Методичка по электричеству / Электричество лекции / 8

12

Теперь рассмотрим энергию магнитного поля при наличии магнетиков на примере соленоида, имеющего витков с током , внутрь которого помещен магнетик с проницаемостью .

По теореме о циркуляции для вектора (4.21)получим: т.е.

(4.39).

Тогда , , где объем выражен через сечение и длину соленоида. По формуле (4.32), считая, что - индуктивность соленоида, получаем:

. (4.40)

Из (4.40) следует, что плотность энергии магнитного поля в среде:

, (4.41)

и энергия локализована на поле независимо от того, как оно создано.

Для электрического поля в среде: .

Для сравнения с плотностью энергии поля в вакууме запишем формулу (4.41) в виде:

Если (вакуум), то . Сравнение показывает, что плотность энергии поля в среде больше, чем вакууме.

§ 4.4. Диамагнетизм.

Рассмотрим магнитные свойства атома, воспользовавшись моделью Бора: одноэлектронный атом – это ядро и вращающийся вокруг него по орбите электрон. Такой электрон можно уподобить круговому току с магнитным моментом, называемым орбитальным:

, , (4.42)

где Т – период вращения, - круговая частота. Тогда, зная, что , где - нормаль к плоскости витка, - радиус витка, получаем:

. (4.43)

Механический момент электрона на орбите:

. (4.44)

Из (4.43) и (4.44) следует магнитомеханическое отношение для орбитальных моментов и :

. (4.45)

Поскольку заряд электрона отрицателен, векторы , антипараллельны.

Для изучения поведения одноэлектронного атома в магнитном поле учтем, что при на электрон действуют две силы (кулоновская и центростремительная); уравнение движения запишем так: ;

, (4.46)

где , .

Поместим атом в магнитное поле так, чтобы вектор был перпендикулярен плоскости орбиты. Возникает сила Лоренца, изменяющая скорость движения электрона , но не изменяющая радиус орбиты, ее величина:

,

. Уравнение движения электрона при приобретает следующий вид:

; (4.47)

знак “” выбирается в соответствии с относительной ориентацией и (или и ) (см.рис.4.9) .Учтем (4.46), тогда (4.47) перепишется следующим образом:

. (4.48)

Так как , при , то

. (4.49)

Обозначим:

. (4.50)

Тогда из (4.49) следует, что в магнитном поле частота вращения электрона изменяется на дополнительную величину , называемую ларморовой частотой:

. (4.51)

Найдем направление вектора . Так как , то две ориентации отвечают двум ориентациям (см. рис.4.9): и . При этом всегда. Таким образом:

. (4.52)

Это все справедливо для случая, когда вектор перпендикулярен плоскости орбиты. Если же вектор составляет с плоскостью орбиты угол, отличный от (рис.4.10), то атом можно рассматривать как гироскоп с уравнением движения:

,

где - механический момент, - момент внешних сил (лоренцевых и ), см. на рис.4.10. Так же, как для гироскопа, в результате будет происходить прецессия атома в магнитном поле с частотой Лармора.

В §3.1 было получено, что: , тогда с учетом (4.45):

. (4.53)

Выражение (4.53) сравним с . Значит, атом как целое прецессирует вокруг (или ) с частотой ларморовой прецессии (рис.4.10).

За счет чего изменяется частота вращения электрона в магнитном поле? За счет явления электромагнитной индукции, так как при возникновении магнитного поля появляется индукционный ток, т.е. изменяется скорость движения электрона в атоме.

С возникшей добавочной частотой связан магнитный момент. По (4.43):

. (4.54)

Видно, что:

, (4.55)

т.е. векторы и антипараллельны, таким образом . Чтобы оценить величину восприимчивости единицы объема магнетика, нужно учесть:

а) количество электронов в атоме (Z – атомный номер в периодической таблице Менделеева);

б) число атомов в единице объема - N.

в) отличие формы орбиты от круговой (усреднить r²);

c) возможность ориентации неперпендикулярно плоскости витка (запишем ). Окончательно для намагниченности получаем:

. (4.56)

, поскольку . Тогда:

. (4.57)

Таким образом, из (4.19) и (4.57) следует, что:

, (4.58)

- число атомов в единице объема; - атомный номер (число электронов); - среднее значение квадрата радиуса боровской орбиты; - масса электрона.

Из формулы (4.58) видно, что и не является функцией температуры. Если подставить все входящие в формулу величины, то получаем:

.

Так, для He ; для Ar ; для Xe .

Явление диамагнетизма универсально и присуще всем элементам. Чистый диамагнетизм должен наблюдаться у элементов с нулевым орбитальным моментом, т.е. у элементов с заполненными электронными оболочками. К таким относятся инертные газы, ионы щелочных металлов и галогенов.

§ 4.5. Парамагнетизм.

Парамагнетиками являются вещества, атомы (или молекулы) которых обладают собственными, отличными от нуля, орбитальными моментами. При все магнитные моменты ориентированы хаотически, и . Энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле (рис.4.11):

. (4.59)

Минимум энергии отвечает случаю сонаправленных коллинеарных векторов , благодаря чему при включении поля магнитные моменты атомов стараются ориентироваться по полю. Этому препятствует тепловая энергия. В результате устанавливается некоторое равновесие, определяющее величину намагниченности при данных значениях и . Для расчета восприимчивости парамагнетика рассмотрим модель идеального газа магнитных стрелок с магнитным моментом .

