Методичка по электричеству / Электричество лекции / 4

12

§ 2.5. Энергия электростатического поля.

Поместим точечный источник – заряд в поле потенциала . Так как - это работа по перемещению положительного единичного заряда из 1 на бесконечность, то:

- (2.42)

энергия заряда в поле .

Для двух точечных зарядов и работа при перемещении их от до бесконечности определяет потенциальную энергию:

, (2.43)

где и - потенциалы, создаваемые первым! и вторым зарядом!, соответственно, в месте, где помещены и . Для случая нескольких точечных зарядов:

. (2.44)

Это энергия взаимодействия системы дискретных зарядов.

Рассмотрим теперь случай, когда заряды распределены непрерывно. Зная, что , и переходя от суммирования к интегрированию, получаем:

, (2.45)

где - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе . Это выражение кажется простым обобщением предыдущей формулы, но это не так – они различны, поскольку , входящий в формулы (2.44) и (2.45), имеет разный смысл.

Для объяснения рассмотрим следующий пример. Пусть система состоит из двух шаров с зарядами и . Расстояние между ними много больше их размеров, т.е. и - точечные заряды. Энергия системы имеет вид (2.43), где - потенциал, создаваемый в точке, где помещен , потенциал создан в точке, где помещен .

Воспользуемся теперь формулой (2.45). Интеграл должен разбиться на два по объемам и :

. (2.46)

Разобъем заряд первого шара на элементарные . На этот заряд действует потенциал, создаваемый всеми зарядами второго шара и, кроме того, зарядами собственного шара:

(2.47).

То же самое и для элементарного заряда второго шара. Действующий на него потенциал:

. (2.48)

С учетом (2.47) и (2.48) можно (2.46) записать:

, (2.49)

где - энергия взаимодействия шаров зарядами и ; и - собственные энергии этих шаров.

. (2.50)

Это формула для системы из - шаров. Она содержит энергию взаимодействия зарядов шаров и собственные энергии.

Теперь получим формулу (2.45), но не при наличии потенциала, а в присутствии электростатического поля. Рассмотрим это на примере плоского конденсатора и его энергии. Для начала выведем выражение для энергии уединенного проводника, имеющего заряд и потенциал . Поскольку во всех точках проводника одинаков, вынесем его за знак интеграла в формуле (2.45). Тогда оставшийся интеграл – это заряд на проводнике;

.

Теперь рассмотрим энергию конденсатора, где и - заряд и потенциал положительно заряженной обкладки, и - то же для отрицательно заряженной обкладки. Так как , то:

.

Учтем, что . Тогда:

. (2.51)

Подставив: ; ; , получим:

- (2.52)

электрическая энергия конденсатора. Плотность энергии с учетом того, что и - векторы:

. (2.53)

Видно, что носителем энергии является поле, и энергия локализована во всем пространстве, где есть электрическое поле. Так как:

,

то - плотность энергии положительна.

Для общего случая, когда изменяется в пространстве:

. (2.54)

Сравним формулы (2.45) и (2.54). В первой носителями энергии являются заряды, и энергия локализована на зарядах. В (2.54) носителем энергии является поле, и энергия локализована во всем пространстве, где имеется поле.

Обе формулы представляют полную энергию, включающую энергию взаимодействия и собственную энергию. Покажем это для (2.54) на примере двух заряженных тел в пустоте, создающих в пространстве поля и , соответственно. По принципу суперпозиции:

,

.

Полная энергия системы:

, (2.55)

где и - собственные энергии первого и второго тел, - энергия их взаимодействия. и всегда положительны, может быть как положительной, так и отрицательной. Полная энергия также всегда положительна. Если в формулу (2.53) подставить , тогда:

. (2.56)

Первое слагаемое – это плотность энергии поля в вакууме. Второе – плотность энергии, связанная с поляризацией диэлектрика.

Пример.

1. Определить энергию объемно заряженного шара. Даны и .

Согласно (1.24) и (1.25) примера 3 §1.4:

для : ; для : ;

; .

Найдем теперь полную энергию по формуле (2.54):

.

.

Видно, что .

Полная энергия:

. (2.57)

2. Энергия диполя во внешнем поле.

Поле создают потенциалы в точках, где расположены заряды (см.рис.2.20). Тогда энергия этих зарядов по (2.42) равняется:

.

Так как , разложим в ряд:

, (2.58)

где - компоненты ; - компоненты .

. (2.59)

Из (2.59) видно, что в поле диполь ориентируется так, что (минимум энергии). Рассмотрение механизма поворота вектора связано с появлением вращающего момента, так как на заряды со стороны поля действуют противоположно направленные силы .

§ 2.6. Силы в электрическом поле.

Природа всех этих сил - силы, действующие на заряд. Поэтому рассмотрим отдельно силы, действующие на точечный заряд, диполь, систему диполей.

1. Силы, действующие на точечный заряд.

