Программирование, вопросы / Лекц / Л_3_ИсслОп2012
.pdf
Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)
|
|
|
|
|
|
F 0 |
|
j |
xj |
|
|
|
|
n |
j xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(22) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
j m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
i0 j |
|
|
|
|
n |
|
||||||
F 0 j |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
xj |
|
jxj |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
i |
j |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
j m 1 |
i |
j |
|
|
|
|
j m 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(23) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j0 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j0 |
|
|
|
|
|
j0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
i0 |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
ij0 |
x |
j |
|
|
|
|
|
x |
i0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i0 j0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i0 j0 |
|
|
|
|
i0 j0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
j |
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
То есть, элементы (m 1)-ой строки новой СТ должны определяться по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
i j |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
j |
i |
j j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(25) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
j |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.5 Основные правила заполнения новой СТ:
1) Элементы разрешающей строки i0 исходной (старой) СТ: ij0 (j 1,n), i0 для новой СТ должны быть найдены по формулам:
i j |
i |
j |
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|||
|
j 1,n; |
|
|
|
||||||||||
0 |
|
, |
|
|
|
0 |
. |
|
||||||
i |
|
|
i |
|
|
|||||||||
0 |
j |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
j |
|
|||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
Заметим, что элемент i j |
|
1. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
исходной (старой) СТ: i j , |
|||
2) Элементы разрешающего столбца j0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
i i0 , для новой СТ, i 1,m должны быть равны нулю, лишь только элементi0 j0 равен 1, как следует из правила 1 (в связи с тем, что реализована перестановка xi0 xj0 и столбца базисной переменной).
3) Элементы, замещающие i j , i i0 , j j0, i 1,m, j 1,m в исходной (старой) СТ для новой СТ должны быть вычислены по формулам (20):
i j i j |
i j ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
, |
i 1,m, |
j 1,n, i i0 , |
j j0 |
||||||||
0 |
|
|||||||||||
i |
j |
|
||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем простую вычислительную схему для нахождения элементов, повторяющую метод Гаусса-Жордана исключения неизвестных.
11
Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)
|
i j |
3 |
1 |
i |
j |
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i0 j |
|
|
j |
|
||
|
|
|
0 |
0 |
|
4) Отметим, что |
структура |
формул |
(21),(24),(25), |
определяющих |
|
элементы новой СТ для |
i , i 1,m, |
i i0 , 0 , |
j , |
j 1,n |
в значительной |
степени сходна структуре формулы (20). В связи с этим вычислительная схема в виде прямоугольника применима и для нахождения этих элементов.
5) Следует отметить, что элементы (m 1) строки можно найти для
новой СТ двумя способами: первый способ предполагает использовать (24) и (25), а второй – известных формул вида (7) из лекции №4:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 c |
T |
A |
0 |
, |
j c |
T |
A |
j cj , |
j |
1,n |
. |
Эти два способа должны дать одинаковый результат, что используется при контроле вычислений.
Представляет интерес найти на каждом шаге итерации СМ приращение целевой функции:
F(k) F(k 1) F(k) , k - номер итерации. Поскольку это – задача на максимум, то F(k) положительно.
Как известно F(k)
F(k) F(k 1) F(k)
(0k) ,
(k)
i(k)
i0 j0
F |
(k 1) |
(k 1) |
(k) |
|
i(kj |
) (jk) |
|
|
|
|
0 |
||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
i(kj) |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
(kj0) (kj0) i(0kj)0 ,
где i(kj) |
|
i(k) |
> 0 - наименьшее симплексное отношение (СО) на k -той |
|||
0 |
|
|||||
i(kj) |
||||||
0 0 |
|
|
|
|||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
итерации. Напомним, что (kj |
) >0. Значение F(k) >0 в промежуточных точках |
|||||
|
|
|
|
0 |
||
целесообразно использовать в алгоритме СМ для проверки правильности вычислений при работе вручную.
3.2.6 Случай бесконечного множества оптимальных планов задачи
ЛП
Альтернативный оптимум (признак бесконечности множества оптимальных планов). Из геометрической интерпретации ЗЛП (см. рис. из лекции 2 ) следует, что если разрешающая прямая (плоскость, гиперплоскость уровня) проходит через сторону (ребро, грань) многоугольника (многогранника, многогранной области) планов, то ЗЛП
12
Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)
имеет бесконечное множество оптимальных планов. В этом случае говорят об альтернативном оптимуме. Как же определить, решая ЗЛП симплексным методом, единственный ли она имеет оптимальный план или бесконечное множество? На этот вопрос отвечает следующая теорема.
