповідь: λ1min = 25 пм; λ2 min = 75 пм.

191

6.29 Максимальна швидкість електронів, що долітають до антикатода рентгенівської трубки, дорівнює υmax =18 Мм/с. Визначити довжину хвилі

короткохвильової межі рентгенівського спектра. Відповідь: λmin =1,35 нм.

6.30 Рентгенівська трубка має антикатод з ніобію. Яку напругу прикладено до рентгенівської трубки, якщо різниця довжини хвиль Kα -

лінії та короткохвильової межі суцільного спектра дорівнює 20 пм? Відповідь: U = 22,3 кВ.

6.31 Електрон в атомі водню переходить з шостої орбіти на другу. Як зміниться при цьому довжина хвилі де Бройля?

Відповідь: λ6 = 3 .

λ2

6.32 Електрон був прискорений різницею потенціалів U = 600 В. Визначити довжину хвилі де Бройля для цього електрона.

Відповідь: λ = 50,1 пм.

6.33 Довжина хвилі де Бройля для електрона, який знаходиться в атомі водню, дорівнює λ =1,27 нм. Визначити номер цієї орбіти і радіус.

Відповідь: n = 4 ; r = 0,85 нм.

6.34 Довжина хвилі де Бройля нейтрона, який рухається в середовищі з найбільш імовірною швидкістю, дорівнює λ =177 пм. Знайти температуру t°C оточуючого середовища.

Відповідь: t = 30°C .

6.35Знайти довжину хвилі де Бройля для протона, кінетична енергія якого дорівнює: 1) 1 еВ; 2) 1 кеВ; 3) 1 МеВ.

Відповідь: 1) 23,15 пм; 2) 0,91 пм; 3) 28,6 фм.

6.36Електрон рухається в однорідному магнітному полі з індукцією B = 0,1 Тл по колу. Визначити довжину хвилі де Бройля для електрона і

швидкість його обертання.

Відповідь: λ = 82,9 фм; υ = 8,8 Гм/с.

192

6.37 Короткохвильова межа гальмового рентгенівського спектра, виникаючого при бомбардуванні антикатода рентгенівської трубки електронами, дорівнює λmin = 2 нм. Визначити довжину хвилі де Бройля

електронів.

Відповідь: λ = 49,2 пм.

6.38 Відношення ширини енергетичного рівня, на якому знаходиться збуджений електрон, до енергії, що випромінює атом, дорівнює

знайти довжину хвилі випромінюваного атомом фотона. Відповідь: λ = 0,45 мкм.

6.39Визначити невизначеність координати електрона, який рухається

ватомі водню по другій борівській орбіті, якщо невизначеність швидкості

складає 15% від її числового значення. Відповідь: x = 4,43 нм.

6.41 Електрон знаходиться в одновимірній прямокутній потенціальній нескінченно глибокій ямі шириною l . Визначити імовірність виявлення електрона в першій чверті ями, якщо електрон знаходиться у збудженому стані ( n = 4 ).

Відповідь: w = 0,25 .

6.42 Визначити імовірність виявлення частинки у лівій чверті одновимірної прямокутної потенціальної нескінченно глибокої ями шириною l . Частинка знаходиться в основному стані.

Відповідь: w = 0,09 .

193

6.43 Визначити імовірність виявлення частинки у третій чверті одновимірної прямокутної потенціальної нескінченно глибокої ями шириною l . Частинка знаходиться у збудженому стані ( n = 2 ).

Відповідь: w = 0,25 .

6.44 Визначити, в яких точках одновимірної прямокутної потенціальної нескінченно глибокої ями шириною l густина імовірності виявлення частинки буде максимальною і мінімальною. Частинка знаходиться у збудженому стані ( n = 4 ).

частинки, яка знаходиться в одновимірній прямокутній потенціальній нескінченно глибокій ямі шириною l при переході цієї частинки із стану n = 4 у стан n' =10 .

Відповідь: зменшиться у 2,68 рази.

6.46 Хвильова функція, яка описує деяку частинку, має вигляд

−r3

Ψ= Ae 3a3 , де r – відстань частинки від силового центра; a – деяка стала. Визначити найбільш імовірну відстань ri частинки від силового

центра.

Відповідь: ri = a .

6.47Визначити ширину одновимірної прямокутної потенціальної ями

знескінченно високими стінками, якщо електрон знаходиться у збудженому стані ( n = 4 ) і дискретність його енергетичного спектра

порівняна з його середньою кінетичною енергією при температурі t = 20°C .

Відповідь: l = 9,4 нм.

194

6.48 Протон рухається в одновимірній прямокутній потенціальній ямі нескінченної глибини. Знайти ширину ями, якщо різниця між четвертим і третім збудженими станами дорівнює 0,5 еВ.

Відповідь: l = 20,14 пм.

195