МехТепЛабыФинал2013

11

является метод средней квадратической погрешности, который широко используется в научно-исследовательской работе. Очень неплохие результаты дает метод максимальной абсолютной погрешности. Для предварительной оценки результатов можно использовать метод границ.

В теории погрешностей доказывается, что оценка погрешностей разными методами дает результат, который различается в пределах погрешностей. Поэтому не имеет особого значения метод, которым рассчитываются погрешности. Однако, среднеквадратическая погрешность дает больше информации о погрешности измерений, т.к. кроме погрешности дает и вероятность этой погрешности, которая указывается в доверительном интервале. Эта дополнительная информация требует более сложных и трудоемких расчетов.

ния и среднюю абсолютную погрешность измерений величины А. Сравниваем эту погрешность с приборной и выбираем максимальную погрешность Amax .

3.По формуле (6) вычисляем относительную погрешность измерений.

4.Записываем окончательный результат измерений с учетом погрешности:

Например, запишем измерение длины нити математического маятника. Измерения проводили линейкой с ценой деления 1 мм. Получили результаты:

солютной, то окончательный результат записываем в виде l = (30,5 ± 0,1) см.

Порядок обработки результатов косвенных измерений

1.По изложенной выше методике находим средние значения и абсолютные

погрешности x, y, z прямых измерений величин x, y, z, которые содержаться в формуле для вычисления величины f (x, y, z).

2. По средним значениям прямых измерений величин x, y, z рассчитываем среднее значение величины f косвенных измерений

3.Находим абсолютную предельную погрешность величины f по формуле

4. Относительную погрешность величины f определяем по формуле

5.Результат опыта записываем в виде

При обработке результатов измерений нужно придерживаться следующих правил:

1.При записи погрешности следует округлить ее величину до двух значащих цифр, если первая из них меньше 3 и до одной значащей цифры в остальных случаях (значащими цифрами называют цифры в числе, начиная с первой отличной от нуля).

2.В записи результата измерений следует указывать все известные цифры (даже если они нули) вплоть до последнего разряда, имеющегося в значении погрешности этого результата. Например, полученное нами значение плотно-

ρ= (2,74 ± 0,25) г/см3.

3.В промежуточных расчетах можно сохранять лишние цифры, которые

взаписи окончательного результата будут отброшены при округлении.

4.Обязательно нужно в выводе к лабораторной работе записать полученный результат с учетом погрешности.

Приведем пример записи результатов измерений по расчету ускорения

свободного падения (п. 2.3). На основании произведенных измерений определено среднее значение измеряемой величины g =982,5 см/с2 и абсолютная

погрешность измерений g = 2 см/с2. Очевидно, что вычислять результат с

точностью до сотых долей бесполезно, так как ошибка содержится уже в целых единицах ( g = 2 см/с2) и все дальнейшие знаки являются излишними. В дан-

ном случае среднее значение измеряемой величины следует записать так: g =982 см/с2. Результат измерений согласно формуле (24) запишем в виде: g = (982 ± 2) см/с2.

Литература

1. Физический практикум. Механика и молекулярная физика / Под ред В. И. Ивероновой. - М.: Наука, 1967. - С. 11-39.

13

2. ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ ПРАКТИКУМ

Цель работы. Ознакомиться с простейшими измерительными инструментами - штангенциркулем, микрометром, секундомером и техническими весами. Экспериментально определить объем тела правильной геометрической формы и ускорение свободного падения при помощи математического маятника. Приобрести практические навыки обработки результатов измерений и составления отчетов.

Приборы и принадлежности: штангенциркуль, микрометр, измерительная линейка, секундомер, набор тел, математический маятник.

2.1. Измерительные приборы

Штангенциркуль предназначен для измерения наружных и внутренних линейных размеров, а также глубин с приборной погрешностью от 0,025 до 0,05 мм (рис. 1). Для увеличения точности измерений все штангенциркули имеют дополнительную шкалу (нониус), по которой отсчитываются дробные доли основной шкалы. Нониус 2 укреплен на подвижной рамке 3, которая перемещается вдоль штанги с основной шкалой штангенциркуля 1. Цена деления инструментов с нониусом (цена деления нониуса) равна отношению цены деления основной шкалы к количеству делений нониуса (например, при цене деления основной шкалы 1 мм и при 10-ти делениях шкалы нониуса цена деления прибора составляет 0,1 мм, а приборная погрешность - 0,05 мм).

Дробную часть получают путём умножения цены деления нониуса на порядковый номер штриха нониуса,

совпавшего с каким либо из делений основной шкалы.

На рис. 1 представлен пример измерения диаметра цилиндра штангенциркулем с нониусом, имеющим 10 двойных делений. При двадцати делениях шкалы нониуса цена двойного деления нониуса равна 0,10 мм, а приборная погрешность - 0,025 мм. Как видно, нулевой штрих нониуса отсчитал по основной шкале 15 мм. С основной шкалой лучше всего совпадает деление нониуса 7,5 (помечено стрелкой). Следовательно, результат измерения равен (15,750 ± 0,025) мм.

