§ 2.2. Электрическая емкость проводника. Конденсаторы.

Из формулы (2.8) видно, что . Рассмотрим уединенный проводник. Потенциал проводника зависит от заряда на его поверхности и может быть записан:

, (2.9)

где С – емкость проводника; это коэффициент пропорциональности между зарядом и коэффициентом.

В СИ единица емкости – Фарада (Ф).

В СГСЕ - единица емкости – сантиметр (см).

Примеры.

1. Емкость шара.

Чтобы определить емкость шара, нужно найти напряженность поля\ шара и его потенциал:

; .

Тогда:

. (2.10)

.

Конденсатором называется совокупность двух проводников с одинаковыми по величине, но противоположными по знаку зарядами. Емкость двух проводников (конденсатор).

. (2.11)

Вычисление емкости конденсатора сводится к нахождению .

2. Плоский конденсатор.

Из рис.2.7 видно, что внутри конденсатора:

,

(2.12)

(см. теорему Гаусса для плоскости). Снаружи . Тогда:

; ;

. (2.13)

3. Шаровой конденсатор.

Если на внешней и внутренней обкладках сферического конденсатора имеется заряд , то:

; ;

Отсюда по формуле (2.11):

. (2.14)

4. Цилиндрический конденсатор.

Определим

по теореме Гаусса. Гауссова поверхность – цилиндр (см.рис.2.8). Тогда при :

.

Отсюда:

;

Так как , то:

;

.

Емкость по формуле (2.11):

. (2.15)

Соединение конденсаторов.

В случае параллельного соединения (рис.2.9) общий заряд равен:

(2.16).

При последовательном соединении (рис.2.10) заряды на конденсаторах одинаковы, а разность потенциалов на каждом запишется:

(2.17)

§ 2.3. Электрическое поле при наличии диэлектриков.

Диэлектрики делятся на два типа: полярные и неполярные. Неполярный диэлектрик при имеет дипольный момент молекулы, равный нулю . К ним относятся молекулы:и.

Полярные диэлектрики при имеют отличный от нуля дипольный момент: . Пример: .

В присутствии электрического поля в неполярных диэлектриках возникает дипольный момент:

, (2.18)

где – молекулярная восприимчивость. У неполярных и полярных диэлектриков при происходит ориентация вдоль поля. Этот процесс называетсяполяризацией. Как видно из рис.2.11, внутри диэлектрика соседние разноименные заряды диполей компенсируются. Не скомпенсированы лишь диполи на поверхности диэлектрика. Видно, что внутри возникло поле , антипараллельное внешнему полю : ,; - т.е. поле внутри диэлектрика меньше внешнего.

Общая поляризованность – это суммарный дипольный момент единицы объема диэлектрика:

;

Размерность - Кл/м². Величина зависит отлинейно:

, (2.19)

где - диэлектрическая восприимчивость единицы объема. Взаимная ориентация векторовпоказаны на рис.2.11 и 2.12.

Теорема Гаусса для вектора поляризованности.

Поляризованность создается связанными зарядами внутри диэлектрика. Чтобы найти величину этих зарядов, рассмотрим вывод теоремы Гаусса для.

Произвольная замкнутая поверхность (рис.2.13) охватывает часть объема внутри диэлектрика. На рис.2.13 изображена лишь часть этой поверхности. При включении внешнего поля диэлектрик поляризуется: положительные заряды смещаются вдоль поля, отрицательные – против.

Возьмем элемент поверхности

. Найдем заряд, пересекающий под действием поля. Пусть положительный заряд смещается на, а отрицательный – на. Плотность этих зарядов -и. Тогда, построив на, и косой цилиндр, рассчитаем общий положительный и отрицательный заряды, прошедшие через.

,

здесь - объемы соответствующих частей цилиндра.

Суммарный заряд, прошедший через :

,

, -расстояние, на которое сместились заряды. Тогда:

, (2.20)

Так как:

, (2.21)

где соотношение представляет собой концентрацию диполей (связанных зарядов). Поэтому, подставив (2.20) в (2.19), получим:

. (2.22)

Проинтегрировав выражение (2.22) по всей замкнутой поверхности , находим весь заряд, пересекший поверхность:

.

В результате выхода из поверхности положительных зарядов и входа в поверхность отрицательных зарядов внутри поверхности появляется не скомпенсированный заряд (при внутри поверхности число положительных и отрицательных зарядов было одинаковым, диэлектрик электрически нейтрален). При этом возникает связанный заряд, отрицательный по величине:

.

Тогда внутри поверхности появляется избыточный отрицательный заряд:

, (2.22’)

где - плотность связанных зарядов внутри:

. (2.23)

Это теорема Гаусса для вектора поляризованности :

поток вектора поляризованности сквозь замкную поверхность равен отрицательному связанному заряду, возникающему внутри поверхности