Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Л_3_ИсслОп2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

311.56 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)

Лекция 3

3.1 Теоремы о свойствах решения задачи ЛП

Представим задачу ЛП в каноническом виде:

max(min)

(1)

...

(2)

(3)

0, j 1,n

a21

a22

a2n

где A1

, …, An

....

am1

am2

amn

Задача ЛП (1), (2), (3) будет иметь решение тогда, когда совместна система линейных уравнений (2); последняя совместна при выполнении условия: r n, где r - ранг системы (число линейно-независимых уравнений системы). При этом (2) имеет бесконечное множество решений, и необходимо из этого множества выбрать оптимальное.

Предположим, что r m, т.е. все m уравнений (2) линейно-независимы. В этом случае система векторов A1,A2,...,An содержит в себе подсистему линейно-независимых векторов A1,A2,...,Am . Переменные x1,x2,...,xm ,

соответствующие векторам базиса A1,A2,...,Am , являются линейно-

независимыми (базисными) переменными (БП). По базисным может быть


разложен любой вектор		1,		2,...,				n . Остальные переменные		xm 1,xm 2,...,xn
разложен любой вектор	A	1,	A	2,...,		A		n . Остальные переменные		xm 1,xm 2,...,xn
называются свободными переменными (СП).									j
Если положить СП равными нулю и при этом xj 0,											, т.е. БП –
Если положить СП равными нулю и при этом xj 0,										1,m	, т.е. БП –
неотрицательны, то вектор
							x1,x2,...,xm;0,0,...,0)			(4)
					x		x1,x2,...,xm;0,0,...,0)			(4)
представляет опорное решение (план) задачи ЛП.

Доказательства следующих двух теорем основано на том, что многогранник в ЗЛП составлен пересечением m полупространств, заданных ограничениями, а следовательно, является выпуклым. Угловая точка выпуклого многогранника не может быть линейной выпуклой комбинацией других его точек.

Теорема 3.1. Если система векторов A1,A2,...,An содержит подсистему линейно-независимых векторов A1,A2,...,Am , то опорный план x x1,x2,...,xm;0,0,...,0) является крайней (угловой) точкой многогранника плана. Здесь и далее точка(вектор) обозначается x, либо x.

Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)

Доказательство (см. [4] Кузнецов В.А., Сакович И.Н., Холод И.В. Высшая математика. Математическое программирование – Т.1.3, стр.37)

Так как векторы А1, А2, ..., Аm линейно независимы, то вектор А0 может быть выражен через них единственным образом:

А1xl +А2x2 +... +Аmxm= А0.

(5)

Предположим, что точка (4) не является крайней. Тогда ее можно представить как выпуклую линейную комбинацию двух других различных точекx1 их2 многогранника планов, т. е.

					x 1				1 2				2			1		0,			2	0,	1 2	1,	(6)
					x 1			x	1 2		x		2			1		0,			2	0,	1 2	1,	(6)
где				1	x1	,x1	,...,x1			,x1				,...,x1 ),											(7)
где		x		1	x1	,x1	,...,x1			,x1				,...,x1 ),											(7)
					1	2			m	m 1					n
			2		x2	,x2	,...,x2			,x2				,...,x2 ).											(8)
	x		2		x2	,x2	,...,x2			,x2				,...,x2 ).											(8)
					1	2			m	m 1					n
Подставив в равенство (6) координаты точек (7),(8) и (4), получим
										x		i		x1					2	x2		i 1,...m,
												i			1	i			2		i
										0 x1							2	x2			i m 1,...,n
														1	i		2			i

x — не крайняя, допустимая точка. 1,2>0.

Отсюда следует, что xi1,2>0 (i=1,.., т), а из xi = 0 следует xi1,2=0, (i = m+l, n). Значит точки x1 и х2 имеют ту же структуру, что и точка х. Поскольку эти векторы — допустимые планы, то каждый должен удовлетворять векторному равенству (5). Вычитая, имеем:

А1(x11- x12)+A2(x21- x22)+…+Am(xm1- xm2)=0 (9)

Так как А1,A2, ...,Am линейно независимы, то равенство(9)выполняется толькоприусловииxi1= xi2 т.е.x1 =x2.Пришли кпротиворечию. Точкух невозможно представить как выпуклую линейную комбинацию двух различных точек многогранника планов. Значит х — крайняя точка многогранника решений.

