Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка по электричеству / Электричество лекции / 15

.RTF

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

7.8 Mб

Скачать

☆

Применим теперь операцию к (7.11):

Тогда . Учтем уравнение непрерывности:

и получим: и , что совпадает с продифференцированным по времени уравнением (7.14).

Это означает, что система уравнений Максвелла не переполнена. В ней содержится 8 скалярных уравнений и 6 неизвестных компонент векторов и .

Физический смысл уравнений Максвелла:

(7.11). Источником магнитного поля являются ток проводимости и переменное электрическое поле.

(7.12). Источником электрического поля являются неподвижные электрические заряды (при этом поле потенциально) и переменное магнитное поле (при этом электрическое поле является вихревым).
(7.13). Не существует магнитных зарядов; силовые линии магнитного поля являются замкнутыми; поле является вихревым.
(7.14). Потенциальное электрическое поле имеет источником неподвижные заряды, силовые линии вектора электрического смещения начинаются на и заканчиваются на зарядах .

Уравнения Максвелла и материальные уравнения дополняются формулой для плотности энергии электромагнитного поля:

. (7.16)

§ 7.3. Закон сохранения энергии электромагнитного поля.

Поток энергии.

Уравнения Максвелла необходимо дополнить соотношениями, выражающими закон сохранения энергии.

При изменении электромагнитного поля в среде и прохождении через нее электрического тока в единице объема среды совершается элементарная внешняя работа:

Формула получена из (7.16) с учетом закона Джоуля-Ленца (5.9). Если - внутренняя энергия единицы объема среды, то:

;

. (7.17)

Первые два слагаемых – электромагнитная часть плотности энергии, третье - тепловая часть (джоулево тепло). Преобразуем (7.17) к виду:

. (7.18)

Используя (7.11) и (7.12), имеем с учетом формул (7) Приложения:

, (7.19)

где - оператор набла (1.18). Введем обозначение:

. (7.20)

Тогда:

или (7.21)

В интегральной форме уравнение (7.21) имеет вид:

. (7.22)

Вектор называется вектором Умова-Пойнтинга (1874 г., 1884 г.).

- это поток вектора сквозь замкнутую поверхность . Знак “‑“ показывает, что и разнонаправлены, если поток положителен. - это электромагнитная энергия объема, заключенного внутри замкнутой поверхности (см.рис.7.7).

Тогда, вектор Умова-Пойнтинга определяет энергию электромагнитного поля, пересекающую в единицу времени площадку единичной площади, перпендикулярную направлению распространения этой энергии.

Размерность вектора - Вт/м².

, т.е. энергия в объеме увеличивается за счет потока вектора внутрь поверхности.

§ 7.4. Поток энергии в линиях электропередачи.

Применим полученные выше результаты для энергии электромагнитного поля к процессам передачи энергии.

Основной вывод, который можно сделать из (7.20), это то, что энергией обладают не заряды на проводниках, а электрическое и магнитное поле, распределенное в пространстве. Мощность передаваемой энергии определяется не непосредственно током или напряжением, а потоком вектора .

Рассмотрим это вначале на примере стационарных полей.

Пусть два провода проходят в направлении, перпендикулярном плоскости рис.7.8. В одном проводе ток идет к потребителю, а в другом – обратно к источнику. Напряженность электрического поля между проводами:

где - разность потенциалов. Напряженность магнитного поля найдем по теореме о циркуляции:

; ,

где и - размеры, показанные на рис.7.8. Вектор параллелен оси поводов и направлен к потребителю. Поток по всему сечению равен:

т.е. совпадает с передаваемой мощностью.

Одинаковый результат достигнут при различных физических картинах. В случае передача энергии идет по проводам. В случае энергия идет вне провода, причем плотность потока энергии в любой точке пространства определяется вектором .

В предыдущем рассмотрении мы считали проводники идеальными, поэтому электрическое поле внутри проводника отсутствует: . Если учесть проводимость проводника, то:

Видно, что появилась составляющая

, направленная так же, как ток . В силу теоремы о циркуляции:

т.е. точно такое же поле существует вне проводника. Тогда появляется вектор , направленный по радиусу к оси проводника (рис.7.9).

Найдем по теореме о циркуляции для проводника круглого сечения:

; .

Тогда:

Через боковую поверхность на длине втекает мощность:

где - сопротивление проводника.

Джоулево тепло (5.10), выделяемое на длине проводника в 1 секунду:

Таким образом, , т.е. при прохождении постоянного электрического тока через проводник с удельным сопротивлением выделяемая в виде теплоты энергия поступает через боковую поверхность из окружающего пространства, где движется энергия электрического и магнитного полей.