Теорема 3.5. Пусть в последней СТ, содержащей оптимальный план, (m 1) строка содержит хотя бы одну оценку СП равной нулю. Тогда задача
ЛП будет иметь бесконечное множество оптимальных планов. Этот случай
представлен в геометрической интерпретации задачи ЛП в R2, когда прямая
– линия уровня целевой функции – совпадает с одной из сторон многоугольника решений.
Доказательство: Пусть в столбце j j0 , содержащем СП xj0 и оценку СП j0 , последняя равна нулю, т.е. j0 0.
Необходимо отметить, что xj0 и j0 принадлежат, как указано в
формулировке теоремы, последней СТ.
Переведем СП xj0 во множество БП, а переменную xi0 во множество СП, т.е. реализуем известную перестановку по методу Гаусса вида: xi0 xj0 , тогда:
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
i j |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
По условию j |
0, тогда 0 0, |
F x |
*0 0 |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
* |
|
|
* |
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F x1 0 0 ,но x1 |
x0 , т.к. свободные переменные, которые равны |
||||||||||||
нулю, у них различные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть в (m 1) |
строке последней СТ содержится несколько оценок СП |
||||||||||||
равных нулю, т.е. 1 |
2 |
... k 0, тогда: |
|
|
|||||||||
F x1* F x*2 ... F x*k 0 F x*0 .
Таким образом, имеем k оптимальных планов.
В соответствии с основной теоремой ЛП (Теорема 2 лекции 4), линейная выпуклая комбинация этих оптимальных планов, будет также оптимальным планом, т.е.:
|
|
* k i |
|
*i ; |
i 0 ; |
k i |
1. |
|
x |
x |
|||||
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
||
Последние формулы представляют доказательство теоремы о |
|||||||
возможном бесконечном множестве оптимальных планов ЗАП. |
|||||||
Из доказанной теоремы следует |
утверждение: |
если в (m 1) строке |
|||||
последней СТ, содержащей оптимальный план задачи ЛП на максимум, все оценки СП положительны, т.е. j 0, j m 1,n, то оптимальный план
будет единственным, и решение ЗЛП на максимум будет единственным.
13
Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)
3.2.7 Теоремы о неограниченности целевой функции
Рассматривая геометрическую интерпретацию задачи ЛП в R2 мы выяснили, что возможно F x , т.е. может быть неограниченна сверху
(аналогично можно говорить о неограниченности F x снизу в задаче на
минимум).
Можно ли анализируя СТ выяснить возможность принятия целевой функции F x неограниченных значений?
Да, можно. Ответ на поставленный вопрос дают две теоремы: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 3.6. Пусть в задаче ЛП на максимум в последней |
(m 1)-й |
|||||||||||||||||||||||||||||
строке СТ оценка СП |
j 0, |
|
а |
в |
|
столбце |
под переменной |
xj |
все |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
коэффициенты неположительны, |
т.е., i j |
0, i |
|
|
. Тогда |
целевая |
||||||||||||||||||||||||
1,m |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
функция F |
|
будет неограниченной сверху. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Доказательство: |
|
|
|
Известно, |
что |
целевая |
функция F |
|
|
представима |
||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
выражением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n j xj , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
F |
|
|
0 j |
xj |
|
|
j j0 |
|
(26) |
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
j m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если все СП кроме xj |
|
0 равны нулю, то (26) примет вид: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
0 j |
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(27) |
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Учитывая, что j |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
(одно из условий теоремы), можно утверждать, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
что при xj , т.е. будет неограниченной сверху функцией. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i j |
|
|
Возможность увеличивать |
до бесконечности при условии |
0, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
следует из известной системы уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xi |
ij |
xj |
|
n |
ij xj i |
, |
|
i 0, |
|
(28) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
j m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Учитывая, что все СП, кроме xj |
j j0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
, равны нулю, преобразуем (28): |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
i |
|
xj |
i , |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(29) |
|||||||
|
|
j |
|
1,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
xi |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
xj . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(30) |
|
|
|
i |
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно из (30), |
при i |
|
0, i |
|
(второе условие теоремы) |
при |
||||||||||||||||||||||||
j |
1,m |
|||||||||||||||||||||||||||||
xj , xi не будет |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
принимать |
отрицательных |
значений, т.е. |
не будет |
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нарушено одно из основных условий задачи ЛП: |
xi |
0, i |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
1,m |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 3.7. Пусть в задаче ЛП на минимум в последней (m 1) строке СТ оценка СП j0 0, а в столбце под переменной xj0 все коэффициенты
14
Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)
неположительны, т.е. i j0 0, i 1,m. Тогда целевая функция F x будет
неограниченной снизу.
