5.2 Перехід до нового базису. Орієнтація базису. Скалярний добуток. Евклідовий простір

Базис геометричних векторів

Розглянемо в лінійному просторі геометричних векторів деякий базис , за який можна взяти будь-які три некомпланарні вектори, що не лежать в одній площині. Тоді будь-який вектор можна записати у вигляді розкладання по цьому базису, наприклад, , . Таким чином, кожному вектору відповідає рядок із його координат у даному базисі, наприклад,,. Оскільки всі лінійні простори однакової вимірності ізоморфні, то звідси випливають правила дій над координатами вектора, а саме:

а) при множенні вектора на число його координати помножуються на це число;

б) при додаванні векторів їх координати також додаються. Дійсно,

;

У цих перетвореннях використані правила множення рядків на число та додавання рядків.

Найчастіше в просторі геометричних векторів за базис беруть вектори довжиною в одиницю, які спрямовані по осях декартової прямокутної системи координат (рис.5.3).

Рисунок 5.3

Їх стандартне позначення: . Ці вектори називають ортами, а вся трійка загалом називаєтьсярепером.

Якщо взяти другий базис, то координати вектора зміняться. Очевидно, нові координати зв’язані з старими певними відношеннями. Розглянемо це питання в загальному вигляді для п-вимірного простору.

Перехід до нового базису

Хай у п-вимірному лінійному просторі вибрані два базиси та. Довільний елементможна розкласти за кожним з цих базисів

,

.

Таким чином, і кожний вектор базису можна розкласти за базисом

.

Складемо із коефіцієнтів матрицю і транспонуємо її. Одержимо так звануматрицю переходу від базису до базисувиду

.

Оскільки вектори лінійно незалежні, то стовпці цієї матриці лінійно незалежні. Тоді її ранг дорівнюєп і тому . Відтак, ця матриця невироджена і має обернену матрицю.

Знайдемо формули, які зв’язують координати вектора в різних базисах. Очевидно, що

.

Підставимо сюди розкладання векторів . Маємо

.

Зліва і справа одержали розкладання за одним і тим же базисом. Отже,

. (5.1)

Формула (5.1) є перетворення координат вектора при переході від базису до базису . У матричному вигляді цю формулу можна переписати так:

,

де та– стовпці координат, а– матриця переходу. З цього ж рівняння маємо

.

До речі, елементи оберненої матриці є коефіцієнтами розкладання базисних векторівза базисом. Дійсно, розглянемо систему рівнянь

Помножимо ці рівняння на алгебричні доповнення елементів k-го рядка визначника і складемо їх. Ураховуючи властивості визначників, матимемо

.

Звідси

,

де – елементи оберненої матриці.

Орієнтація базису

Вважатимемо, що в кожному вибраному базисі порядок розташування елементів строго заданий, тобто, якщо в даному наборі базисних елементів поміняти місцями хоча б два елементи, то одержимо новий базис. Іншими словами, набори базисних елементів – це упорядковані підмножини елементів. Тоді всі базиси можна розділити на два класи.

Якщо >0, де Р – матриця переходу від одного базису до іншого, то такі базиси називатимемо однаково орієнтованими. Якщо <0, то протилежно орієнтованими. Як правило, базиси одного класу називають праворуч орієнтованими, а іншого – ліворуч орієнтованими.

Розглянемо два репери: та. Матриця переходу знаходиться з розкладань

,

тобто це базиси різної орієнтації. Перший називають правим репером, а другий – лівим. Це пов’язано з правилом правої руки. Якщо вектор направити за середнім пальцем правої руки,– за великим пальцем, а– за вказівним, то найкоротший поворот від першого до другого, від другого до третього і від третього до першого буде проти годинникової стрілки (рис. 5.4).

Рисунок 5.4

Для другого базису таке ж правило справедливе щодо лівої руки, і обертання за годинниковою стрілкою (рис.5.5). Тобто, якщо направити за середнім,– за великим,– за вказівним пальцем лівої руки, то найкоротший поворот буде за годинниковою стрілкою.

Рисунок 5.5

Кажуть, що вектори ,,утворюютьправу трійку, а вектори ,,–ліву.

Скалярний добуток елементів лінійного простору. Евклідовий простір

У лінійному просторі можна ввести так званий скалярний (внутрішній) добуток двох елементів, якщо кожній парі елементів поставити у відповідність число. Це позначають так: . Ця відповідність має підкорятися правилам:

1) ;

2) ;

3) ; (5.2)

4) .

Приклади.

1. Для арифметичного простору введемо скалярний добуток як суму добутків елементів рядків, а сам, для , та, скалярний добуток можна визначити як

.

Неважко перевірити, що всі чотири правила (5.2) виконуються, тобто скалярний добуток введено правильно.

2. Розглянемо простір геометричних векторів. Введемо скалярний добуток

,

де - кут між векторамита. Також неважко показати, що правила (5.2) виконуються. Доведемо, наприклад, друге. Для його доведення замітимо, що добуток можна записати інакше, а саме,

,

де – є проекція векторана напрямок вектора(рис. 5.6). Проекція виражається скалярним дійсним числом, яке є додатним, коли напрямок проекції співпадає з напрямком осі, і від’ємним, коли напрямок проекції протилежний напрямку осі .

Рисунок 5.6

Тоді, як видно з рис.5.7,

Рисунок 5.7

=.

Лінійний простір, у якому введено скалярний добуток елементів, називається евклідовим простором.

У подальшому використовуватиметься нерівність Коші-Буняковського:

.

Доведення.

Згідно з четвертим правилом скалярного добутку . Розкриємо добуток зліва, використовуючи перші три правила з (5.2)

.

Його можна розглядати як квадратичний тричлен щодо . Оскільки, то квадратичний тричлен задовольнятиме нерівність тільки тоді, коли його дискримінант від’ємний або дорівнює нулю, тобто

.

Звідси і випливає нерівність Коші-Буняковського. Що й потрібно було довести.

Для геометричних векторів ця нерівність очевидна через те, що

,

оскільки .

Якщо в евклідовому просторі вибрано базис, то скалярний добуток можна записати через координати в цьому базисі. Нехай

.

Тоді

==, (5.3)

де . Ця сума маєдоданків.

Якщо в (11.24) , то маємо

.

Така сума називається квадратичною формою.

Контрольні запитання та завдання

1. Як задається матриця переходу від одного базису до іншого?

2. Запишіть координати елемента лінійного простору в новому базисі.

3. Дайте означення орієнтації базису.

4. Дайте означення скалярного добутку елементів лінійного простору.

5. Дайте означення скалярного добутку геометричних векторів.

6. Дайте означення проекції вектора на заданий напрямок.

7. Сформулюйте нерівність Коші-Буняковського.

8. Дайте запис скалярного добутку через координати елементів у довільному базисі.