Если допустимый план х имеет m положительных координат, а все остальные координаты равны нулю, то это опорный план ЗЛП. Если положительных координат меньше m, а все остальные равны нулю, то такой план называется вырожденным опорным планом. Если же допустимый план имеет больше m положительных координат, то он вообще не соответствует крайней точке многогранника и не является опорным.

Рассмотрим основную теорему линейного программирования. Не сужая область приложений, в частности экономических, ЗЛП с неограниченной областью планов формально можно свести к задаче с ограниченной областью введением дополнительного ограничения x1+ x2 +…+ xn< М, где М — большое положительное число. Поэтому при рассмотрении теоретических вопросов (для краткости доказательств) в дальнейшем будем предполагать, что множество планов ЗЛП является выпуклым многогранником.

Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)

Теорема 3.2. Основная теорема линейного программирования (ОТЛП).

Если задача ЛП имеет решение, то целевая функция F x принимает экстремальное значение хотя бы в одной крайней точке - вершине

многогранника планов. Если же

целевая

функция

F x

принимает

экстремальное значение в нескольких крайних точках

1*,

*2,...,

*p , то она

примет экстремальное значение и

в любой

точке

*, которая

является

линейной

выпуклой комбинацией

1*,

*2,...,

*p , т.е.

* p

, i 0,

; p

i 1

i 1.

1, p

i 1

Доказательство ( см. [4] Т. 1.4, стр.39):

Пусть дана ЗЛП, причем многогранник планов имеет конечное число крайних точек x1, х2, ..., хk. В этом доказательстве, следуя [4], обозначим F(x):=z, а через х* – допустимый план, для которого целевая функция достигаетсвоего, например, максимального значения z(x*). Отсюда

z(x*) z(x)

(x )

(10)

Если х* совпадает с одной из крайних точек, то первая часть теоремы доказана. Предположим теперь, что х* не является крайней точкой многогранника планов. Тогда х* можно представить в виде выпуклой линейной комбинации угловыхточек x1, х2, ..., xk, т. е.

x* k

i xi

i 1,

i 0,

i 1...k

Всилу линейности z(x) имеем

z(x*) k	z(xi ) i	(11)
i

Обозначим через М максимальное значение функции цели среди всех крайних точек, т. е.

M = max (z(x1), z(x2), ...., z(xk)).	(12)
Из равенства (11) в силу условия (12)	имеем
z(x*) k i M M
i
z(x*) M	(13)

Из неравенств (10) и (13) приходится сделать единственный вывод: z(x*)=M. Но М — значение целевой функции в одной из крайних точек, поэтому в качестве точки максимума х* может быть выбрана одна из них. Первая часть теоремы доказана.

Для доказательства второй части теоремы допустим, что z(x) достигает максимального значения более чем в одной крайней точке, например в точках x1, х2, ..., хр, т. е.

Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc	из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)
z(x1)=z(x2)=... = z(xp)=M.	(14)

Составим выпуклую линейную комбинацию этих точек:

x p	i xi	p	i 1,	i 0,	i 1...p
i		i

Учитывая условие (14) и линейность функции Z, получаем

z(x) k i z(xi ) k i M M , i i

т. е. линейная функция z принимает максимальное значение в произвольной точке х, являющейся выпуклой линейнойкомбинациейточекx1,х2,…, хр, в которыхцелеваяфункция z принимает максимальное значение.

3.2Симплексный метод (СМ) решения задачи ЛП

3.2.1Идея СМ

Симплексный метод – универсальный аналитико-численный эффективный метод решения задач ЛП. В связи с основной теоремой линейного программирования естественно возникает мысль о следующем пути решения ЗЛП с любым числом переменных. Найти каким-нибудь способом все крайние точки многогранника планов (их не больше, чем Сnr ) и сравнить в них значения целевой функции. В соответствии с ОТЛП

(теорема 2) целевая функция F x достигает экстремального значения в

крайней точке многогранника решений . Эта теорема позволяет сформулировать основные этапы алгоритма прямого метода решения задач ЛП:

1)нахождение координат крайних точек многогранника решений;

2)вычисление значений F x в указанных выше точках;

3)нахождение минимального (максимального) значения F x и,

соответственно, x*min и x*max .

