Discret / Lect06_DM_KI
.pdf
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Дедекиндовы (модулярные) решетки
Def: дедекиндова (модулярная) решетка
x,y,z H, y≤z: (y x)∩z=y (x∩z)
Критерий дедекиндовости решетки:
решетка Н дедекиндова Hm H Пояснение:
2,3,4 Hm, 3≤4 |
3 (2∩4) |
(3 2)∩4 |
|
5∩4 |
3 1 |
4 |
≠ 3 |
5
Hm 
4
2
3
1
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
11 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Историческая справка
Немецкий математик
Член Берлинской, парижской и Римской Академий наук
Родился в Брауншвейге
Учился в Геттингенском университете
Профессор Высшей технической школы в Брауншвейге
Дал теоретико-множественное обоснование теории действительных чисел
Ввел теоретико-множественное понятие отображения
Разработал основы теории структур
С его именем связаны многочисленные математические утверждения и термины: кольцо, поле, структура, сечение, функция
Дедекинд
Рихард
Юлиус
Вильгельм
(XIX-XXвв.)
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
12 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Дистрибутивные решетки
Def: дистрибутивная решетка
x,y,z H (x y)∩z=(x∩z) (y∩z)
Критерий дистрибутивности решетки:
решетка H дистрибутивная Пояснение: Hm H , Hg H
2,3,4 Hm |
(2∩4) (3∩4) |
(2 3)∩4 |
|
5∩4 |
1 1 |
4 |
≠ 1 |
Hg 
5
2
3
4
1
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
13 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Изоморфизм множеств
Def: множества M и M* изоморфны, если
η: M →M* mi M ! m′i M* : m′i =η(mi )
η−1 : M* →M m′i M* ! mi M: mi =η−1(m′i )
Def: упорядоченные множества M и M* изоморфны, если между ними существует изоморфизм, сохраняющий порядок
mi , m j M: mi ≤ m j η(mi ),η(m j ) M : η(mi ) ≤η(m j )
η(mi ),η(m j ) M : η(mi ) ≤η(m j ) mi , m j M: mi ≤ m j
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
14 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Изоморфизм алгебр. 1
Понятие изоморфизма является одним из важных в математике
Любые две алгебры, образованные множествами одинаковой мощности, изоморфны (операции одинаковы, отображение – взаимно-однозначное соответствие множеств-носителей)
Суть изоморфизма можно выразить следующим образом: если алгебры А и А* изоморфны, то элементы и операции в алгебре А* можно переименовать так, что А* совпадает с А
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
15 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Изоморфизм алгебр. 2
Любое эквивалентное соотношение в алгебре А сохраняется и в любой изоморфной ей алгебре А*, что позволяет автоматически распространять такие соотношения в алгебре А на все изоморфные ей алгебры
Указанные обстоятельства дают возможность
рассматривать объекты с точностью до изоморфизма, т.е. рассматривать только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме
В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
16 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Выводы
Структура – от латинского: расположение, строение. Чтобы определить структуру, задают отношения, в которых находятся элементы множества (тúповая характеристика структуры), а затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют определенным условиям – аксиомам структуры.
Операции |
Множества |
Отношения |
Алгебры |
Решетки |
Модели |
Алгебраические системы
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
17 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Выводы: схема взаимосвязей между понятиями
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изоморфизм |
AB |
||
|
Множества |
|
+ |
Операции, законы |
= |
Ak = < Nk, Sk> |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Декартово |
|
Соответствия |
+ |
Свойства |
= |
Классификация |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
произведение A×B |
|
× |
|
|
соответствий |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
G A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Декартова |
|
|
Отношения |
+ |
Операции, |
= |
Ar = < Nr , Sr> |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
степень A |
n |
|
|
Rn A |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
законы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Декартов |
|
|
|
Бинарное |
|
|
R≤ |
|
Операции, |
|
Структуры |
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
отношение |
|
|
+ |
= |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
квадрат A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
R A2 |
|
|
|
|
|
|
законы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R~ |
|
|
Дедекиндовы |
|
|
Дистрибутивные |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
18 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Тест-вопросы
1. Решетка определяется на: а) произвольном множестве; б) линейно упорядоченном множестве; в) частично упорядоченном множестве;
г) неупорядоченном множестве?
2. Какой из законов не обязательно присутствует в определении решетки:
а) коммутативный; б) дистрибутивный; в) элиминации; г) ассоциативный?
3. Какой закон в дополнение к обязательным определяет решетку как булеву алгебру:
а) дистрибутивный; б) коммутативный; в) элиминации; г) ассоциативный?
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ, |
19 |
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua |
Структуры (решетки). Изоморфизм |
2011 |
Тест-вопросы
4. Какие из элементов структуры Н сравнимы:
а) {a} и {a,c}; б) {a} и {c};
в) {b} и {a,b,c};
г) никакая пара не является сравнимой?
Н
U={a,b,c}
{a,b} 
{a,c} 
{b,c}
{a} |
{b} |
{ c} |
ХНУРЭ, факультет КИУ, кафедра АПВТ,
тел. 7021 326, ri@kture.kharkov.ua
5.Определить результаты выполнения операций над элементами структуры Н:
а) {a}∩{a,c}; б) {a}U{c};
в) {b}∩{a,b,c};
6.Обосновать, является ли решетка Н дедекиндовой и дистрибутивной?
20