14

Для измерения внутренних размеров пользуются специально отшлифованными внешними сторонами губок, суммарная толщина которых известна и написана на них (в миллиметрах). Губки вставляют в отверстие и раздвигают до упора. К полученному таким образом результату следует прибавить толщину губок. У некоторых штангенциркулей губки заострены и заходят друг за друга. В этом случае к результату измерения ничего прибавлять не надо. Для измерения глубин несквозных отверстий штангенциркуль может быть оснащён выдвижным щупом.

микрометрический винт 3 с закрепленным на нем барабаном 5. На конце барабана имеется фрикционная головка (трещотка) 6. Коническая часть барабана разбита по окружности на 50 равных частей. Шаг микрометрического винта равен 0,5 мм. При повороте барабана на одно деление микрометрический винт перемещается вдоль оси на 1/50 своего шага. Таким образом, цена деления микрометра равна 0,5мм/50 = 0,01 мм, а приборная погрешность - 0,005 мм. Каждая половина миллиметра отсчитывается краем скоса барабана, а сотые доли по порядковому номеру штриха барабана, совпадающего с продольным штрихом стебля. Перед измерением следует убедиться в том, что при соприкосновении микрометрического винта с пяткой срез барабана находится над нулевым делением стебля, а нуль барабана совпадает с продольным штрихом стебля.

Для измерения предмет слегка зажимают между пяткой и микровинтом, стопорят микровинт стопором 7 и считывают показания. Внимание: барабан следует вращать только при помощи трещотки!

Технические весы предназначены для измерения массы тела. Технические весы (рис. 3) состоят из следующих основных частей: коромысла 1 с тремя стальными призмами, стрелкой 2 и тарировочными гайками 3 на концах; двух пластмассовых чашек 4 с подвесками 5 и серьгами 6, колонки 7 на пластмассовой подставке 8 с установочными винтами 9. На коромысле жестко укреплены три острые высокопрочные стальные призмы. Основание центральной призмы является осью вращения коромысла, ребра грузоподъемных призм служат точками приложения веса взвешиваемого груза и гирь. Стрелка 2 отмечает по шкале 11 положение коромысла. Положение равновесия коромысла регу-

15

1 3

6

2

11

14

12

9

13

Рис. 3. Технические весы

лируют тарировочными гайками, которые навинчиваются на шпильки, укрепленные на концах коромысла. Серьги в нижней части имеют двойные крючки для подвесок с чашками, а в верхней части - стальные подушки, посредством которых серьги опираются на ребра грузоподъемных призм.

Средняя призма коромысла опирается на стальную подушку, укрепленную на стержне, проходящем внутри колонки. Нижним концом стержень упирается в эксцентрик, который можно поворачивать рукояткой 12, поднимая и опуская стержень. При опущенном стержне коромысло ложится на специальные упоры, смонтированные на колонке, а чашки - на подставку весов.

Весы арретированы. Арретиром называется приспособление, закрепляющее коромысло весов и предохраняющее ребра призм от износа. Арретиры имеют не только технические и аналитические весы, но и другие точные измерительные приборы. Прибор считается арретированным, если подвижная часть прибора закреплена. Колонка весов 7 закрепляется вертикально установочными винтами 9, и ее положение проверяется по отвесу 10.

16

Помните: Технические весы – точный и высокочувствительный прибор, требующий аккуратного обращения, научиться которому можно, изучив и соблюдая следующие правила:

1. В не рабочем состоянии весы всегда должны быть арретированы.

2. Не двигайте весы по столу, не наклоняйте их и не переносите с места на место. 3. Не крутите тарировочные гайки и никогда не свинчивайте их со шпилек. 4. Грузы и гири 14 кладите на арретированные весы осторожно, без толчков. 5. Не трогайте руками разновесы массой менее 10 г, используйте для этого

пинцет 13. Помните: для разновесов допустимы только два места: в соответствующем гнезде ящика или на чашке весов.

6. Перед взвешиванием проверьте исправность весов. Для этого осмотрите их и установите по отвесу. Осторожно освободите от арретира и следите за стрелкой. В исправных весах стрелка начнет плавно качаться около положения равновесия (оно может и не совпадать со средним делением шкалы). Если стрелка выходит за пределы шкалы следует отрегулировать весы, обратившись за помощью к лаборанту.

7. Окончив подготовку к работе, приступайте непосредственно к взвешиванию. Взвешиваемый предмет следует класть на левую чашку весов, а разновесы - на правую; освобождать полностью от арретира можно только уравновешенные весы (при этом стрелка должна качаться в пределах шкалы); поэтому, освободив коромысло от арретира и проверив отклонение стрелки, не выводя при этом арретира полностью, определяют какая из чашек перевешивает.