Введем следующие обозначения:

- это поток энергии, передаваемой потребителю; - потери на джоулево тепло в подводящих проводах. Суммарный вектор (рис.7.10, а):

должен быть перпендикулярен силовым линиям электрического поля. Ясно, что реальная картина силовых линий отлична от приведенной ранее на рис.7.8 и выглядит, как на рис.7.10, б. В точке А векторы напряженности электрического поля направлены так, как на рис.7.10, в, где вектор

характеризует поле в отсутствие потерь на сопротивление проводов. Из рис.7.10, б видно, что потери приводят к отклонению от направления вдоль длины провода.

Понятно, что в случае переменного тока малой (промышленной) частоты картина качественно не изменится. Мощность передаваемой энергии определяется потоком и распространяется вне провода вдоль него. В случае двухпроводной линии используемая потребителем (полезная) мощность движется параллельно проводам в пространстве между ними. Потери на джоулево тепло в проводах определяются поступающей через боковую поверхность провода энергией.

Отличие от постоянного тока в том, что при определении нужно учесть разность фаз между током и напряжением. При

Тогда: . Среднее по времени: . Подставляя вместо их значения , получим поток через сечение , т.е.:

, (7.23)

что совпадает с формулой для мощности переменного тока.

§ 7.5. Электромагнитные волны в вакууме.

а) Волновое уравнение.

Запишем уравнения Максвелла (7.11-7.15) для вакуума при :

; (7.24) ; (7.26)

; (7.25) . (7.27)

Материальные уравнения:

. (7.28)

Учтем, что:

. (7.29)

Оставим в уравнениях (7.24-7.27) лишь векторы и :

; ;

; .

Введя оператор “набла” , запишем последние четыре уравнения в виде:

; (7.30) ; (7.32)

(7.31) (7.33)

Задача состоит в нахождении решений этих дифференциальных уравнений, т.е. нахождении векторов поля и .

Применим векторно к (7.30) еще раз:

, (7.34)

так как , то:

. (7.35)

Используя известную из математики связь оператора Лапласа и оператора “набла”: , перепишем последнее уравнение в виде:

. (7.36)

Аналогично можно получить:

. (7.37)

Уравнения (7.36), (7.37) называются волновыми. Ясно, что точно такие же уравнения можно записать для векторов и . Зная, что:

, (7.38)

, (7.39)

видим, что волновые уравнения являются дифференциальными уравнениями второго порядка.

Рассмотрим для простоты случай, когда и являются функциями лишь одной пространственной координаты, например, . Тогда (7.36):

. (7.40)

б) Плоская волна.

Решением уравнения (7.40) в общем виде является функция

. (7.41)

Это волна, распространяющаяся вдоль оси

в положительном или отрицательном направлении. Кривая на рис.7.11, описываемая функцией (7.41), из положения 1 спустя время передвинется целиком на и окажется в положении 2. Так как в любой произвольный момент времени значения постоянны в плоскости, перпендикулярной , такая волна называется плоской.

Докажем для общей функции , что она представляет собой волну. Для этого необходимо показать, что при :

, тогда .

Итак, аргумент отвечает волне, движущейся вдоль оси . Точно так же можно доказать, что с аргументом записана волна, движущаяся против .

Самым простым решением волнового уравнения является монохроматическая плоская волна:

, (7.42)

где

- фаза волны, ‑ волновой вектор (указывает направление распространения волны), ‑ радиус-вектор, проводится в точку, в которой производится наблюдение, - частота.

Волна называется монохрома-тической, если векторы и этой волны изменяются со временем по гармоническому закону с постоянной частотой.

Фазовая скорость – скорость движения поверхности постоянной фазы (см.рис.7.12)- отвечает условию:

=const

(на рис. - это плоскость, перпендикулярная оси , на которой значения постоянны, т.е. постоянна фаза волны). Тогда скорость движения этой плоскости вдоль может быть найдена так:

Запишем плоскую волну в комплексной форме:

(7.43)

Подставив (7.43) в уравнения Максвелла, можно получить:

; (7.30’)

; (7.31’)

. (7.33’).

. (7.32’).

Итак:

; (7.44) ; (7.46)

; (7.45) . (7.47)

Отсюда следует взаимная ориентация векторов

(рис.7.13): ортогональны и образуют вместе с правую тройку векторов. Так как колеблются перпендикулярно , что было показано в общем виде уравнениями (7.46) и (7.47), то полученная электромагнитная волна поперечна. Видно также, что волны синфазны.