Методичка по электричеству / Электричество лекции / 16

8

. (7.32’).

Итак:

; (7.44) ; (7.46)

; (7.45) . (7.47)

Отсюда следует взаимная ориентация векторов

(рис.7.13): ортогональны и образуют вместе с правую тройку векторов. Так как колеблются перпендикулярно , что было показано в общем виде уравнениями (7.46) и (7.47), то полученная электромагнитная волна поперечна. Видно также, что волны синфазны.

Из (7.44): , тогда:

.

Полученная плоская электромагнитная волна приведена на рис.7.13. Итак,

решением уравнений Максвелла в вакууме является плоская монохроматическая электромагнитная волна:

. (7.48)

В электромагнитной волне векторы ортогональны и модули их связаны соотношением: .

Электромагнитная волна поперечна и векторы колеблются синфазно.

Определим вектор Умова-Пойнтинга:

, (7.49)

так как . Из (7.49) следует, что вектор направлен так же, как и . Подставим в (7.49) значения (7.42):

(7.50)

Видно из (7.50), что волна переносит энергию, т.е. она является бегущей. Скорость переноса энергии волны в вакууме равна фазовой скорости волны.

в) Фазовая скорость света в свободном пространстве.

Будем считать, что в свободном пространстве заряды и токи отсутствуют: r=0, j=0.

Материальные уравнения запишем в виде:

. (7.51)

Уравнение (7.44) изменится, если его записать для .

; ; . Тогда:

. (7.52)

Тогда волновые уравнения запишутся в виде:

. (7.53)

Решения волновых уравнений, по-прежнему, функции (7.48). Как и ранее, из условия =const находим - фазовую скорость.

Подставим решение (7.48) в волновое уравнение (7.53):

. (7.54)

Отсюда находим фазовую скорость: и:

. (7.55)

Обозначим - показатель преломления среды. Тогда фазовая скорость в свободном пространстве:

. (7.55’)

Для , , . Подставив векторы как функции времени и координат в (7.52), получаем связь между их модулями: .

Определим вектор Умова-Пойнтинга:

, .

. (7.56)

Назовем величину среднего по периоду значения вектора интенсивностью. Тогда:  - интенсивность электромагнитного излучения в свободном пространстве.

г) Сферическая волна.

Рассмотрим решение уравнений Максвелла в сферически симметричном случае. Все сводится к волновому уравнению в сферической системе координат (рис.7.14), для которой оператор Лапласа имеет вид:

(7.57)

Так как решение не зависит от угловых переменных (волна изотропна), то от (7.57) остается лишь первое слагаемое: .

. (7.57’)

.

Тогда (7.36) запишется в виде:

. (7.58)

Решение уравнения (7.58) такое же, как и в предыдущем случае:

(7.59)

Так как и сонаправлены, то .

Данная волна называется сферической, поскольку поверхность, на которой в любой момент времени , является сферой.

Функция (7.59) от аргумента представляет расходящуюся от начала координат волну, а от аргумента - сходящуюся.

Для больших расстояний отдельные участки сферической поверхности можно рассматривать как плоскости. Если линейный размер участка велик по сравнению с длиной волны, волну можно считать плоской.

д) Стоячие волны.

Стоячая волна – это результат наложения двух бегущих волн одинаковой частоты и амплитуды, находящихся в противофазе:

(7.60)

. (7.61)

Из сравнения (7.60) и (7.61) видно, что и ‑волны, бегущие навстречу.

Рассмотрим структуру электромагнитного поля стоячей волны. Выберем ось вдоль направления распространения бегущей волны. Запишем компоненты и таким образом:

. (7.62)

(7.62) - это волна, распространяющаяся вдоль оси .

. (7.63)

(7.63) - это волна, распространяющаяся навстречу первой (рис.7.15). На рис. учтено, что векторы

в каждой из волн образуют правую тройку векторов, при этом:

.

Найдем результирующее электромагнитное поле:

.

С использованием формул Эйлера получаем:

(7.64)

или в вещественном виде:

. (7.65)

Графически зависимость (7.65) представлена на рис.7.16. Видно, что амплитуды колебаний

и изменяются в зависимости от Z от и до нуля. Вектор в каждой точке совершает колебания с частотой . В плоскости с координатой возникают пучности ( принимает значения от до -); в координате образуются узлы и обращается в нуль. Колебания по разные стороны узла происходят в противофазе.

Колебания вектора отстают от на четверть периода: при , т.е. во всем пространстве равно нулю, а распределено по оси по указанному закону. Спустя интервал времени напряженность электрического поля уменьшается до , а увеличивается, достигая значения . При равно нулю во всем пространстве, а

(рис.7.17).

Вектор Умова Пойнтинга обращается в нуль как в узлах электрического, так и в узлах магнитного поля.

для стоячей волны.

Для бегущей волны: .

Отсюда ясны названия волн: бегущая волна переносит энергию; а стоячая‑ нет: движение энергии ограничено узлами электрического и магнитного полей.