Неэффективность этого метода очевидна, особенно с ростом размерности пространства.

Симплексный метод (метод последовательного получения планов), также как и прямой метод, состоит из 3-х этапов. Он предполагает нахождение начального опорного плана в вершине A1, затем переход к

нехудшему опорному плану в точку A2 и затем, через несколько шагов, в

точку A, представляющую x*max . Заметим, что переход к нехудшему опорному плану осуществляется после проверки критерия оптимальности старого опорного плана.

СМ не только достигает оптимума, но и "выбирает" оптимальную траекторию поиска экстремальных точек во множестве крайних точек многогранника планов.

Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)

3.2.2 Построение начального опорного плана.

Пусть каноническая задача ЛП имеет систему линейных уравнений ограничений вида:

n	aij xj bi , bi 0,	i		; m n	(1)
			1,m
j 1

Для того, чтобы найти начальный опорный план x0, достаточно (1)

представить в предпочтительном виде.

Система (1) имеет предпочтительный вид, если каждое ее уравнение содержит переменную, входящую в него с коэффициентом, равным (+1); во все другие уравнения эта переменная должна входить с коэффициентом, равным нулю. Внимание ! Условия bi 0 и xi 0 здесь, в (1), и далее существенны.

Пример.

x 1x		2	0x			3	0x			4	x			5	10
	1
5x1 0x2 1x3 0x4 3x5 80 .
5x 0x				2	0x			3	1x			4	2x			5	32
	1

Здесь переменные x2,x3,x4 называются предпочтительными переменными, переменные x1,x5 - свободными (независимыми)

переменными(СП).

Полагая СП 0, т.е. x1 0, x5 0, получаем: x2 10, x3 80, x4 32. Начальный опорный план: x0 0;10;80;32;0 .

Легко понять, что предпочтительная переменная – базисная. Обратное верно не всегда.

Вслучае ограничений в виде линейных неравенств, вводя

дополнительные		(балансовые) переменные:				xn i 0,	i 1,m,		получаем
предпочтительный вид:
n aij xj bi			n aij xj xn i bi		0,	xj 0,	j		(2)
								1,n
j 1			j 1
Если каждая СП x1,x2,...,xn равна 0, то					0 0;0;...;0;b1,b2,...,bm
xn 1 b1	xn 2	b2 .............xn m bm
				x

Теперь рассмотрим систему неравенств ограничений, имеющую вид:

n aij xj bi , bi 0,

(3)

1,m

j 1

Вводя

балансовые

переменные

xn i 0, i

, получим

систему

1,m

линейных уравнений:

aij xj xn i bi ,

bi 0,

xj 0,

, xn i 0.

(4)

1,m

1,n

j 1

Начальный опорный план

вида:

0 0,0,...,0; b1,..., bm не может

быть допустимым опорным планом из-за отрицательности балансовых переменных.

Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)

Рассмотрим случай, когда в системе линейных уравнений ограничений

(1) ни одно из уравнений не имеет предпочтительного вида.

Тогда вводят искусственный базис – множество переменных wi 0, i 1,m, которые и называют искусственными переменными.

Следует особо отметить, что эти переменные входят в выражение для

целевой функции с коэффициентом, M, причем M - большая положительная величина. Вспомним, что ранее вводимые балансовые переменные входят в выражение для целевой функции с коэффициентом, равным нулю.

С введением искусственного базиса исходная каноническая задача ЛП преобразуется в расширенную задачу ЛП M -типа:

,...,x

;w ,w

,...,w

max(min)

F x ,x

j 1

i 1

w b , b 0, i 1,m

i i

(5)

: j 1

0, j

; w 0, i

1,n

1,m

Знак "-" перед M относится к задаче на max; “+” – на min.

M -задача ЛП с искусственным базисом решается методом, получившим название "симплекс-метод (СМ) с искусственным базисом".

Очевидно, что начальный опорный план (5) имеет вид: x0 0,0,...,0;b1,b2,...,bm .