Согласно (1.5):

. (2.60)

Для непрерывно распределенного заряда:

. (2.61)

Объемная плотность сил:

. (2.62)

2. Сила, действующая на диполь.

Внешнее поле в точках (см.рис.2.20) и и , где О – начало координат, - радиусы - векторы точек и . Вследствие принципа суперпозиции для диполя сила со стороны электрического поля равна:

.

Для диполя выполняется соотношение , поэтому для функции справедливо следующее разложение в ряд:

,

где

. Таким образом:

. (2.63)

В однородном поле , . Однако, остается вращающий момент:

, (2.64)

ориентирующий .

3. Сила, действующая на диэлектрик.

На объем диэлектрика действует сила:

, (2.65)

суммирование проводится по элементарным диполям в объеме.

; (2.66)

, (2.67)

где - объемная плотность сил (или сила, действующая на единицу объема). Так как , то:

, (2.68)

где учтено (см. Приложение, формулу (2)), что: и теорема о циркуляции, согласно которой .

Сила, действующая на единицу объема диэлектрика, пропорциональна градиенту от квадрата напряженности поля и направлена в сторону увеличения абсолютного значения .

Применим эти формулы для нахождения сил, действующих на шар из диэлектрика (см. рис. 2.21), находящийся в однородном электрическом поле для двух случаев:

и . Для применения формулы (2.68) необходимо считать, что переход от внешней области с диэлектрической проницаемостью к внутренней с совершается не скачком на поверхности шара, а непрерывно в тонком сферическом слое. В этом слое напряженность изменяется от ее значения вне шара до значения внутри шара. В случае напряженность поля внутри шара меньше, чем вне шара. Поэтому сила направлена во внешнюю сторону шара. В случае силы направлены внутрь шара. В первом случае силы стремятся растянуть шар вдоль линий напряженности поля. Во втором – сплющить его. Это явление называется стрикцией.

4. Поверхностные силы.

На границе диэлектрика нормальная составляющая претерпевает скачок, т.е. имеется градиент поля, и возникают поверхностные силы. Выражение для них легко получить в простом случае расслоенного конденсатора.

А) Конденсатор с продольно расслоенным диэлектриком.

Рассмотрим заряды, возникающие на границе диэлектрика с обкладками и на границе между диэлектриками (см.рис.2.22). Ясно (см.(2.40)), что если учесть

(верхняя пластина конденсатора), то:

, , ;

, , .

Теперь рассмотрим силы , действующие на обкладки конденсатора. Для их нахождения учтем, что работа сил, действующих на обкладки, должна быть равна убыли энергии электрического поля конденсатора. Если первую обкладку сместить на , то:

, .

Также и .

Энергия конденсатора и емкость его запишутся:

; .

Тогда:

(2.69).

Можно найти силы и изобразить соответствующие некоторые на рис.2.22:

; . (2.70)

Теперь рассмотрим силы на границе диэлектриков. Энергия каждого конденсатора:

; . (2.71)

Силы на границе:

; . (2.72)

Направления сил показаны на рис.2.22, они определяются знаками зарядов на концах диэлектриков 1 и 2. Сила на обкладке (2.70) равна силе на границе диэлектрика (2.72):

(при на поверхности металла (см. (2.6)): ), но их направления противоположны. Равнодействующая двух сил, приложенных к границе:

, (2.73)

где учтено, что при отсутствии сторонних зарядов на границе . Сила, действующая на единицу поверхности равна разности плотностей энергии электрического поля по обе стороны границы:

. (2.74)

Направление

зависит от соотношения . Из (2.73) видно, что при , т.е. , . Сила на границе диэлектриков направлена в сторону диэлектрика с меньшим , или в сторону с большей объемной плотностью энергии поля.

Полученная сила называется максвелловским натяжением; как видно из рис.2.23, силы и как бы растягивают поверхность границы.

Б) Конденсатор с поперечно расслоенным диэлектриком.

На границе двух диэлектриков диполи отталкиваются, что приводит к соответствующим направлением сил (см. рис.2.24).

Так как напряженность поля направлена вдоль границы, то справедливы следующие условия на границе:

.

Соответственно, выражения (2.71) для энергии перепишутся в виде:

; (2.75)

где и - площади диэлектриков, прилегающих к обкладкам; , , где - ширина конденсатора, взятая вдоль . Учтем, что:

.

Тогда (2.75) перепишется в виде:

. (2.76)

Разность плотностей энергии:

. (2.77)

Если находить и по формулам (2.76) и , , а затем применить принцип суперпозиции , то легко видеть, что равнодействующая сил, приложенных к поверхности по разные стороны границы:

, (2.78)

сила равна разности плотностей энергий и направлена в сторону диэлектрика с меньшим .

Это видно из следующего: ;

.

Если

, то сила должна быть направлена в ту же сторону, что и (т.е. ), а вектор направлен в сторону диэлектрика с . Эта сила называется максвелловским давлением. Как показано на рис.2.25, электрическое поле как бы давит на поверхность раздела.