Для этого необходимо учесть, что среднее значение магнитного момента атома с учетом распределения Больцмана определяется так. Число моментов в телесном угле :

. (4.60)

В общем случае выражение для среднего значения проекции магнитного момента на ось Z имеет вид

или:

, (4.61)

где представляет собой статинтеграл:

. (4.62)

Используя следующее соотношение: , получаем:

. (4.63)

Тогда (4.61) перепишется таким образом:

. (4.64)

Иначе:

, (4.65)

где - функция Ланжевена. Тогда магнитный момент единицы объема вещества:

. (4.66)

Зависимость определяется функцией Ланжевена, представленной на рис.4.12. Рассмотрим предельные случаи больших и малых магнитных полей.

1. 

2. ‑ слабые поля.

. (4.67)

Было использовано, что при . Из сравнения (4.19) и (4.67) видно, что:

. (4.68)

Формула представляет зависимость и носит название закона Кюри. Здесь - магнитный момент атома; - число атомов в единице объема, C - постоянная Кюри.

3. ‑ сильные поля.

, (4.69)

т.е. все магнитные моменты выстраиваются параллельно.

Почему рассматриваемая модель получила название идеального газа магнитных стрелок? Потому что в этой модели не учитывается взаимодействие магнитных моментов.

Поэтому экспериментальная проверка теории Ланжевена лучше всего может быть проведена на газах и солях редкоземельных металлов, например, , где ионы в кристаллической решетке далеки друг от друга и их магнитные моменты не взаимодействуют. На рис.4.13 представлена зависимость от величины . Видно, что насыщение достигается при . Можно оценить величину , получающуюся при этом. Для .

При изучении в слабых полях должен выполняться закон Кюри. При низких температурах проявляется взаимодействие магнитных моментов, что ведет к отклонению от закона Кюри. Это хорошо видно из графиков температурной зависимости величины, обратной восприимчивости, показанных на рис.4.14.

§ 4.6. Ферромагнетизм.

Рассматривая модель парамагнетика (ПМ), основным критерием для существования парамагнетизма мы считали наличие отличного от нуля магнитного момента у атома и отсутствие взаимодействия между магнитными моментами. При наличии (учете) взаимодействия между магнитными моментами магнитные свойства существенно изменяются. На рис.5.15 приведена зависимость намагниченности от поля для железа. Видно, что в поле

намагниченность достигает насыщения .Температурная зависимость намагниченности насыщения приведена на рис.4.16.

При (температура Кюри) ферромагнетик () переходит в . Выше - линейная функция, как у обычных (рис.4.17). Это можно объяснить такими механизмами. Если и отличаются лишь наличием взаимодействия между магнитными моментами, то при энергия этого взаимодействия становится равной , а при оно уже не играет роли. Не рассматривая природы данного взаимодействия, назовем его обменным взаимодействием и оценим его величину, если :

. (4.70)

Сравним с энергией магнитного поля при , рассчитывая величину , при котором .

.

При этом . Максимально достижимое в импульсе магнитное поле имеет величину .

Таким образом, энергия является довольно большой по величине, а поскольку это взаимодействие осуществляется между магнитными моментами, оно приводит к их упорядочиванию, т.е. к параллельной ориентации магнитных моментов. В ФМ существует спонтанная ориентация магнитных моментов в отличие от ПМ, в которых она является хаотической. ФМ является магнитоупорядоченным веществом.

Образование одной ориентации магнитных моментов во всем макроскопическом объеме невозможно из-за эквивалентности распределения кристаллографических направлений (например, диагоналей куба). Поэтому происходит разбиение кристалла, как и в случае сегнетоэлектрика, на домены. Внутри домена существует спонтанная намагниченность

, но эти ориентированы друг относительно друга в кристалле так, чтобы суммарный магнитный момент тела был равен нулю. Можно представить довольно много типов ДС, построенных по типу замыкания потока внутри ФМ (рис.4.18).

Если теперь приложить к ФМ поле , то увеличение намагниченности (см. (4.20)) всего объема ФМ происходит за счет двух типов процессов, которые можно получить следующим образом:

,

где - объем i-го домена; - угол между и каким-то определенным направлением (например, направлением поля):

,

Видно, что первое слагаемое приводит к росту объема доменов с выгодной ориентацией, второе – к повороту

вдоль поля. Процессы, происходящие при этом, называются процессами смещения границ доменов и вращения векторов . Кривая намагничивания ФМ (рис. 4.15 и 4.19) содержит участки, на которых происходит каждый из рассматриваемых процессов.

Основная кривая намагничивания измеряется при росте

, начиная из размагниченного состояния ФМ. Последующее уменьшение приводит к появлению петли гистерезиса (рис.4.20). Величина - остаточная намагниченность; - коэрцитивная сила. Причиной гистерезиса является необратимость процессов смещения и вращения. Область технического применения ФМ определяется величинами . Трансформаторные стали имеют большую величину и малую величину : , . Материал для постоянных магнитов имеет большую : , .