Доказательство аналогично предыдущей теореме.
С экономической точки зрения неограниченность целевой функции ЗЛП свидетельствует только об одном: разработанная модель недостаточно точна. Бессмысленно говорить, например, о бесконечной прибыли. Типичными ошибками, приводящими к построению моделей такого рода, являются:
1)неполный учет ограничений, которые являются существенными в данной задаче;
2)небрежные оценки параметров, фигурирующих в ограничениях.
3.2.8Понятие о вырождении. Монотонность и конечность симплексного метода.Зацикливание.
Очевидно, базисный план ЗЛП, записанной в предпочтительном виде,
невырожден, когда свободные члены всех уравнений положительны, и вырожден, если среди них имеются нули. Каноническую ЗЛП называют невырожденной, если все ее опорные планы невырождены. Если среди опорных планов есть хотя бы один вырожденный, то задачу называют
вырожденной.
Пусть ЗЛП решается на максимум. На двух последовательных итерациях значения целевой функции связаны соотношением (24):
0 0 i0i0 j0j0
где i |
0; j |
0; |
i |
j >0. |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
Если задача невырожденная, то для любого шага i > 0; |
j |
0. Отсюда |
||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
k0 1 k0 , т. е. значение целевой функции будет не хуже прежнего (монотонно возрастает). Аналогично, если задача решается на минимум, то, посколькуj0 0 на любом шаге, значения целевой функции на двух последовательных
итерациях будут связаны неравенством k0 1 k0 , т. е. целевая функция
монотонноубывает. Вэтом исостоитмонотонностьсимплексного метода. Конечность алгоритма следует из конечного числа опорных планов ЗЛП
(их не больше Сnm).
Если ЗЛП вырожденная, то возможны случаи, когда i0 =0. В этом случае
значение целевой функции не улучшится. Предположим, что процесс продолжается без остановки, порождая бесконечную последовательность опорных планов. Вследствие конечности множества опорных планов в этой последовательности некоторые планы должны повторяться. В силу равенства для них целевой функции они должны лежать в одной гиперплоскости и быть вершинами выпуклого многогранника. Поэтому должна встретиться цепочка
15
Исследование операций Л_3_ИсслОп2012.doc = Л_4_ДОп1сем.doc из Лекция1_2.doc(конец) + Лекция1_3.doc(часть)
(цикл) хk, хk+1, ..., хk+l, в которой начальный и конечный планы совпадают, причем в силу монотонности метода, z(хk) = z(хk+1)=...=z(хk+l).
Процесс продолжится неограниченно, если несколько последовательных вырождений приведут к образованию цикла. Такое явление называется зацикливанием. Зацикливание возможно только для вырожденных задач. Теория и практика показывают, что зацикливание возникает при весьма маловероятном сочетании условий. Известно лишь несколько специально разработанных (очень сложных) примеров, в процессе решения которых возникает зацикливание. Точный алгоритм вывода из цикла достаточно сложен. В простейшем случае при появлении цикла следует изменить последовательность вычислений путем изменения выбора разрешающего столбца. Другое правило рекомендует изменить выбор разрешающей строки. Если в процессе симплексных преобразований появляется несколько минимальных симплексных отношений, то в качестве разрешающей выбирают ту строку, для которой будет наименьшим отношение элементов первого столбца к разрешающему. Если при этом снова оказывается несколько минимальных отношений, то составляются отношения элементов второго столбца к разрешающему, и так до тех пор, пока разрешающая строка не определится однозначно.
16