8. Взвешивание необходимо проводить в следующем порядке. Первым на чашку весов кладут разновес, который наверняка перетягивает тело. Слегка освобождая арретир, убеждаются, что это действительно так. Затем разновес снимают, и на его место кладут следующий по порядку убывания массы разновес. Слегка освобождая весы от арретира, узнают что перевешивает: тело или разновесы. Если перевешивает разновес, то его снимают и кладут на чашку весов следующий. Если перевешивает тело, то разновес оставляют на чашке и добавляют к нему следующий из набора. Повторяя эту операцию последовательно с каждым разновесом, добиваются равновесия весов. При-

борная погрешность весов равна половине массы наименьшего разновеса, которым уравновешены весы.

17

2.2.Определение объема и плотности тела правильной геометрической формы

Методические указания

Основной единицей объема в СИ является кубический метр (м3). Широко применяются на практике дополнительные единицы объема: литр (л - 1 кубический дециметр, дм3) и миллилитр (мл- 1 кубический сантиметр, см3).

Чтобы найти объем тела правильной геометрической формы по его линейным размерам необходимо, прежде всего, получить рабочую формулу, по которой можно рассчитать этот объем. Для этого чертят эскиз тела, определя-

где d1, d2 и d3 – диаметры соответствующих цилиндров, H и h – высоты цилиндров, как показано на рис. 4, которые необходимо измерить.

Плотность вещества, из которого изготовлено тело, находится по формуле

где m и V - - масса и объем тела. В системе СИ плотность измеряется в кг/м³. Погрешность определения плотности рассчитывается по формуле

Порядок выполнения работы

1.Сделать эскиз тела и получить рабочую формулу для подсчета его объема.

2.При помощи штангенциркуля измерить линейные размеры тела и результаты измерений занести в табл. 1.

3.По результатам измерений определить средние значения измеряемых величин и их абсолютные погрешности.

4.По рабочей формуле рассчитать объем тела, абсолютную и относительную

погрешности объема. Записать окончательный результат в виде: V =<V > ± V .

5.На технических весах взвесить тело. Определить погрешность взвешивания. Результаты измерений занести в табл. 1.

6.По формулам (7) и (8) определить плотность тела, абсолютную и ρ отно-

сительную δρ погрешности измерений. Записать окончательный результат в виде: ρ =<ρ > ± ρ.

7. Сделать выводы, в которых оценить погрешность каждого измерения и их вклад в общую погрешность определения плотности.

2.3.Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника

Ускорением свободного падения g называется ускорение, с которым тело движется только под действием притяжения Земли без учета сопротивления воздуха. При малых высотах над поверхностью Земли, значительно меньших ее радиуса, ускорение свободного падения направлено вертикально вниз, одинаково для всех тел и считается равным g = 9,81 м/с2.

Известно много способов определения ускорения свободного падения. Относительно просто ускорение свободного падения можно определить при

т.к. расстояние L измеряется от точки подвеса до центра масс шарика. Погрешность ускорения может быть оценена по формуле

Погрешности длины и периода колебаний математического маятника находятся по формулам

где l , d и t - погрешности прямых измерений длины нити, диаметра шарика и времени. Для повышения точности измерений в работе измеряется время t для n колебаний, а период рассчитывается по формуле T = t n .

Порядок выполнения работы

1.Линейкой измерить длину нити l маятника.

2.Штангенциркулем измерить диаметр d шарика.

3. Найти длину маятника L и ее погрешность L по формулам (11) и (13).

4.Отвести шарик от положения равновесия на небольшой угол (5 ÷ 10°) и отпустить его. Измерить время t для n = 10 колебаний маятника. Лучше всего эти измерения проводить в моменты максимального отклонения маятника.

5.Повторить измерения времени пять раз. Результаты занести в табл. 2.

6.Найти среднее значение периода колебаний T и его погрешность (13).

20

7.Определить ускорение свободного падения g, абсолютную и относительную погрешности измерений по формулам (10) и (12).

8.Сделать выводы, в которых оценить полученный результат, погрешность каждого измерения и их вклад в общую погрешность измерений.

Таблица 2

Вопросы для допуска

1.Сформулируйте цель работы.

2.Какие прямые измерения проводятся в данной работе? Какими приборами выполняются эти измерения?

3.Какие косвенные измерения проводятся в данной работе?

4.Что такое плотность и как она определяется в данной работе?

5.Как определяется объем тела правильной геометрической формы?

6.Опешите метод определения ускорения свободного падения в данной работе.

7.Расскажите устройство и правила пользования штангенциркулем.

8.Расскажите устройство и правила пользования микрометром.

9.Расскажите устройство технических весов и правила взвешивания на них.

Контрольные вопросы и задания

1.Что такое измерения, какими они бывают?

2.Какие бывают погрешности измерений?

3.Что такое приборная погрешность и как она определяется?

4.Как подсчитываются случайные погрешности прямых измерений?

5.Как подсчитывается стандартная погрешность?

6.Как подсчитываются систематические погрешности?

7.Как подсчитывается полная погрешность прямых измерений?

8.Как подсчитывается погрешность косвенных измерений?

9.Как правильно записываются результаты измерений?

10.Выведите формулы для расчета погрешностей измерений плотности и ускорения свободного падения в данной работе.

11.Опишите назначение нониуса и правила измерения с нониусом.