Пусть ~x* - оптимальный план M -задачи, а x* - оптимальный план

исходной задачи. Понятно, что ~x* x* только в случае, если w1* 0, w2* 0, .......,wm* 0.

То есть, в оптимальном плане M -задачи искусственные переменные должны равняться нулю; только лишь в этом случае оптимальный план M - задачи будет совпадать с оптимальным планом исходной задачи ЛП.

Таким образом, корректно сформулированную задачу ЛП в предпочтительной канонической форме, всегда можно представить и оформить в виде так называемой, симплекс-таблицы (СТ), которая состоит из (m 1) строки и (n 3) столбцов.

Значительную часть СТ занимают коэффициенты системы уравнений ограничений канонической задачи ЛП, представленной в предпочтительном виде:

i xi	n ijxj ,	i 0,	i		,	xj 0,	j		.	(6)
				1,m				1,n
	j m 1

Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)

Следует особо отметить, что последняя (m 1)-ая строка СТ содержит

информацию об оптимальности опорного плана. Эту строку называют стороной целевой функции, поскольку она содержит величины,

определяющие значение целевой функции F x :

F x 0

jxj ,

(7)

j cБ Aj cj .

j m 1

…

xm 1

xm 2

…

БП

cБ

…

m 1

m 2

…

1,m 1

1,m 2

…

2,m 1

2,m 2

…

2 j

…

i,m 1

i,m 2

…

m,m 1

m,m 2

…

m 1

m 2

…

Величины

j (j

)

называют оценками

свободных

переменных

1,n

(СП), потому, что они не равны нулю только для СП:

xm 1,xm 2,...,xn . Для

базисных переменных (БП):

x1 ,x2 ,...,xm

- эти величины равны нулю, т.е.

0, j

1,m

Вспомнив обозначения и формулы (13)-(14) из лекции 3, заметим, что колонки СТ являются вектор-столбцами: Aj . Элементы последней строки, согласно (7), имеют вид:

1 11

c ,c

,...,c

cБ

...........

0 n1

c2 c2 c2 0;

2 cБ A2

m cБ Am cm cm cm 0 для всех базисных переменных;

Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)

1,m 1

,...,c

m 1

cБ Am 1 c

m 1

2,m 1

m 1

........

m,m 1

n c

0 – для всех или некоторых свободных переменных.

Б An cn

F x0 0

Легко

понять,

что

A0 c1 1

c2 2 ... cm m , т.к. для

cБ

начального

опорного

плана

свободные

переменные xm 1,xm 2,...,xn равны

нулю.

последняя, (m 1)-ая строка СТ содержит

Как было выше замечено,

информацию об оптимальности опорного плана.

3.2.3 Признаки оптимальности опорного плана прямо следуют из (7):

Теорема 3.3. Пусть решается задача ЛП на максимум. Если для некоторого опорного плана все оценки СП неотрицательны, т.е.

j 0, j 1,n, то опорный план оптимален, т.к. F(x*)<0.

Теорема 3.4 Пусть решается задача ЛП на минимум. Если для некоторого опорного плана все оценки СП неположительны, т.е.

j 0, j 1,n, то опорный план оптимален, т.к. F(x*)>0.

Замечание: В разных источниках и СТ, и выражения (6)-(7) могут выглядеть по-иному, однако суть не меняется. В этой теме изложение и обозначения, в основном, соответствуют книге [4].

3.2.4 Переход к нехудшему опорному плану; симплексное преобразование

Рассмотрим каноническую задачу ЛП на максимум (лекция 2, формулы

(8)-(10)). Пусть система уравнений ограничений (9 л.2) имеет предпочтительный вид. Тогда начальный опорный план легко определить:

x0 1, 2,..., m;0,0,...,0 .

Если в последней строке (m 1)

СТ все j

, то начальный

1,n

опорный план будет оптимальным:

*max , F

F* .

max

Далее предположим противное, что для некоторого столбца

j j0 ,

(8)

Замечание: выбирать из нескольких возможных j 0 следует самое большое по абсолютной величине.

Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)

Вектор-столбец

( 1j0 ,

2 j0

, ......, i j0

......, m j0

называется

решающим

столбцом

СТ, а

соответствующая

ему

переменная

называется перспективной переменной.

Пусть

все

свободные переменные

(кроме

) равны

нулю,

т.е.:

xm 1 0, xm 2 0,..., xj 1 0,..., xj 1 0,..., xn 0,

тогда

выражение

для

целевой функции будет равно:

F 0

j xj

(9)

Причем j

0, а xj

xj , можно увеличить значение

Из (9)

следует, что

увеличивая

СП

целевой функции, таким образом, переходя к нехудшему опорному плану (с большим значением целевой функции).

Однако, увеличивать перспективную переменную xj	нужно
0

"осторожно", чтобы не нарушить основное условие: xi 0, i 1,m.

Действительно, рассмотрим в связи с этим (6), зная, что все СП (кроме xj0 ) равны нулю:

i , i

0, i

(10)

1,m

i ij xj0

(11)

Из (11) при ij0

увеличение xj

>0 следует,

что

может

привести к

нарушению условия (9) (т.е. к отрицательности xi , i

1,m

Перепишем (11) в виде:

(12)

, i

(13)

1,m

(14)

min

i0 j0

ij0

Эта величина называется минимальным симплексным отношением.

Минимум берется по всем i=1…m.

Выражение (14) позволяет найти разрешающую строку i i0 в СТ и соответственно разрешающий (ключевой) элемент i0 j0 СТ. Очевидно, ≥ 0. Допустимое xj0 ≥ 0,а i0 ≥ 0 (по условию) i0 j0 > 0.

Выясним структуру составляющих (компонент) нехудшего опорного плана с учетом выражения (14) для перспективной координаты xj0 .

Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)

		x1	1 1j
				0
			2 2 j0
		x2	2 2 j0
		....................

		xi	i	i j	i i 0
	x1 :	xi	i	i j	i i 0			(15)
	x1 :	0	0	0 0		0	0	(15)
		.....................

		xm m mj
				0
				0
		.....................
			n nj0
		xn	n nj0			неперспективной переменной.
Переменную xi 0			называют			неперспективной переменной.		Её
0							а переменную xj вводят в это
выводят из множества базисных переменных,							а переменную xj вводят в это
множество.							0
множество.
	xi	СП ,			БП xj			(16)
0						0
(БП)						(СП)
Как изменятся элементы СТ при перестановке вида (16), выясним
детально, используя так называемое симплексное преобразование.
Исходными являются уравнения системы ограничений:
xi ij0 xj0		n ij xj i			,	i 0, m n		(17)
		j m 1
		j j0

Выделим уравнение i i0 и математически "реализуем" схему (16):

i0 j

(18)

i j

j m 1

j j0

Далее подставим выражение для xj0

в (17) при условии i i0 :

i0 j

xi ij

ij xj i

(19)

j m 1

i0 j0

j j0

i0 j0

j j0

где i

, i i0 .

1,m

играет роль xj , легко видеть,

Переписав (19) и (18) в форме (17), где xi

что числа ij и i (i i0 ) этой новой СТ должны определяться по формулам:

ij	ij		i0	j ij0		(20)
ij	ij			i0	j0	(20)
				i0	j0
i		i ij				(21)
i	i		i	j	0	(21)
			0		0
			0	0
А какие коэффициенты в строке и столбце ведущего элемента?
Элементы (m 1)	строки (строки целевой функции) новой СТ найдем,

пользуясь известным выражением для целевой функции:

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекц

#
14.04.2015694.53 Кб20Л_10_ИсслОп.pdf
#
14.04.20152.05 Mб18Л_11_ИсслОп.pdf
#
14.04.2015949.44 Кб18Л_13_ИсслОп.pdf
#
14.04.2015370.24 Кб18Л_1_ИсслОп.pdf
#
14.04.2015223.5 Кб18Л_2_ИсслОп2012.pdf
#
14.04.2015311.56 Кб18Л_3_ИсслОп2012.pdf
#
14.04.2015273.6 Кб20Л_4_ИсслОп2012.pdf
#
14.04.20151.89 Mб17Л_5_ИсслОп2012.pdf
#
14.04.2015948.05 Кб19Л_6_ИсслОп2012.pdf
#
14.04.2015320.17 Кб18Л_7_ИсслОп.pdf
#
14.04.2015226.24 Кб18Л_8_ИсслОп.pdf